DM de maths 3° pour la rentrée

Minah · 29-10-2013 13:37:36

Bonjour a tous(te) pouvez-vous m'aider a résoudre ce DM de maths ci-dessous Merci D'avance.

IJKL est un rectangle. La droite (MN) est parallèle à la diagonale (JL).
Les aires des triangles IMK et INK sont-elles égales ? Justifier

( Détallée les différentes étapes de ta recherche, les remarques, les aides, les
observations que tu as pu faire et qui t'ont fait changer de méthode ou qui t'ont permis de trouver.)

yoshi · 29-10-2013 14:15:09

Boujour,

La droite (MN)

"La" ==> c'est qu'elle est connue au moment où ceci est écrit.
Où sont placés ces points M et N ?

@+

nerosson · 29-10-2013 15:46:10

Salut,

@yoshi,

Es-tu sûr que ta question soit pertinente ?

J'ai jeté un coup d'oeil et il me semble que le problème doit pouvoir être résolu quel que soit l'emplacement de la droite MN, sous réserve, bien entendu, qu'elle soit parallèle à JL et qu'elle coupe, en M et en N, deux côtés adjacents du rectangle.

Minah · 29-10-2013 16:30:06

La droite MN est parallèle a la droite JL . M est un point de la droite IJ et N est un point de la droite IL

yoshi · 29-10-2013 16:30:44

Bonjour,

sous réserve, bien entendu, qu'elle soit parallèle à JL et qu'elle coupe, en M et en N, deux côtés adjacents du rectangle.

C'est ce que je veux savoir, j'ai seulement demandé où sont M et N...

Parce qu'en l'état rien ne me dit où sont M et N, j'ai juste posé la question pour être sûr que son énoncé est bien complet (j'avais l'intention de réfléchir après) :
prends une feuille A4, en haut trace le rectangle IJKL... En bas, trace une parallèle à (JL). Sur cette droite, place M et N n'importe où et réponds.

Puisque tu t'en ressens de prendre cette discussion en charge, je te laisse volontiers la place : j'ai d'autres chats à fouetter (et je cours le risque d'avoir la SPA sur le dos)...

Minah, je te laisse aux soins attentifs de notre ami nerosson.

@+

nerosson · 29-10-2013 17:17:24

Re,

@yoshi.

Des clous ! ! !

Je me rappelle qu'une fois, je me suis fait remonter les bretelles parce que j'avais donné la solution intégrale : un certain yoshi m'avait fait observer que ce site était là pour aider et non pas pour faire le travail. A propos de chat : "Chat échaudé craint l'eau froide".

Pour que tu ne croies pas que j'ai bluffé et que je n'ai rien trouvé du tout, je suis tout de même obligé de dire quelque chose.

Comme tous les triangles, les deux triangles en question ont une hauteur et une base. Si on les compare aux deux triangles (IJL et JLK) engendrés dans le rectangle par la diagonale JL, on constate que l'un conserve la même hauteur, mais voit sa base réduite, alors que l'autre conserve la même base, mais voit sa hauteur réduite. Or les deux réductions sont dans la même proportion ( proportion déduite des règles des triangles semblables).

Réflexion de Minah :"je ne comprends rien à ce que raconte cet abruti !".

Je la (ou : le) comprends, parce que, yoshi, j'ai essayé de te montrer que j'avais trouvé une réponse, mais je me refuse à faire TON travail. Ne fais pas trop attendre ce (ou cette) pauvre Minah ! Tu n'as déjà que trop tardé !

Je te passe la main.

freddy · 30-10-2013 17:25:42

Salut,

@nerosson : je pense que c'est encore plus simple que ça et là, je crois que le demoiselle doit chercher par elle-même (déjà, commencer par faire le graphique, observer, conjecturer, déduire ...)

Je me tiens prêt à lui dire si son raisonnement est bon ou pas, le cas échéant, et si sensei yoshi ne "crache" pas trop :-)

Mais il est hors de question que je fasse le boulot à la place de la demoiselle !

nerosson · 30-10-2013 17:48:18

Bonjour, Minah,

Comme Ulysse, Yoshi s'est retiré sous sa tente.

Ulysse boudait parce qu'on lui avait piqué Briséis. Yoshi boude parce qu'il prétend que je lui ai piqué Minah. Tu ne t'attendais pas à être transporté(e) dans un drame mythologique !

Mais il y a un problème : ce site est fait pour aider. Or, n'ayant pas de formation pédagogique, aider, je ne sais pas.

Alors, je n'ai qu'une solution : c'est de te proposer une solution complète à ton problème, ce qui est contraire au règlement du site et que je m'attends à payer cher, surtout que je suis récidiviste !

La solution que je vais te proposer me semble claire et pas difficile à comprendre, seulement voilà : on va sûrement me sauter à la gorge en me disant que sa présentation n'est pas du tout conforme aux pratiques mathématiques du XXI e siècle. Ce qui d'ailleurs sera probablement vrai.

Donc, je te propose une solution. Tu en prends connaissance et, si elle t'intéresse, tu la transposes dans une forme idoine pour la proposer à ton prof.

1) Les deux diagonales JL et IK permettent de définir quatre triangles IJK, JKL, KLI et LIJ qui sont identiques parce qu'ils sont tous quatre rectangles et que les côtés homologues ont la même longueur. J'appelle S la surface de chacun d'eux.
2) La surface d'un triangle est le demi-produit de la hauteur par la base.
3) Surface S du triangle KLI : ½ (KL x IL)
4) Surface S1 du triangle KNI : ½ (KL x IN)
5) Le rapport S1/S est donc égal au rapport IN/IL

6) Surface S du triangle IJK : ½ (KJ x IJ)
7) Surface S2 du triangle IMK : ½ (KJ x IM)
8) Le rapport S2/S est donc égal au rapport IM/IJ

Je rappelle que :
Si la surface d'un angle est coupé par deux droites parallèles, cela donne deux triangles semblables. Donc les triangles INM et ILJ sont semblables, ce qui permet d' écrire : IN/IL = IM/IJ.

Or, je rappelle qu'on avait déjà : S1/S = IN/IL et S2/S = IM/IJ.

On peut donc écrire : S1/S = IN/IL = IM/IJ = S2/S.

Donc, : S1/S = S2/S

Donc : S1 = S2.

Les surfaces des triangles IMK et INK sont donc bien égales.

Alors, voilà ! Ca me parait bon, mais je peux me tromper. Tu en fais ce que tu veux, mais prie pour moi, parce que ça va barder ! ! !

nerosson · 30-10-2013 17:59:25

Salut à tous,

@Freddy,

Mon bon Freddy,

je suis content de te lire. D'autant plus que d'habitude on se dit des méchancetés, alors que là, tu semble prêt à te fourrer dans un guêpier pour me tirer d'un mauvais pas !

Mais quand j'ai mis sur site le post ci-dessus, je n'avais pas eu connaissance de ton intervention. Et puis, de toute façon, j'estime que j'étais trop avancé.

Dernière modification par nerosson (30-10-2013 18:04:24)

freddy · 30-10-2013 18:17:37

Re,

ce que j'aime bien dans la solution de notre illustrissime ancêtre (oui, minah, nerosson est bientôt nonagénaire - cherche le sens du mot sur le dico ! ) est que la minah ne doit pas tout comprendre des propos tenus ni de la démonstration faite. Donc si elle recopie in extenso, il va y avoir comme un malaise chez sa prof de maths.

Par contre, quand je pourrais admirer le graphique, je verrais si minah peut en tirer quelque chose. Au pire, elle peut toujours suggérer à sa prof de consulter la bibmath, histoire de voir comment on raisonnait à l'âge de la pierre peu (ou mal) taillée :-)

PS : c'est combien "nonante" ? Ben, c'est septante plus vingt ! (in Fernand Raynaud, le 22 à Asnière)

yoshi · 30-10-2013 19:09:41

Re,

Yoshi boude parce qu'il prétend que je lui ai piqué Minah.

Voilà qu'il se traite de pédophile et moi avec dans la foulée...

Insupportable ! Je ne peux laisser une telle assertion sans réponse.
Je me suis retiré parce que nerosson a cru pouvoir me demander, avant toute réponse de la miss si ma question était pertinente (intelligente, judicieuse, appropriée : synonymes de mon dico). J'avais l'air de quoi, alors ?
Donc, j'en ai déduit que je devais raconter n'importe quoi et qu'il serait plus à même que moi de répondre, moi qui n'ai que 38 ans d'expérience sur le programme de 3e.

Même si
1. Nos règles précisent :

* Présentation du sujet. Rien n'est plus pénible qu'un sujet incomplet ou réinterprété par celui qui demande de l'aide : avant de cliquer sur le bouton Valider, dans votre intérêt, assurez-vous que votre texte soit une copie conforme de votre énoncé. Faute de quoi, il n'y serait probablement pas répondu et votre discussion fermée avec une une invite à recommencer.

2. Que, apparemment, l'énoncé fourni était bien incomplet,
3. Que j'avais été, apparemment toujours, tout à fait fondé à poser la question,
je me suis quand même retiré sur la pointe des pieds, en lui cédant volontiers la place : nerosson ne pouvant ignorer les Règles de BibMath, c'est donc que ma question n'était pas pertinente, mais la sienne, oui. Je devais donc avoir tout oublié de mon boulot, mal lu l'énoncé, rien compris...
J'ai horreur de m'imposer et de faire de la peine : il valait donc mieux que je laisse Minah aux bons soins d'un expert, ainsi elle ne courrait aucun risque mathématique !

Oui, il y avait forte probabilité que l'on sache où étaient ces points, mais Devoir Maison + donné avec du temps... j'ai déjà rencontré tellement de "plaisantins" que j'ai estimé qu'il valait mieux de toute façon être sûr...
En outre, cela pose une question de fond : faut-il encourager les énoncés incomplets ? Certains ici ont œuvré (excédés par les oublis à répétition) pour que soit proposé à l'inscription à nos Règles, l'additif suscité.
Est-ce rendre service à l'auteur d'un énoncé incomplet que de passer outre ?
A l'école primaire, en Collège, en Lycée, les enseignants râlent assez contre l'incapacité de certains à recopier un texte fidèlement...
Si cet additif est là pour ne pas en tenir compte, alors doit-on revenir sur l'ajout et demander à ce qu'on le supprime ?
A vous de voir, la décision n'appartient à moi seul.

J'avais déjà fait preuve d'indulgence en ne fermant pas ladite discussion : j'aurais pu et j'aurais d'ailleurs dû, cela aurait évité le problème.
A l'avenir, si avenir il y a pour moi (n'étant pas pertinent, je devrais me retirer), j'en tiendrai compte (si toutefois l'ajout était maintenu): jugulaire, jugulaire, n de D...
Pas de trace de bouderie donc, certains qui récrivent l'Histoire ont aussi le génie de la provocation aussi gratuite que malvenue...
Chacun jugera.

Je m'abstiendrai de tout commentaire sur la démonstration proposée : je les garde pour moi...

A bon entendeur,

salut.

[EDIT]
Aucun rapport, mais allez donc voir :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6375
et surtout prenez le temps de suivre le lien qui y figure et de lire ensuite les extraits du bouquin.

Dernière modification par yoshi (30-10-2013 20:57:16)

nerosson · 30-10-2013 21:15:44

Salut à tous,

@freddy,

On ne discerne pas très bien ce que tu veux dire.

Personnellement, je maintiens :

a) que mon raisonnement est juste,
b) qu'il n'est nullement difficile à comprendre et, quand tu insinues que la (le) prof de Minah pourrait avoir des difficultés à le suivre, c'est lui (elle) que tu dénigres, et non pas moi.

Par contre, je veux bien admettre qu'il est possible que, de nos jours, la présentation des raisonnements puisse être différente. C'est d'ailleurs bien pour ça que j'ai dit à Minah d'adapter elle-même la présentation de son raisonnement, quel qu'il soit.

Mais je crois que j'aurais une certaine compassion pour quelqu'un qui ne serait pas capable de suivre un raisonnement aussi simple.

@ yoshi

C'est le mot "pertinent" qui t'a fait exploser.

Dans un message personnel que je n'ai pas pris la peine d'apprendre par coeur, tu énumérais les synonymes de ce mot, parmi lesquels "judicieux". Eh bien, ce sens me convient parfaitement : je ne suis pas sûr qu'il soit "judicieux" d'exiger des précisions lorsqu'on connait d'avance le réponse.

Quant au raisonnement, je pense qu'un raisonnement doit avoir exactement DEUX qualités : être juste et être compréhensible. Je suis parfaitement sûr que tu sais que mon raisonnement est juste et je suis sûr que tu l'as compris, mais dans ta rage aveugle, tu préférerais crever que de l'admettre.

Et maintenant, je vais te dire : cette discussion ridicule, j'en ai marre, marre et MARRE. Alors tu peux continuer à trépigner et à chier des flammes, je ne répondrai plus.

Dernière modification par nerosson (30-10-2013 21:44:24)

freddy · 30-10-2013 22:27:06

Salut l'ami,

que nenni : c'est dans l'hypothèse où minah recopierait ta démonstration que sa prof comprendrait immédiatement qu'il n'est pas d'elle.
D'où je déduis que tu es aussi un peu énervé, ce qui t'empêche de bien comprendre ce que j'ai dit.

Par contre, ta démonstration est juste et élégante. J'espère que minah saura apprécier, et que ça aiguisera et son esprit de finesse, et son esprit de géométrie.

Pour le reste, je laisse les visiteurs du soir seuls juges.

yoshi · 30-10-2013 23:17:24

Re,

Quant au raisonnement, je pense qu'un raisonnement doit avoir exactement DEUX qualités : être juste et être compréhensible. Je suis parfaitement sûr que tu sais que mon raisonnement est juste et je suis sûr que tu l'as compris, mais dans ta rage aveugle, tu préférerais crever que de l'admettre.

^_^ Perdu ! J'ai assez de pertinence pour savoir si un raisonnement est juste ou pas...

Je suis parfaitement calme, je m'exprime posément, sans grossièretés, j'ai le contrôle de mes nerfs et je ne provoque personne.
Je n'ai jamais dit que ton raisonnement était faux : je te mets au défi de montrer le contraire...
Je t'ai même écrit en privé (dès 15 h 19) :

Je n'ai donc à aucun moment évoqué le fond, ta solution, je pensais bien que tu savais (...)

Par la suite, j'ai juste vaguement parcouru ta démonstration détaillée sans plus et j'ai stoppé net avec les triangles semblables...

Parce qu'il y a de légers "détails" que tu ne pouvais connaître :
1. Les triangles semblables sont du programme de 2nde. Minah est en 3e...
2. L'expression "éléments homologues" (ici plus précisément côtés homologues) était très usitée, même lors de ma scolarité. Hélas, elle a disparu au moins des programmes de Collège, et avec une certitude à 90%, au Lycée aussi. Je le regrette, elle était bien pratique. Ça, c'est vraiment un pou-ième de détail, quoique je ne sois pas certain qu'un élève lambda de 3e comprenne ce que tu entends par là, ni que tout prof l'accepterait : moi, je l'aurais refusé expliquant que cette terminologie n'est plus en vigueur, et qu'il lui fallait s'expliquer plus précisément : l'élève lambda de 3e modèle règlementaire 2013, n'a plus rien à voir avec son lointain homologue lambda modèle 1961 ou antérieur. Il est des "raccourcis" qu'on ne peut plus se permettre : la fantaisie est déjà tellement présente...
3. Tout prof qui se respecte a en mémoire ce leitmotiv des Inspecteurs : on n'a pas à enseigner à un niveau n+1 quand on est à un niveau n.
Voilà le sens de la réponse de freddy lorsqu'il dit que le Prof verrait immédiatement que ce n'est pas d'elle.

Cette 3e qualité, respecter les programmes, que tu as oubliée dans ton énumération, est donc absente ce qui empêchera probablement Minah seule d'adapter la démo au niveau 3e.
Tiens, en 3e par contre, figure au programme le théorème de Thalès...

Toi tu votes donc pour : Supprimer le paragraphe concernant les énoncés incomplets. C'est ça ? Si oui, c'est noté.
Je maintiens que mon expérience m'a montré que certains collègues n'étaient pas forcément "raisonnables" et c'est moi qui dit ça, qui était lors des Devoirs Maison en équilibre instable sur la frontière...
Le doute était donc permis, même avec une faible probabilité, il m'a donc semblé, judicieux, approprié, conformément aux règles de BibMath, de poser la question. Je vote pour le maintien.

@+

.

Dernière modification par yoshi (30-10-2013 23:52:19)

yoshi · 31-10-2013 11:50:45

Bonjour,

Maintenant qu'il est clair (et ça l'était déjà pour moi) dès le 3e post, que Minah ne repassera pas, je vais y aller moi aussi d'une de mes solutions (la plus courte et la plus simple pour un élève de 3e).
Bien sûr, dans la 1ere phase, il aurait fallu qu'elle intègre ses propres interrogations, doutes, fausses pistes, etc.

1ere phase : expliquer les recherches, les pataugeages...
1. L'énoncé dit : (Détaller les différentes étapes de ta recherche, les remarques, les aides, les
observations que tu as pu faire et qui t'ont fait changer de méthode ou qui t'ont permis de trouver.)
2. En conséquence le réflexe naturel de Minah a dû être de tracer la configuration n°1 :

3. Puis relisant l'énoncé, elle tombe en arrêt sur cette phrase qu'elle avait survolé et sur un terme en particulier :
M est un point de la droite (IJ) et N est un point de la droite (IL).
Elle entreprend donc d'inventorier les cas de figure...
4. Là, elle se dit que s'il lui faut une démonstration pour chaque cas, elle est "mal partie". Mais bon, en élève consciencieuse, elle se met en devoir de matérialiser les triangles IMK et INK dans chacun des cas.
5. Elle part alors à la chasse aux hauteurs. Les cas 3 et 4 ne lui posent pas de soucis. Par contre pour 1 et 2, elle peut être tentée d'utiliser les hauteurs issues de M et N. Rapidement, elle constate que des calculs la mèneraient sur des sentiers peu fréquentés...
6. Alors, elle se souvient de sa classe de 6e et se replonge dans son bouquin, ou toute autre source à sa disposition (encyclopédie, peut-être dictionnaire) : là, elle a la confirmation de ses réminiscences : dans certains cas, les pieds des hauteurs sont à l'extérieur des côtés.
7. Revenant à ses dessins, elle constate que dans les 4 cas, les hauteurs issues de K sont [KL] et [KJ]. L'espoir de trouver une démonstration commune renaît.
8. La formule de l'aire du triangle, si elle a été oubliée, figure dans le formulaire présent, en principe, à la fin de chaque manuel : [tex]\frac{B\times h}{[2}[/tex].
9. Avant de se lancer à corps perdu dans une démonstration, Minah repart en recherche d'une info éventuelle non exploitée. Et là, la phrase "La droite (MN) est parallèle à la diagonale (JL)." fait tilt... "Bon dieu, mais c'est bien sûr !" s'exclame-t-elle en frappant sa paume gauche de son poing droit, reproduisant le geste célèbre du moustachu Commissaire Bourrel, dans la pièce policière (en N&NB ! ça ne nous rajeunit pas...), du samedi soir à l'ORTF... "Mais oui, Thalès! Je dois surement utiliser Thalès" (Dans les copies j'écrivais alors : ça me surprendrait beaucoup... avec ce qui reste de lui !)
10. Minah regarde rapidement : elle a une configuration en sablier (ou noeud pap' pour d'autres) et les 3 autres sont des triangles enchâssés... Les rapports sont les mêmes dans chaque cas et vu ce qui précède le rapport complémentaire MN/JIL ne servira pas...

Pour ce qui suit : Notes, commentaires en voix off : en italique en fin démonstration.

2e phase : maintenant elle peut s'essayer à la démonstration.
- Aires des triangles -
[tex]A_{MIK}=\frac {IM\times KJ}{2}[/tex]
[tex]A_{NIK}=\frac {IN\times KL}{2}[/tex] ⁽¹⁾

- Thalès -
On sait⁽²⁾ que le point M est sur la droite (IL), que le point N est sur la droite (IJ) et que les droites (MN) et (JL) sont parallèles, alors le théorème de Thalès permet d'écrire que :
[tex] \frac {IM}{IJ}=\frac{IN}{ IL}[/tex]

- Rapprochement des points de vue -

⁽³⁾ Sachant que IJKL est un rectangle, on déduit que KL = IJ et que KJ = IL.
Les aires peuvent donc alors être écrites comme suit :
[tex]A_{MIK}=\frac {IM\times IL}{2}[/tex] en ayant remplacé KJ par IL
[tex]A_{NIK}=\frac {IN\times IJ}{2}[/tex] en ayant remplacé KL par IJ

Là, Minah relève les yeux et contemple les rapports écrits grâce au théorème de Thalès et pense à employer la "règle de l'égalité des produits en croix" ⁽⁴⁾ :
[tex]IM \times IL = IN \times IJ[/tex], soit en divisant par 2 : [tex]\frac {IM\times IL}{2}=\frac {IN\times IJ}{2}[/tex]

D'où [tex]A_{MIK}=A_{NIK}[/tex]

-----------------------------------------------------
Notes

⁽¹⁾ En toute bonne logique, elle devrait justifier que les hauteurs sont les segments [KL] et [KJ ] (si absence -0,5 pt au Brevet), le mot hauteur ne figurant pas dans l'énoncé (facile grâce aux angles droits du rectangle) et doit justifier maintenant du droit à utiliser le théorème de Thalès, ainsi qu'on le lui a seriné et lui serinera. Si absence -0,5 pt à la note du Brevet
⁽²⁾ personnellement, je trouve "par hypothèse" plus précis et moins sujet à dévoiement : affaire de goût
⁽³⁾ Et maintenant, se dit-elle, je fais quoi de "ça" ?. En observant attentivement, elle doit se rendre compte que IM et IN se trouvent dans les formules d'aires et dans les rapports du théorème de Thalès... mais quoi faire de KL et KJ ?)
⁽⁴⁾ Citation manquante : -0,5 pt au Brevet. De notre temps, on disait : dans toute proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

@+

[EDIT] Mea culpa

.
J'avais inversé les points M et N.
Rectifié !

Dernière modification par yoshi (01-11-2013 16:15:44)

freddy · 01-11-2013 09:26:11

Salut,

y'a minah qui me demande en MP ce qu'elle peut recopier, car elle n'a pas tout compris de ce que et l'un, et l'autre, ont dit. Elle avoue qu'il y a même des mots dont elle ne savait même pas qu'ils pouvaient exister, et ne sait pas quoi en faire. Elle me précise que sa prof est une petite jeune de 23 ans, que c'est son premier poste et qu'elle ignore tout de la notation du Brevet.

Elle s'excuse de ne pas repointer le bout de son nez, elle a peur de ramasser une mandale perdue.
Elle vous embrasse tous les deux et promet de ne plus recommencer, elle regrette d'avoir déclenché une telle guerre atomique. Elle avait oublié que les hommes étaient capables du pire pour des choses insignifiantes.

Voilà, mission accomplie, j'ôte mon casque bleu et range mon drapeau blanc :-)))

yoshi · 01-11-2013 10:21:29

Salut,

Hmmmm...
Au risque de heurter profondément notre vétéran, je préfère dire qu'il vaudrait mieux qu'elle se base sur mon post : l'autre démonstration est juste, fine, mais trop tarabiscotée pour être l’œuvre d'un(e) élève de 3e et de toute façon, hors programme, pas dans les habitudes du cours de 3e...
Minah, ma proposition est conforme à ce qu'on attend de toi (j'ai fait ça durant 38 ans !) et assez directe...

J'ai découpé ma proposition en 3 parties :

1. La prof a demandé de "Détaller les différentes étapes de ta recherche, les remarques, les aides, les observations que tu as pu faire et qui t'ont fait changer de méthode ou qui t'ont permis de trouver.".
Ça part d'un bon sentiment, mais c'est plutôt inhabituel comme demande, alors j'ai essayé de faire preuve d'imagination, de me mettre à la place de Minah la minette (oui, je sais, c'est facile) et d'essayer de décrire les couleurs de l'arc-en-ciel par lesquelles elle est passée lors de ses recherches. Mais c'est donc de la littérature ;-), même s'il y a un fond de réalité (artificielle quand même).
Donc, elle pioche dedans ce qui lui correspond : Minah, ta prof veut savoir à quoi tu as pensé avant de trouver le bon chemin : les sens interdits, les voies sans issues, les ravins infranchissables, de la littérature, quoi, disais-je...
Minah, tu peux revenir : ce n'est qu'un différend entre Agecanonix et moi...

2. La démonstration proprement dite qui est assez courte et que j'ai partagée en 3 étapes :
a) Écriture des formules des aires
b) Utilisation du théorème de Thalès. Minah, tu sais bien depuis la 5e au moins, qu'en Géométrie, toute affirmation doit être justifiée et donc ici l'emploi du théorème de Thalès. J'ai écrit cette justification à ma façon, mais toi, tu as probablement dû voir une autre façon d'écrire cette justification avec ta prof : il n'y en a pas qu'une seule, chaque prof reformule ça à sa façon.
c) Je fais la remarque que dans les écritures des Aires, deux côtés se retrouvent dans les rapports dus à Thalès et que les deux autres, si je les remplace par les 2 autres côtés du rectangle qui leur sont égaux, y figurent aussi.
Je procède donc au remplacement.
A partir de là, si on applique la règle de l'égalité des produits en croix sur les rapports dus à Thalès, on constate que de chaque côté du signe =, figure le double de la formule d'une des aires.
Il suffit alors de diviser chaque membre par 2 et on retrouve chacune des formules d'Aires.
Je pense que c'est clair ?

3. Des notes qui comprennent des commentaires, les uns destinés aux anciens, dont le nôtre, et des conseils.
J'ignore le degré de sévérité de la prof, mais moi, je peux dire que en ce qui concerne les Aires on ne m'avait pas justifié que [KJ] et [KL] étaient des hauteurs, je sanctionnais et j'écrivais en marge : << Comment le sais-tu ? Je ne le vois pas écrit dans l'énoncé ! >> D'où mon conseil de justifier en partant du rectangle --> angles droits --> perpendiculaires --> hauteurs. De toute façon, on en tient compte au Brevet (même si on y est pas aussi "sévère" que je ne l'ai été : 0,5 pt sur 40, c'est une misère !).

Si tu as un quelconque souci, reviens directement, ce sera plus simple...

Merci freddy, tu peux retirer ton gilet pare-balles... ^_^

@+

nerosson · 01-11-2013 14:42:09

Salut à tous,

@Minah,

Si je reviens sur cette discussion (ce que je n'avais pas du tout prévu !), c'est parce qu'il faut absolument que tu n'ailles pas faire un complexe de culpabilité à propos d'une querelle où tu n'as aucune responsabilité. Je dirais même que c'est certainement le seul point sur lequel les deux querelleurs sont totalement d'accord. Comme aurait dit (à peu près) Victor Hugo : "S'il n'en reste qu'un ce sera celui-là".

Il parait qu'en troisième on ignore les triangles semblables. J'en suis stupéfait, mais je n'y contredis pas, car bien entendu, il y a un bout de temps que j'ai perdu de vue l'échelonnement des programmes des collèges et lycées.

Les choses étant ce qu'elles étaient, je ne pouvais pas me dispenser de démontrer que je disposais de la solution de ton problème. Il parait qu'elle n'est pas adaptée à ton cas. Alors oublie-la.

Bien amicalement.

yoshi · 01-11-2013 15:28:21

Salut,

Il parait qu'en troisième on ignore les triangles semblables.

Tout comme les cas d'égalités des triangles...
Tout comme en fin de 6e, on n'est pas censé savoir calculer le quotient décimal d'une division avec diviseur décimal...
A l'entrée en 6e, ils sont seulement censés savoir calculer le quotient (entier) d'une division de nombres entiers (division euclidienne sans prononcer le mot).
Tout comme les nombres premiers ont disparu des programmes de 5e (là, ça date quand même) et les PGCD/PPCM...
Ont réapparu ensuite en 3e, les nombres premiers entre eux (et seulement eux) et le calcul du PGCD via la méthode des soustractions ou divisions successives... etc.
Pour avoir une idée de ce qui est demandé au Brevet des Collèges : voilà une page à visiter

En outre, le fils de ma voisine, jeune prof de Maths, m'a dit que les vecteurs auraient disparu des nouveaux programmes du Collège...
Si c'est vrai (d'où mon conditionnel), ça en devient affligeant et confirme la règle que j'ai cru découvrir : dès qu'un morceau de programme gratte un peu, hop, on supprime !

Mais je deviens Hors Sujet...

@+

[EDIT] Erratum : post # 15.

..
nerosson aurait dû éplucher attentivement la démonstration, il aurait pu alors ricaner à son aise, de façon tout à fait appropriée... Avec l'habitude de gribouillis infâmes sur mon brouillon, il était fatal que, le suivant, des lettres mal formées m'induisent en erreur : j'y avais pris un M pour un N et réciproquement.

Rapprochement des points de vue
(c'est ça qui m'a amené à trouver l'interversion...)
Je garde les points 4 et 7 de la démo de nerosson : les aires S1 et S2 sont les mêmes que les miennes évidemment
Je garde les rapports puisque, qu'ils viennent des triangles semblables ou du théorème de Thalès, ce sont les mêmes.
Je vire le reste.
Il lui a manqué :
1. D'avoir l'idée d'égaler le produit des extrêmes et le produit des moyens (cf Note 4 du post #15) qui lui donnait l'égalité issue de la "règle des produits en croix"
2. De voir qu'il pouvait (devait) remplacer KL et KJ par leurs côtés homologues -égaux- du rectangle soit KL par IJ et KJ par IL, dans les formules d'aires...

Et dans ce cas, au détail de vocabulaire près, c'était la même démonstration...
Il suffisait de prendre alors la sienne ainsi resserrée, de remplacer triangles semblables par théorème de Thalès et c'était copie conforme : même "les côtés homologues" passaient comme une lettre à la poste.
Bravo l'ancien...

@Minah
Il ne faut jamais rien recopier sans comprendre : personne n'est à l'abri d'une erreur !

Dernière modification par yoshi (01-11-2013 19:08:35)

minah · 03-11-2013 17:58:09

Bonjour

Je tenais à vous remercier pour l'aide remarquable
que vous m'avez apporté , je suis aussi désoler
pour l’engueulade que j'ai un peu générer .

Merci 1000 fois
Au revoir .

yoshi · 03-11-2013 20:21:22

Salut minah,

je suis aussi désolée pour l’engueulade que j'ai un peu générée

Meuuhhh non !
Quand tu frottes deux silex l'un contre l'autre, il ne peut en jaillir que des étincelles..
Ça ne dure jamais bien longtemps !
As-tu tenu compte de l'Erratum signalé ? Ça ne remettait pas en cause la méthode, seulement (et c'était déjà beaucoup trop !) mais provoquait l'inversion de 2 noms de côtés...

Je dois reconnaître que cette démonstration est la 3e mouture : je ne suis pas toujours simple du premier coup, je le sais, donc j'y prends garde et je me soigne...
Ma première idée a été de prouver que le quotient des aires était égal à 1.
J'obtenais ce quotient : [tex]\frac{IM\times KJ}{IN\times KL}[/tex]
que je séparais en un produit de deux quotients :
[tex]\frac{IM}{IN}\times \frac{KJ}{KL}[/tex]
Après j'allais chercher les rapports du théorème de Thalès :
[tex]\frac {IM}{IJ}=\frac{IN}{IL}[/tex]
Là encore je constatai que
* dans un cas j'avais les côtés KJ et KL
* dans l'autre cas, les côtés IJ et IL
D'où l'idée de remplacer KJ par IL et KL par IJ
Et le produit devenait :
[tex]\frac{IM}{IN}\times \frac{IL}{IJ}[/tex]
Des rapports de Thalès je tirais :
[tex]IM =\frac{IN\times IJ}{IL}[/tex]
que je remplaçais au dessus :
[tex]\frac{IM}{IN}\times \frac{IL}{IJ} = \frac{\frac{IN\times IJ}{IL}}{IN}\times \frac{IL}{IJ} =\frac{IN\times IJ}{IN \times IL}\times \frac{IL}{IJ}=1[/tex]
Le quotient des aires valant 1, elles étaient donc égales...

Techniquement pas très difficile, pas, stricto sensu, hors programme, mais quand même "Border Line" et un peu plus...
Ce genre de manipulations, même si, moi, j'en ai eu données en DM (mais assorties de points de passage obligés bien choisis), n''est pas accessible d'un claquement de doigts (et même avec plusieurs) à l'élève lambda de 3e...
On pourra le regretter, mais mais c'est un fait.
L'élève lambda n'aurait pas pensé :
- ni au quotient des aires, ni à ce qu'il serait égal à 1
- à le séparer en un produit de deux quotients (on peut faire sans, mais c'est plus clair comme ça)
- à remplacer dans les aires deux longueurs, pour qu'après extraction d'une longueur des rapports de Thalès, on aille la remplacer dans le produit...
- ou réussi à s'en sortir avec des fractions à étages, avec des écritures littérales en prime : leurs yeux leur seraient sorti de la tête...
Je ne pouvais donc pas présenter à minah, je devais revoir ma copie...

Alors, je me suis dit, si le quotient des aires était indigeste, peut-être leur différence le serait-elle moins et on prouverait qu'elle vaut 0...
Don, je suis parti de [tex]IM\times KJ -IN\times KL[/tex].
Puis j'ai suivi la même procédure.
A la fin, j'étais encore trop insatisfait, j'ai pensé que [tex]IM =\frac{IN\times IJ}{IL}[/tex] passerait mal...

Enfin, je me suis quand même dit qu'on pouvait montrer directement qu'elles étaient égales, puisque telle était la question et j'ai troqué [tex]IM =\frac{IN\times IJ}{IL}[/tex] contre [tex]IM \times IL = IN \times IJ[/tex] qui lui, produit en croix, passerait bien mieux... !
Ceci n'empêche qu'il faut avoir l'idée du remplacement de KJ et KL... qui ne devait pas être trop difficile à suggérer en leur mettant le nez ce qui est commun et ce qui diffère et en rappelant qu'on avait affaire à un rectangle...

Tout ceci pour l'édification de minah et des lecteurs à venir...

Vingt fois sur le métier remettez votre ouvrage... - Nicolas Boileau.

@+

totomm · 04-11-2013 16:15:31

Bonjour,

Pour faire court et simple dans ce problème, j'aurais écrit :

Le milieu O de [MN] est sur (IK). Ayant des bases de même longueur et même hauteur :
Les triangles IMO et INO ont même aire
Les triangles KMO et KNO ont même aire
Donc les aires des triangles IMK et INK sont égales.

yoshi · 05-11-2013 11:02:43

Bonjour,

J'ai du mal à être court et simple du premier coup, ai-je dit...
Si, pour faire court, il me faut supprimer toutes explications, indications (foulant ainsi aux pieds ce qui a constitué l'ordinaire de 38 ans de boulot, le B-A-BA des forums d'entraide), ça je sais faire !
Donc, après d'"intenses réflexions", j'ai supprimé tout ce qui pouvait être considéré comme de la littérature (?!)...
Je vous propose de réduire mon post #15 à ce qui suit, foin de bavardages, droit au but ! ;-)

1. Aires des triangles IMK et INK : remplacement des hauteurs KL et KJ par les longueurs des côtés correspondants du rectangle.
2. Des rapports dus à Thalès, on tire l'égalité des produits en croix.
3. Chaque aire doublée composant les 2 membres de l'égalité obtenue au 1), je conclus que lesdites aires sont égales.

J'ai supprimé 1ere et 3e parties : foin de la "littérature", droit au but, ai-je dit !
L'emploi du théorème de Thalès étant la tarte à la crème du programmes de 3e (déjà approché en 4e), on peut considérer que 70% des élèves sont capables d'écrire ces rapports et des les utiliser, droit au but et que cette "difficulté" ne sera pas extrême...
L' aire d'un triangle quelconque est connue depuis la 5e, on n'y revient pas, d'autant qu'à la maison, on dispose du cahier du livre et que cette formule se retrouve facilement...
L'emploi des produits en croix étant rabâché depuis la 6e, il ne doit y avoir aucun souci avec.
Ma démonstration, même réduite, ne nécessite aucune adaptation quel que soit le cas de figure, ce qui n'est pas le cas de toutes...

Pour la simplicité, le niveau d'exigence requis étant 4e pour une élève de 3e, je pense être dans les "clous"... ^_^
Question longueur, je pense mon compromis satisfaisant, même si je n'arrive pas à la cheville de feu Raymond Devos dans son histoire ultra courte :
Il était une foi(s)... la mienne !

@+

Dernière modification par yoshi (07-11-2013 08:53:23)

yoshi · 18-11-2013 08:35:15

Bonjour,

Bisogna farla finita ! comme on dit de l'autre côté des alpes, finissons-en...
Tout le monde aura compris qu'il s'agissait là d'une démonstration par l'absurde de ce à quoi conduit "la course aux armements" (ie au plus court).
Une réponse sur un site d'entraide ne peut, ni ne doit, se faire sans les justifications idoines, ce serait une injure faite à ceux qui prennent le temps d'argumenter (et non de déposer son paquet vite fait - comme un chien lambda dans le 1er espace vert venu- et de repartir aussitôt) et à ceux qui demandent de l'aide...

@+

totomm · 18-11-2013 10:41:25

Bonjour,

Oui, finissons-en avec ces prises de position absurdement "dogmatiques"
Une piste donnée à celui qui demande une aide, même courte, peut-être efficace pour l'aider à mieux voir.
et mettre sur la voie d'une solution n'est pas forcément refaire pas à pas, dans le détail,
longuement, le :"tu suis le chemin que je trace, moi le seul pédagogue !"

On sait que souvent la solution vient d'une petite lumière soudaine...
Si celui qui demande ne sait pas utiliser la voie ouverte, il est alors temps de reprendre "à son rythme de compréhension"

Il y a aussi des problèmes qui se résolvent par de multiples voies (dernier exemple josse34) :
Pourquoi s'offusquer des recherches sur plusieurs sites où se trouvent des compétences diverses ?

Heureusement les forums sont encore des domaines ouverts, même si l'ivresse du pouvoir entraine quelquefois à des immodérations !

Bonne continuation à toutes et tous

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 29-10-2013 13:37:36