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Zarara

Invité

théorème de comparaison et gendarme

Théorème de gendarme

Bonjour,

je souhaiterai avoir de l'aide. J'ai du mal à faire la différence entre théorème de comparaison et théorème de gendarme.

J'espère que vous pourrez m'expliquer.
Voici un exemple d'exercice que que le professeur a donné et corrigé :

Un= [(-1)ⁿ+n]/n²

Montrons que : lim n-> +oo (Un)1

-1< ou égal (-1)ⁿ< ou égal 1
-1 + n² < ou égal (-1)ⁿ+n² < ou égal 1+n²
(-1+n²)/n²< ou égal [(-1)ⁿ+n²]/n² < ou égal (1+n²)/n²

lim n->oo (1+n²)/n²=lim n->oo n²/n² = lim n 1 = 1 car 1+n²/n² est un quotient de polynôme. De la même façon.
lim n->oo (1+n²)/n²=lim n²/n²=lim n->oo 1=1

Questions:

-Le professeur nous a donné cet exemple sans d'énoncé. Je ne sais pas vraiment ce qu'on cherche.
-Comment fait-on pour savoir quand utiliser le théorème de comparaison ou de gendarme?
-Lorsque l'on utilise le théorème de comparaison ou le théorème est-ce pour montrer la convergence de la suite? (vers ou elle tend c'est à dire la limite...?)
-Quelles est la différence entre théorème de comparaison et de gendarme? Je sais qu'avec le théorème de gendarme la suite est bornée...mais il me manque des précisions pour comprendre les deux de manière distincts.
-Comment sait-on qu'il faut ici "Montrez que : lim n-> +oo (Un)1"

Merci de bien vouloir m'aider! :)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : théorème de comparaison et gendarme

Bonjour,

-Le professeur nous a donné cet exemple sans d'énoncé. Je ne sais pas vraiment ce qu'on cherche.

Je pense que c'est parce qu'il voulait donner un exemple dans son cours. Si cela avait été un exercice, l'énoncé aurait été : soit [tex](u_n)[/tex] la suite définie par .... Démontrer que [tex](u_n)[/tex] converge vers 1.

-Comment fait-on pour savoir quand utiliser le théorème de comparaison ou de gendarme?

Je ne sais pas ce que tu appelles le théorème de comparaison. Est-ce le théorème qui dit que si [tex]u_n\leq v_n[/tex] et [tex](u_n)[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex], alors [tex](v_n)[/tex] aussi.
On utilise ces théorèmes lorsqu'on ne sait pas déterminer simplement, en utilisant les suites de référence et les opérations algébriques, la limite d'une suite. Très souvent, l'énoncé te guidera en te donnant un encadrement à obtenir. Sinon, on utilise souvent cela par exemple si la suite fait apparaitre des [tex](-1)^n, \sin(n),...[/tex]

-Lorsque l'on utilise le théorème de comparaison ou le théorème est-ce pour montrer la convergence de la suite? (vers ou elle tend c'est à dire la limite...?)

Oui, on démontre à la fois que la suite est convergente, et on détermine sa limite.

-Quelles est la différence entre théorème de comparaison et de gendarme? Je sais qu'avec le théorème de gendarme la suite est bornée...mais il me manque des précisions pour comprendre les deux de manière distincts.

cf ci-dessus.

-Comment sait-on qu'il faut ici "Montrez que : lim n-> +oo (Un)1"

Parce que ton prof a un peu d'expérience et que ca lui saute aux yeux que la suite tend vers 1. Toi aussi, avec un peu d'entrainement, cela te semblera plus facile. Disons que, dans cet exemple, le [tex](-1)^n[/tex] ne pèse rien par rapport au [tex]n^2[/tex]. Donc ta suite se comporte à peu près comme [tex]n^2/n^2[/tex]...

Merci de bien vouloir m'aider! :)

C'est fait :-)
F.

Zarara

Invité

Re : théorème de comparaison et gendarme

Merci beaucoup Fred! :)