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imed omda

Invité

dérivée

bonjour

j'arrive pas à simplifier la dérivé de  f(x)= [tex)\sqrt {frac{1+sinx}{1-sinx}}[/tex), ni à utiliser correctement Latex (je désespère...)
pour arriver à f'(x)= 1/(1-sinx)

au point de douter de l'énoncé.

Merci d'avance

totomm

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Re : dérivée

bonjour,
En latex :[tex] f(x)= \sqrt  {\frac{1+sinx}{1-sinx}}[/tex]

l'énoncé est bon. Dérivez   [tex]u=\frac{1+sinx}{1-sinx}[/tex]  puis dérivez [tex]\sqrt{u}[/tex]

au passage : [tex](1+sinx)(1-sinx)=1-sin^2 x=cox^2x[/tex]

Dernière modification par totomm (19-11-2013 11:49:21)

totomm

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Re : dérivée

Re,

@ imed omda :quand vous aurez dérivé, je vous signalerai une particularité de cette dérivée qu'il convient de bien maitriser...

imed omda

Invité

Re : dérivée

merci Tottom
f'= 1/2 u'/racine(u)
avec tes indices j'arrive à:    -cosx*sinx/(1-sin)²/racine(u) (c'est sur j'ai fait une bêtise)

mais si j'applique tes indices avant de dériver: f(x) devient aprés multiplication par (1-sinx) en haut et en bas: cosx/(1-sinx) ce qui plus facile à dériver...

c'est quoi la particularité de cette dérivée qu'il convient de bien maitriser.

encore merci

totomm

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Re : dérivée

Bonjour,
j'ai appris à écrire en latex sur les indications de yoshi. voir : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943

Pour voir en latex le texte d'un intervenant, cliquer sur citer en bas à droite de son intervention
Son texte va en latex dans la fenêtre réponse

Posant [tex]u=\frac{1+sinx}{1-sinx}[/tex] alors [tex]u\ '=\frac{cosx(1-sinx) –(1+sinx)(-cosx)}{(1-sinx)^2}=\frac{2cosx}{(1-sinx)^2}[/tex]
Et [tex]f\ '(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}}\times \frac{2cosx}{(1-sinx)^2}[/tex]

A vous, imed omda, de montrer comment vous continuez, et vous verrez la particularité qu'il faut maitriser...

Dernière modification par totomm (19-11-2013 17:09:08)

imed omda

Invité

Re : dérivée

Merci Totomm,
j'arrive au résultat.
mais à part l'identité remarquable (a-b)*(a+b)=a²-b² et cos²+sin²=1, il n y a rien de particulier à maitriser...

totomm

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Re : dérivée

bonjour,

eh bien si, il y a un signe - à ne pas oublier :

pour arriver à f'(x)= 1/(1-sinx)

je continue donc, en remarquant bien que [tex]\forall{x},1-sinx\geq{0}[/tex] et en entrant (1-sinx) sous la racine :

[tex]f\ '(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}}\times \frac{2cosx}{(1-sinx)^2}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}\times(1-sinx)^2}}\times \frac{cosx}{(1-sinx)}[/tex]

[tex]f\ '(x)=\frac{cosx}{\sqrt{(1+sinx)(1-sinx)}\ \times (1-sinx)}=\frac{cosx}{\sqrt{cosx^2}\times (1-sinx)}[/tex]

et maintenant pour simplifier par cosx, il faut tenir compte du signe de cosx : (intervalle à [tex]2k\pi[/tex] près)

[tex]Pour\ x\in{[-\frac{\pi}{2}},\frac{\pi}{2}],f\ '(x)= \frac{1}{1-sinx} et\ Pour\ x\in{[\frac{\pi}{2}},\frac{3\pi}{2}],f\ '(x)= -\frac{1}{1-sinx}[/tex]

Ce qui m'a alerté dès le début : Une fonction périodique ne peut avoir une dérivée toujours positive...
Bonne continuation : totomm

Dernière modification par totomm (20-11-2013 10:09:37)

imed omda

Invité

Re : dérivée

Merci Tottom et bien vu...
j'ai omis de dire qu'on étudiait f sur [-Pi/2,Pi/2]

totomm

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Re : dérivée

Bonjour,

Voilà donc une belle question didactique : Faut-il faire calculer cette dérivée en ayant fixé le domaine de définition à  [tex][-\pi/2,\pi/2][/tex] ?
au risque que l'élève ne se soit posé aucune question en réduisant [tex]\sqrt{cos^2x}\ en\ cosx[/tex] pour simplifier la fraction...

freddy

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Re : dérivée

Salut,

j'ai cru que j'allais apprendre quelque chose sur les fonctions circulaires, je suis un peu déçu ...

Sinon, j'aurais fait comme ça, en utilisant la première remarque de totomn :

Et [tex]f\ '(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\times \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}= \frac{\cos x}{\frac {1+\sin x}{|\cos x|}\times (1-\sin x)^2}= \frac{ |\cos x|\times \cos x}{(1-\sin^2 x)(1-\sin x)}= \frac{|\cos x|}{\cos x}\times (1-\sin x)^{-1}[/tex]

et la gestion du signe de la dérivée sur[tex] D_{f\ '}[/tex] s'en suivait plus facilement.

A notre ami de juger.

totomm

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Re : dérivée

ReBonjour,

La notation intermédiaire [tex]\sqrt{cox^2x}=|cosx|[/tex] est très recommandable pour ne pas oublier la question de signe, je ne l'ai pas utilisée en arrivant au résultat final.
Recommandable de même le développement utilisé par freddy qui évite d'insérer un facteur (1-sinx) sous la racine sans vérifier (je l'ai fait) si ce facteur est bien >0,

Mais comme on conduit en général mentalement la simplification avant de l'écrire :
Plus vite on simplifie, moins de risques de se tromper...: mais on ne demande pas au lycée cette réflexion sur la maitrise technique.