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Zarara

Invité

Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Bonjour! :)

J'aimerai avoir de l'aide pour un exercice.

Énoncé

Etudier la convergence de la suite (Un)

1)Un=1/4+1/8+...+1/(2ⁿ)
2)Un=1+5/4+(5/4)²+...+(5/4)ⁿ
3)Un=1-1/5+1/25-1/125+...+(-1/5)ⁿ

Merci de bien vouloir m'aider en me donnant quelques pistes.

freddy

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Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Salut,

revoir son cours sur la limite de la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme [tex]U_0[/tex] et de raison [tex]r[/tex] , pas plus compliqué !

Si quelqu'un d'autre a une meilleure idée pédagogique, pas de souci pour le dire et montrer  ! ;-)

Dernière modification par freddy (06-10-2013 11:01:52)

ymagnyma

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Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Bonjour. On peut toujours regarder ...

Avec [tex]u_n =  \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}[/tex] ; [tex]v_n =  \sum_{k=1}^n \left(\frac{5}{4}\right)^k[/tex] et [tex]w_n =  \sum_{k=1}^n \left(-\frac{1}{5}\right)^k[/tex]

Mais attention, Freddy a raison, connaitre son cours, c'est bien ; pas mieux pour démontrer des résultats qu'on peut conjecturer, en utilisant par exemple un tableur. Mais j'insiste, le comportement des 37 premiers termes ne constitue pas une preuve du résultat cherché.

Par exemple, [tex]t_n=\frac{27^n}{n !}[/tex], mieux vaut réfléchir que conjecturer sur les premiers termes.

Zarara

Invité

Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Bonjour tous les deux! :)

Merci pour votre aide!
C'est que je connais mon coeur mais j'ai du mal à "appliqué" mes connaissances.
Après avoir vu ton tableau j'ai envie de répondre que :

1)Un=1/4+1/8+...+1/(2n) => tend vers 1
2)Un=1+5/4+(5/4)²+...+(5/4)n => Tend vers + l'infini
3)Un=1-1/5+1/25-1/125+...+(-1/5)n => tend vers -0.166

Zarara

Invité

Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

je vais essayer de revoir mon cours de mon coté

ymagnyma

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Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Oui, c'est bien ça, la troisième tend plus précisément vers [tex]-\frac{1}{6}[/tex].

Mais, comme déjà dit, il reste à le prouver. Et Freddy te proposait d'utiliser la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique.

Reconnais-tu dans chacun des cas des suites géométriques ? Si oui, pour chaque cas, qu'elle est la raison q et le premier terme [tex]u_1[/tex] ?
Quelle est la formule de la somme, (puisque q est différent de 1) ? (ça c'est du cours, ni plus ni moins).

Dans chaque cas, une fois la somme réécrite via la formule, fait tendre n vers l'infini, et tu retrouveras les résultats conjecturés.

N'hésite pas à donner tes réponses au fur et à mesure.
Bon courage.

Dernière modification par ymagnyma (06-10-2013 15:44:51)

freddy

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Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Salut,

déjà, si on écrit les suites sous Latex, on "voit" mieux ce qu'il se passe.

1 ) [tex]U_n=\sum_{p=2}^n \left(\frac{1}{2}\right)^p[/tex]

2 ) [tex]U_n=\sum_{p=0}^n \left(\frac{5}{4}\right)^p[/tex]

3) [tex]U_n=\sum_{p=0}^n \left(-\frac{1}{5}\right)^p[/tex]

et se souvenir que (résultat du cours ou alors on le démontre) :

[tex]U_n=\sum_{p=0}^n x^p = \underbrace{1+x+x^2 + \cdots + x^n}_{(n+1) \text{termes}}= \frac {1-x^{(n+1)}}{1-x}[/tex] pour [tex]x \ne 1[/tex]

Si on appelle x la raison, alors (toujours le cours ou la démonstration du cours), on "voit" que si [tex]|x| \lt 1[/tex], la somme converge, sinon, elle diverge.

Tout est très bien expliqué ici !

viens nous dire ce que tu as fait, il ne te reste plus qu'à identifier, c'est à dire appliquer. N'hésite pas, si tu ne trouves pas, on te mettra sur la voie !

Dernière modification par freddy (07-10-2013 09:19:52)

Zarara

Invité

Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Bonjour Freddy et Ymagnyma!

Merci pour vos réponses :) je m'excuse de ne pas vous avoir répondu plutôt.
J'ai fait certaines choses que mon coté mais ce n'était pas les réponses attendu malheureusement.
J'ai chercher la raison sans passer par la somme. Pourquoi doit-on faire par somme?
Nous avons corrigé l'exercice en classe (le 1 et 2) et je dois vous avouer que malgré la correction j'ai toujours des difficultés à comprendre...
J'espère que vous pourrez m'aider!

Alors voici la correction:

1) Sigma avec n et k=0, u*q^k= u0+u*q+u*q²
=1er terme * 1-q^{nombre de terme} / 1-q
=u0*(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)

Un=1/4+1/8+...1/2ⁿ
U0=1/4   et  q=1/2

Question: J'ai du mal à comprendre comment on trouve la raison ainsi que le genre de suite (arithmétique ou géométrique). J'ai par habitude de faire u2-u1 puis u1-u0 ou u2/u1 puis u1/u0... Mais ici je n'ai que deux termes.  Est-ce 1/2ⁿ qui met sur la voie?

Un=1/4*1-1(1/2)^n-1/1-(1/2)
Un=1-(1/2)^n-1/2
Donc, par somme du quotient lim (1/2)^n-1=0 car -1<1/2<1

Questions: Pourquoi ici on fait Un=u0*(1-q^n-1)/1-q et non pas u0*(1-qⁿ⁺¹)/1-q?
Ensuite on prend juste la raison et on remarque que c'est comprit entre -1 et 1 donc lim Un = 0.
Je ne comprendre pas très bien la phrase de la correction "par somme du quotient lim (1/2)^n-1=0 ". On a additionné quoi et quoi?

2) Un > ou égal à (5/4) ⁿ⁺¹
Or lim n->+oo (5/4)ⁿ⁺¹ = +oo
Donc par comparaison lim Un =+o

Question : Je n'ai pas très bien saisit le "par comparaison" et la méthode utilisé ici. Est-ce possible de faire la méthode avec la somme?Si oui, cette fois je devrais faire :

Un = 1*1-(5/4)ⁿ⁺¹ / 1-(5/4) ou Un = 1-(5/4)^n-1/1-(5/4)?

J'espère que vous pourrez m'aider! Pardon pour toutes ces questions!
Merci.

Zarara

Invité

Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Une petite erreur dans mon message :
Or lim n->+oo (5/4)n+1 = +oo
Donc par comparaison lim Un =+oo et non +o

Voilà :)

ymagnyma

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Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Bonjour Zarara.

Pas très pratique quand même pour te relire.

Une première réponse pour le 1) et une remarque sur mes posts #3 et #6. Pour une raison qui m'échappe, (ou inavouable), j'ai pris la somme à partir de k=1. Pas de raison de ne pas prendre à partir de k=0 ; ça c'est pour moi.

En fait, l'expression que tu donnes au post #1 est un peu maladroite. parce que pour n=0, ou n=1, on ne comprend pas bien ce qui se passe.
On peut voir [tex](U_n), n\geqslant 0[/tex], comme la somme des premiers termes de la suite [tex](u_n), n\geqslant 0[/tex] définie par [tex]u_0=\frac{1}{4}[/tex] et par la relation de récurrence [tex]u_{n+1}=\frac{1}{2} u_n[/tex].
On voit alors clairement que [tex](u_n)[/tex] est géométrique, de raison 0.5 et de premier terme 0.25.
Par ailleurs, on a [tex]u_n=\frac{1}{4} * \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{n+2}}[/tex].
D'où, en particulier, pour[tex] n\geqslant 2, u_{n-2}= \frac{1}{2^n}[/tex], dernier terme de[tex] U_n[/tex].
C'est cette dernière formule qui explique que [tex]U_n = \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n}=u_0+...+u_{n-2}[/tex]
somme de n-2+1=n-1 termes, dont le premier est[tex] u_0[/tex].
D'où [tex]U_n=\frac{1}{4}\times \frac{1-0.5^{n-1}}{1-0.5}=\frac{1-0.5^{n-1}}{2}[/tex].
Ce résultat, tu le trouves directement en appliquant la formule de cours à la première somme écrite par Freddy au post #7.
Avec son écriture, le premier terme est [tex]u_2=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}[/tex] ; tout va bien.
Il y a n-2+1=n-1 termes ... On retrouve donc la même chose.

Tu dis qu'on prend juste la raison et que la limite de [tex]U_n[/tex] est 0, ça c'est faux.
Pour étudier la limite de [tex]U_n[/tex], on regarde celle du numérateur de [tex] U_n=\frac{1-0.5^{n-1}}{2}[/tex] puisque le dénominateur est constant.
Pour étudier la limite de [tex]1-0.5^{n-1}[/tex], ben on regarde celle de [tex]0.5^{n-1}[/tex].
De nouveau, on utilise un résultat de cours. -1<0.5<1 donc [tex]0.5^{n-1}[/tex] tend vers 0 à l'infini.
Donc [tex]1-0.5^{n-1}[/tex] tend vers 1 à l'infini.
Donc [tex] U_n[/tex] tend vers 1/2 à l'infini.

Dernière modification par yoshi (13-10-2013 15:26:06)

ymagnyma

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Re : Utiliser la limite d'une suite arithmétique ou gémométrique

Pour la deuxième question, je ne vais pas te donner tout de suite la réponse, je préfère que tu relises bien le post #7 de Freddy, en observant les valeurs de départ et d'arrivée prises par p.
(la valeur de départ est celle du bas du SIGMA, la valeur d'arrivée est celle du haut).

Ces deux valeurs te permettent de calculer le nombre total de termes de la somme :
nombre de termes = valeur d'arrivée - valeur de départ + 1.
Ainsi, de 20 à 24, il y a 24-20+1=5 termes : 20 ; 21 ; 22 ; 23 et 24.

Parmi les deux expressions que tu proposes (puissance  n+1 ou puissance n-1), y en t-il une de bonne, et si oui, laquelle ?
Pour l'étude de la limite, procède comme je viens de le faire au post #10.
Bon courage, et au passage, c'est très bien de reprendre les corrections !

Dernière modification par ymagnyma (13-10-2013 17:08:35)