besoin d'aide pour surmonter un bloc .

apoi · 26-08-2013 00:57:50

salut tout le monde ,

au cours de la résolution d 'exercice au-dessous j'ai rencontrer un bloc s'il vous plait aidez-moi à surmonter ce bloc .voila l'exercice :

on considere dans Cl'equation suivante : z²+az+b=0 tels que : a et b sont deux nombres complexes .

soit z1 et z2 les deux racines de cette équations .

1) montrer que : b/a² Є R*+ ⇔ arg(b)= 2 arg(a)

*j'ai déjà répondu à cette question *

2) déduit que :

( |a|² ≤ 4|b| et arg(b)=2arg(a) ) ⇒ |z1|=|z2|

j'ai déjà essayé avec cette question mais j'ai rencontré un bloc .s'il vous plait j'ai besoin de vos idées pour traverser ce bloc .voila mon essaye:

montrer |z1|=|z2| c'est à dire montrer que z1/z2 et z2/z1 sont conjuguées entre eux .

pour cela , il faut montrer que z1/z2 et z2/z1 sont deux racines d'une équation avec des quifitions réels et Δ<0 . et voila , j'ai bloqué .

s'il vous plait aidez-moi à dépasser ce bloc .

merci d'avance .

Dernière modification par apoi (27-08-2013 01:51:34)

yoshi · 26-08-2013 22:28:03

Bonsoir,

Que sait-on de a et b ? [tex] a,b \in\; ???[/tex]
Ceci n'est sûrement pas l'énoncé d'origine...
Veux-tu bien recopier fidèlement cet énoncé s'il te plaît...

Extrait de nos Règles de fonctionnement :

* Présentation du sujet. Rien n'est plus pénible qu'un sujet incomplet ou réinterprété par celui qui demande de l'aide : avant de cliquer sur le bouton Valider, dans votre intérêt, assurez-vous que votre texte soit une copie conforme de votre énoncé. Faute de quoi, il n'y serait probablement pas répondu et votre discussion fermée avec une une invite à recommencer.

@+

apoi · 28-08-2013 01:39:28

salut yoshi,

a et b sont deux nombres complexes.

yoshi · 02-09-2013 12:44:27

Salut,

Tu n'as pas voulu remettre le texte intégral d'origine sur le forum.Il se trouve que je n'ai pas confiance, peut-être à tort, dans le texte que tu as posté et que ça me gêne ; en outre je manque de temps en ce moment : je n'ai pas le temps de réfléchir beaucoup.
Et ton problème est loin d'être simple...

D'autre part, tu réclames une réponse, d'accord, mais toi, tu t'es dispensé de l'énoncé exact et tu n'a pas répondu ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6226 à mon post #23...
Alors, il ne faut pas t'étonner du peu d'empressement qu'on met à te répondre...

Peut-être que maintenant que j'ai fait une réponse, certains, silencieux jusqu'alors, vont comme par hasard se réveiller et expliquer doctement que non, c'était très simple !!!

J'y ai un peu réfléchi.
Je traduis la condition arg(b)=2arg(a) avec la forme trigonométrique :
[tex]a=|a|e^{i\theta}[/tex] et [tex]b=|b|e^{i2\theta}[/tex]
D'où
[tex]\frac{a}{b}=\frac{|a|e^{i\theta}}{|b|e^{i2\theta}}=\frac{|a|}{|b|}e^{-i\theta}[/tex]
Mais je ne sais pas où ça me mène...

Et pour [tex]|a|^2 \leqslant 4|b|[/tex], la seule piste que je trouve à explorer est le discriminant [tex] \Delta = a^2-4b[/tex]...
D'autre part on sait aussi que :
[tex]\frac{b}{a^2}\in \mathbb{R}^{*+}[/tex]
[tex]z_1z_2=b[/tex]
[tex]z_1+z_2=-a[/tex]

J'ai aussi pensé à partir de la conclusion et à "remonter le courant" :
avec \Delta = 0, j'ai z_1 = z_2 et donc forcément |z_1|=|z_2|
avec \Delta < 0, cette écriture n'a de sens que si [tex]a^2-4b \in \mathbb{R^{-}}[/tex] mais de là à conclure que |z_1|=|z_2| il y a une marche que je ne peux franchir...
Et comme je l'ai dit, je n'ai pas trop de temps pour !

Ce qui m'intéresserait c'est de voir comment tu es arrivé à prouver que : [tex]\frac{b}{a^2}\in \mathbb{R}^{*+}\Leftrightarrow arg(b)= 2 arg(a)[/tex].

@+

freddy · 02-09-2013 12:58:15

yoshi a écrit :

Salut,
Tu n'as pas voulu remettre le texte intégral d'origine sur le forum.Il se trouve que je n'ai pas confiance, peut-être à tort, dans le texte que tu as posté et que ça me gêne ; en outre je manque de temps en ce moment : je n'ai pas le temps de réfléchir beaucoup.
Et ton problème est loin d'être simple...
D'autre part, tu réclames une réponse, d'accord, mais toi, tu t'es dispensé de l'énoncé exact et tu n'a pas répondu ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6226 à mon post #23...
Alors, il ne faut pas t'étonner du peu d'empressement qu'on met à te répondre...
Peut-être que maintenant que j'ai fait une réponse, certains, silencieux jusqu'alors, vont comme par hasard se réveiller et expliquer doctement que non, c'était très simple !!!
(...)
@+

Ou alors, il a pris pour argument une tangente que je cherche toujours (enfin, plus trop mais sait-on jamais ... il est des remarques qui ont le don de réveiller un mort ) :-)))

Sinon, j'ai décidé de ne plus lire apoi qui : 1) remercie rarement alors qu'il nous bombarde de question 2) ne s'est toujours pas mis au latex :-)))

totomm · 02-09-2013 15:24:50

Bonjour,
Je ne répondrai plus aux interventions d'apoi s'il ne satisfait pas correctement aux précisions demandées par yoshi.

apoi · 06-09-2013 12:13:57

salut tout le monde ,

s'il vous plait excusez-moi j'étais malade cette derniere semaine et maintenant j'ai revenu une nouvelle fois... pardon!!!

Dernière modification par apoi (06-09-2013 12:20:46)

apoi · 06-09-2013 18:36:51

salut tout le monde et pardon car j'étais malade la semaine précédente . ne fâchez pas de moi s'il vous plait ...

salut yoshi,

pour la première question ,

[tex]\frac{b}{a^2}\in\mathbb{R*^+}\Longleftrightarrow\arg(\frac{b}{a^2})=0

\Longleftrightarrow\arg(b)-arg(a^2)=0

\Longleftrightarrow\arg(b)=2arg(a) [/tex]

mais le probleme est dans la deuxieme question je cherche une equation avec des indices reels comme j'ai dis dans l'enoncé

yoshi · 06-09-2013 19:53:48

RE,

Ok.
J'avais compris que tu étais bloqué à la 2e question... Merci.
Je t'ai aussi demandé de recopier l'énoncé exact à la virgule près sans interprétation de ta part : l'énoncé tel que tu l'as formulé me gêne (à tort ou à raison, on verra).
J'attends toujours.

@+

apoi · 06-09-2013 23:47:19

salut yoshi ,

je recopie l'énoncé:

on considere dans[tex] \mathbb{C}[/tex]l'equation suivante : [tex]z^{2}+az+b=0 [/tex]

tels que : a et b sont deux nombres complexes .

soit [tex]z_1[/tex] et [tex]z_2[/tex] les deux racines de cette équations .

1) Montrer que : [tex]\frac{b}{a^{2}}\in\mathbb{R^{*+}}\Longleftrightarrow{\arg(b)= 2 arg(a)}[/tex]

2) Déduit que :

([tex]|a|^{2}\le4|b|[/tex] et [tex]arg(b)=2arg(a) )\Longleftrightarrow|z1|=|z2|[/tex]

yoshi · 07-09-2013 12:51:37

Bonjour,

Donc ce que tu as noté ci-dessus est une copie conforme, à la virgule près, au mot près, de ton énoncé d'origine ?
Il n'y manque pas un mot, pas une phrase ?

@+

apoi · 07-09-2013 13:58:16

bonjour,

oui je l'est vérifié presque dix fois...

totomm · 07-09-2013 14:46:19

Bonjour,

étant donné z²+ax+b, a et b complexes,

sous la forme classique on peut écrire [tex]z_1=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}\ et\ z_2=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}[/tex]

ayant pour hypothèses : [tex]|a|^{2}\le4|b|\ et\ arg(b)=2arg(a)[/tex], que peut-on déduire de l'argument de la racine carrée par rapport à l'argument de a ?

Dernière modification par totomm (07-09-2013 14:46:48)

apoi · 07-09-2013 15:12:42

bonjour ,

totomm veuillez m'indiquer de quel racine carré vous parlez ?

yoshi · 07-09-2013 15:13:05

Re,

Bin, ma foi, je suis assez perplexe, il y a très, très très... longtemps que ça ne m'est pas arrivé...
Je fais une dernière tentative avant de rendre les armes.
Je ne vois veaiment pas comment guider apoi vers ce chemin, je poste donc ma supposée solution.

Je note r_a=|a], r_b=|b|, et [tex]\theta=arg(a)[/tex].
[tex]\Delta=a^2-4b=r_a^2e^{2i\theta}-4r_be^{2i\theta}=e^{2i\theta}(r_a^2-4r_b)[/tex]
Puisque selon l'énoncé
[tex]|a|^2\leqslant 4|b|[/tex] alors [tex]|a|^2- 4|b|\leqslant 0[/tex], et [tex]r_a^2-4r_b \leqslant 0[/tex]
alors
1. Si [tex]|a|^2 = 4|b|[/tex], alors [tex]\Delta = 0[/tex], solution double [tex]z_1 = z_2[/tex], donc [tex]|z_1| = |z_2|[/tex].
2. Si [tex]|a|^2 < 4|b|[/tex], alors [tex]r_a^2-4r_b < 0[/tex]
Et [tex]r_a^2-4r_b = i^2(4r_b-r_a^2)[/tex]
D'où [tex]\Delta =i^2e^{2i\theta}(4r_b-r_a^2)[/tex]
Solutions
[tex]z_1=\frac{-r_a e^{i\theta}- ie^{i\theta}\sqrt{4r_b-r_a^2}}{2}=e^{i\theta}\frac{-r_a - i\sqrt{4r_b-r_a^2}}{2}[/tex]
Et donc
[tex]z_2 = e^{i\theta}\frac{-r_a + i\sqrt{4r_b-r_a^2}}{2}[/tex]
Là, le quotient des racines, permet de faire "disparaître" le [tex]e^{i\theta}[/tex] obstacle (?) pour prouver que [tex]\frac{z_1}{z_2}=\overline{\left(\frac{z_2}{z_1}\right)}[/tex]...

Je ne peux pas dire que je suis sûr de moi... Cette méthode me paraît bien "tordue" et vraiment compliquée.
Je n'ai toujours pas le temps de faire mieux...
Peut-être une idée géniale me viendra-telle, mais j'en doute !

Trop de choses m'occupent en ce moment : ça ira mieux le 15.

@+

[EDIT]
Je viens de voir la réponse sybilline de totomm...
Je vais méditer.
A ce propos, apoi exagère...
Quelle racine carrée ? demande-t-il...
Cela, c'est pourtant visible comme le nez au milieu de la figure !

Dernière modification par yoshi (07-09-2013 15:16:41)

totomm · 07-09-2013 16:04:58

Re,

Ah, yoshi, vous êtes au but ! module de (a+bi) comparé à module de (a-bi ) !

Comme vous j'ai trop douté de la possibilité d'une solution d'après la présentation du problème.
Et quand on part sur ce genre d'idée, aucune chance de trouver aisément.

La solution m'est venue en marchant, sans l'avoir cherchée à ce moment-là :
La racine devait introduire des perpendiculaires au complexe -a !
Effectivement si l'argument de b est 2 fois celui de a, et si |a²| < |4b|, sous la racine on ajoute [tex]\pi[/tex] à l'argument de a² et la racine introduit [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] par rapport à l'argument de a....

Mon post précédent ne donnait pas la solution, il était censé orienter ....

yoshi · 07-09-2013 18:48:36

Bonsoir,

Je suis rassuré, parce que j'y ai travaillé souvent, par petites séquences et plus je cherchais, plus cela me paraissait abscons...
Ce n'est que cet après-midi que j'ai décidé d'en finir et que j'ai fini par trouver quelque chose qui m'a semblé - enfin - cohérent...
Il était temps.

Vu les nœuds au cerveau que je m'étais fait pour arriver là, je ne voyais vraiment pas comment en peu de mots le guider dans ma méthode.
Je suis certain qu'elle va lui créer quelques "états d'âmes", et votre phrase "Effectivement si l'argument de b est 2 fois celui de a, et si |a²| < |4b|, sous la racine on ajoute [tex]\pi[/tex] à l'argument de a² et la racine introduit [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] par rapport à l'argument de a.... va lui en créer d'autres !

@+

apoi · 08-09-2013 00:15:32

salut,

il faisait deux heures que j'avais essayé de comprendre seulement cette phrase de totomm :

"Effectivement si l'argument de b est 2 fois celui de a, et si |a²| < |4b|, sous la racine on ajoute [tex]\pi[/tex] à l'argument de a² et la racine introduit [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] par rapport à l'argument de a....

mais sans aucune résultat !!!!

vous ne pensez pas qu'il faut cherchez une équation d'où les indices sont tout réels ( on a [tex]\frac{b}{a^{2}}\in\mathbb{R^{*+}}[/tex])

Dernière modification par apoi (08-09-2013 00:26:19)

totomm · 08-09-2013 10:25:19

Bonjour,

@ apoi : Suivez la méthode yoshi du post #15 qui est rigoureuse

Cette méthode consiste à se ramener à une "valeur réelle positive" sous la racine carrée qui figure dans z1 et z2 de façon à comparer les modules de 2 nombres (u+iv) et (u-iv) pour lesquels u et v sont réels.

Ma phrase " si l'argument de b est 2 fois celui de a, et si |a²| < |4b|, sous la racine on ajoute [tex]\pi[/tex] à l'argument de a² et la racine introduit [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] par rapport à l'argument de a...."
Se rapporte à la vision que j'avais de ce problème en marchant.

Je voyais, sous la racine carrée de z1 et z2, des vecteurs alignés correspondant à a² et 4b et celui de a² plus petit que celui de 4b.
Donc il fallait "voir" un vecteur représentant 4b-a² de sens opposé au sens du vecteur de a², ce qui correspond à une rotation de [tex]\pi[/tex] de a²-4b.

et comme [tex]argument(\sqrt{z})=\frac{1}{2}argument(z)[/tex] la rotation effective devient[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
Mais ceci n'était qu'une marche vers la compréhension de la solution (une intuition) et non son écriture rigoureuse comme fait par yoshi !

Dernière modification par totomm (08-09-2013 10:26:54)

yoshi · 08-09-2013 11:08:31

Re,

@ apoi : Suivez la méthode yoshi du post #15 qui est rigoureuse

Merci de nouveau.

Ce qui m'avait arrêté, c'est un peu le gendre de problème que totomm a soulevé...
En effet, je me suis assez rapidement rendu compte que le a² et le 4b nous dirigeait vers le discriminant (ce a² et le 4 de 4b notamment ne pouvaient "tomber du ciel" comme ça en, claquant des doigts...), sauf que le discriminant était un complexe et que positif ou négatif n'avaient aucun sens en ce qui le concernait...
J'ai cherché longtemps à ruser avec les inégalités et les "valeurs absolues" avec différentes inégalités triangulaires, sans succès.
Et j'ai fini par me rendre à l'évidence : pour traiter [tex]\Delta < 0[/tex], il me fallait impérativement un réel sous la racine et là, la maturation s'est faite.
Cela dit, je ne suis pas satisfait : je trouve ma méthode horriblement calculatoire, pas du tout dans l'esprit de la 1ere question.
Je reste persuadé qu'il doit y avoir plus simple et plus direct...

@+

amatheur · 08-09-2013 11:33:33

salut
d'abord je ne trouve pas que la solution de yoshi soit particulièrement horrible, puis je crois qu'il faudra prouver la réciproque puisque c'est d'une équivalence qu'il s'agit.
@+

apoi · 08-09-2013 12:33:34

salut ,

je vois que la méthode suivi par YOSHI est très bonne solution, car il consiste à dénouer le problème de la signe négative sous les racines de façon à comparer tout simplement les modules de 2 nombres (u+iv) et (u-iv) pour lesquels u et v sont réels. comme il a dit totomm .

@totomm , pardon mais je ne comprend encore pas comment on va servir des vecteurs pour résoudre ce problème ... mais je pense qu'il y aura une méthode complètement géométrique qui pourra vérifier ce problème , je vais essayer...

cordialement !!

apoi · 08-09-2013 12:49:31

amatheur a écrit :

salut
je crois qu'il faudra prouver la réciproque puisque c'est d'une équivalence qu'il s'agit.
@+

salut,

non je voudrais seulement prouver [tex]\rightarrow[/tex]

Dernière modification par apoi (08-09-2013 13:01:28)

yoshi · 08-09-2013 12:56:45

Bpnjour,

Et bien tu vois apoi : tu npos donnes raison de t'avoir dema

yoshi · 08-09-2013 13:04:21

Bpnjour,

Et bien tu vois apoi : tu nos donnes raison de t'avoir demandé de recopier intégralement tpn énoncé...
Mais maintenant, nous sommes dans le doute :
amatheur a raison puisqu'il a lu dans ton post #10 :

En déduire que
[tex](a|^{2}\le4|b|[/tex] et [tex]arg(b)=2arg(a) )\Longleftrightarrow|z1|=|z2|)[/tex]

Et pourtant, si je m'en réfère à ton post #1, tu y as pourtant écrit :

En déduire que
[tex](a|^{2}\le4|b|[/tex] et [tex]arg(b)=2arg(a) \Longrightarrow|z1|=|z2|)[/tex]

Alors quelle est donc la bonne version ? Il faudrait savoir !

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-08-2013 00:57:50

besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#2 26-08-2013 22:28:03

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#3 28-08-2013 01:39:28

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#4 02-09-2013 12:44:27

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#5 02-09-2013 12:58:15

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#6 02-09-2013 15:24:50

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#7 06-09-2013 12:13:57

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#8 06-09-2013 18:36:51

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#9 06-09-2013 19:53:48

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#10 06-09-2013 23:47:19

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#11 07-09-2013 12:51:37

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#12 07-09-2013 13:58:16

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#13 07-09-2013 14:46:19

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#14 07-09-2013 15:12:42

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#15 07-09-2013 15:13:05

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#16 07-09-2013 16:04:58

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#17 07-09-2013 18:48:36

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#18 08-09-2013 00:15:32

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#19 08-09-2013 10:25:19

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#20 08-09-2013 11:08:31

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#21 08-09-2013 11:33:33

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#22 08-09-2013 12:33:34

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#23 08-09-2013 12:49:31

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#24 08-09-2013 12:56:45

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

#25 08-09-2013 13:04:21

Re : besoin d'aide pour surmonter un bloc .

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