un problème dans les nombres complexes

freddy · 06-09-2013 08:15:50

totomm a écrit :

Bonsoir,
patience, on y arrive...avec encore une autre méthode de calcul...

Oui, et donc, alors ?

yoshi · 06-09-2013 09:12:38

Salut,

Patience !
Là, il attend simplement qu'apoi réponde à ma question, qu'il nous montre qu'il sait utiliser la forme conjuguée et l'écriture trigonométrique des complexes...
Cela dit, apoi répondra-t-il un jour ? Il joue au "Petit Poucet et semble oublier le dernier caillou.
Je laisse passer la semaine,et je donnerai ma réponse, puis totomm nous expliquera ce qui est, pour lui, sous-jacent dans l'idée de poser [tex]x = \tan \theta[/tex]...
J'ai bien l'impression qu'apoi a été déçu de ne pas avoir la solution à son dernier problème avec les complexes !

Si je suis obligé de donner la solution et totomm la sienne, alors apoi sera grillé ici...

@+

apoi · 06-09-2013 12:18:16

salut tout le monde ,

s'il vous plait excusez-moi j'étais malade cette semaine et maintenant j'ai revenu une nouvelle foi... pardon!!!

Dernière modification par apoi (06-09-2013 18:01:41)

apoi · 06-09-2013 17:59:26

salut, je fais un rappel de tes questions yoshi

A partir de la forme trigonométrique :
- tu dois utiliser la forme conjuguée du dénominateur
- la formule de Moivre au numérateur

voila la forme conjuguée du dénominateur : [tex]\cos\theta-i\sin\theta={\bar{\cos\theta+i\sin\theta}}[/tex]

-mais comment écrire la formule de Moivre au numérateur car il n'y a aucune puissance levée...

Dernière modification par apoi (06-09-2013 18:00:52)

yoshi · 06-09-2013 20:10:27

Salut,

J'ai écrit "forme conjuguée" ce qui prêtait à confusion.
J'aurais mieux fait d'écrire "quantité conjuguée", ça aurait été plus clair...
La quantité conjuguée du dénominateur est [tex]\cos\theta+i\sin\theta[/tex]

J'ai écrit très exactement :

Résumé : le quotient a pour module 1 et pour argument [tex]2\theta[/tex] .
[tex]\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta}[/tex]
A partir de la forme trigonométrique :
- tu dois utiliser la forme conjuguée du dénominateur
- la formule de Moivre au numérateur

à quoi tu réponds :

apoi a écrit :

mais comment écrire la formule de Moivre au numérateur car il n'y a aucune puissance levée...

Je n'ai pas dit écrire, j'ai dit utiliser.
Et après avoir utilisé la quantité conjuguée du dénominateur.

Pense à ces 2 questions : comment utiliser la quantité conjuguée du dénominateur ? Pour quoi faire (ce qu'on fait d'habitude avec une quantité conjuguée, en dehors des complexes) ?

Si tu réponds, tu sauras utiliser la formule de Moivre.

@+

apoi · 06-09-2013 20:52:44

salut yoshi , d'accord je vais essayer maintenant ....

apoi · 06-09-2013 23:21:03

salut yoshi , voila : on obtien à la fin : [tex]\cos{2\theta}+isin{2\theta}[/tex] . encore prêt pour vos indications yosh !!!

Dernière modification par apoi (06-09-2013 23:22:57)

yoshi · 07-09-2013 13:04:40

Bonjour,

L'énoncé disait :

Ecrivez sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant:
[tex]z=\frac{1+xi}{1-xi}[/tex]

En remarquant que 1+xi et 1-xi étaient des nombre conjugués on en déduisait que leurs modules étaient égaux et que leur quotient valait 1.
on pouvait donc écrire : [tex]z =\frac{\cos \theta+i\sin\theta}{\cos \theta-\sin\theta}=\frac{(\cos \theta+i\sin\theta)^2}{(\cos \theta-\sin\theta)(\cos \theta+i\sin\theta)}=\frac{\cos 2\theta+i\sin2\theta}{1}=\cos 2\theta+i\sin2\theta[/tex]

Immédiat, si on utilise l'écriture exponentielle :
[tex]z=\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}}=e^{i2\theta}[/tex]

Voilà.

Maintenant à totomm de jouer et de nous monter ce qu'il fait en posant [tex]x=\tan \theta[/tex]

@+

totomm · 07-09-2013 14:06:58

Bonjour,

Il faut dire que notre professeur avait présenté le produit des nombres complexes comme un produit algébrique tout habituel :
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi², mais avec x²=-1 d'où (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
puis vint la représentation vectorielle où le produit z1 par z2 se fait en additionnant les arguments des vecteurs représentatifs

depuis, j'ai toujours plaisir à développer : [tex]\frac{1+xi}{1-xi}=\frac{(1+xi)(1+xi)}{(1-xi)(1+xi)}=\frac{1-x^2+2xi}{1+x^2}[/tex]

Quand on écrit z=a+bi, il est clair qu'en désignant l'argument de z par [tex]\theta[/tex] on a [tex]tan\theta=\frac{b}{a}[/tex]
donc il est évident que pour z=1+xi on a [tex]tan\theta=\frac{x}{1}=x[/tex]

Voyons le dernier membre [tex]z=\frac{1-x^2+2xi}{1+x^2}[/tex] le dénominateur est réel donc son argument [tex]\alpha[/tex] est celui du numérateur et
[tex]tan\alpha=\frac{2x}{1-x^2}\ et\ l'on\ reconnait \ tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}\ d'où\ \alpha=2\theta[/tex]

Ainsi [tex]avec\ x=tan\theta\ on\ a\ z=\frac{1+xi}{1-xi}=cos2\theta+isin2\theta[/tex]

apoi · 07-09-2013 14:57:05

salut et merci beaucoup,

merci beaucoup yoshi et totomm excellent travail j'ai tellement compris !!!

apoi · 07-09-2013 17:04:51

salut,

est-ce que vous pensez que cette manière est efficace si on remplace 1 par 2 par exemple ?

totomm · 07-09-2013 17:25:29

Ré,

Si l'on change 1 par r réel seul change l'argument [tex] \theta[/tex]
On aura [tex]tan\theta=\frac{x}{r}[/tex]

apoi · 07-09-2013 21:03:31

merci beaucoup totomm...

yoshi · 08-09-2013 10:13:14

Bonjour,

D'accord.
Cela dit, je persiste à penser que le passage à la notation exponentielle simplifiait de beaucoup l'exercice.
Je reprends l'énoncé :

Ecrivez sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant :
[tex]z=\frac{1+xi}{1-xi}[/tex]

Réponse complète :
1. On constate que [tex]1-ix =\overline{1+ix}[/tex].
2. On pose [tex]z_1 = 1+ix\;;\;z_2=1-ix[/tex]. On a donc [tex]|z_1| = |z_2|,\;arg(z_2)=-arg(z_1)[/tex]
On peut écrire que, en notant [tex]\theta[/tex] l'argument de [tex]z_1,[/tex] alors [tex]z=\frac{|z_1|e^{i\theta}}{|z_2|e^{-i\theta}}=e^{i2\theta}=\cos 2\theta+i\sin 2\theta[/tex]

Permettez-moi de me montrer, pour une fois, très satisfait de l'économie des moyens employés comme de celle des calculs.

@+

totomm · 08-09-2013 10:49:23

Bonjour,

@yoshi : OK. en soulignant qu'il faut quand même relier [tex]2\theta\ à\ x\ via\ tan\theta = x[/tex]

Mon intention n'était que de montrer l'unité de résultat entre calcul algébrique (a+ib)(c+id) et calcul sous forme polaire.

Je me souviens que, lycéen, ce fut un "émerveillement" de constater que, pour les nombres complexes, un calcul algébrique correspondait à des additions d'angles
Bien plus tard ce fut pareil dans l'espace avec les quaternions...(hors sujet)

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