Forum de mathématiques - Bibm@th.net

apoi

Membre

Inscription : 09-08-2013

Messages : 122

inégalité dans l'ensemble C

s'il vous plait aidez moi a resoudre ce probleme car j'ai aucune idée pour commencer .

soit z un nombre complexe , montrez que :

|z-1| < ||z|-1|+|z||arg(z)|

merci d'avance.

gdec

Invité

Re : inégalité dans l'ensemble C

Bonsoir,

Graphiquement c'est OK, de même en variant z par petits pas. Ces valeurs absolues et arg(z) sont diaboliques
Est-ce vraiment du niveau collège-Lycée ?

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : inégalité dans l'ensemble C

Bonjour,
Voici une solution géométrique pour compléter l'intervention de gdec :

Soient A le point d'affixe z et A' le point d'affixe (z-1)

Il faut tracer le cercle C1 de centre O et de rayon ||z|-1|
et le cercle C2 de centre A et de rayon 1

C1 et C2 sont tangents (extérieurement ou intérieurement suivant |z|>1 ou |z|<1) en M

Soit C3 le cercle de centre A passant par O et I l'intersection de (AA') et ce cercle C3, en prenant I sur la demi-droite de A vers A'

En appliquant l'inégalité entre les coté dans le triangle OIA' on a OA' <= A'I+0I
Or la corde OI est plus petite que l'arc qu'elle sous-tend sur C3 donc OI < OA*arg(OA)
on voit aussi que A'I = OM = rayon de C1, du fait que C1 et C2 sont tangents
l'inégalité |z-1| <= ||z|-1| + |z|arg(z) est ainsi vérifiée.

Dernière modification par totomm (10-08-2013 11:28:50)

apoi

Membre

Inscription : 09-08-2013

Messages : 122

Re : inégalité dans l'ensemble C

merci
mais on ne peut pas le résoudre algébriquement ?

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : inégalité dans l'ensemble C

Bonjour,

Algébriquement ? : Géométriquement c'est une belle solution qui utilise les inégalités dans un triangle et vaut pour tous les cas de |z| si on opère sur la demi-droite AA'
Ce en quoi ce problème est du niveau Lycée...Quant à trouver cette solution...!!

Si vous voulez calculer, il vous faut minorer |z||arg(z)| par la longueur de la corde sous-tendue, puis vous débattre avec les racines carrées. Alors bon (très bon) courage

A+

apoi

Membre

Inscription : 09-08-2013

Messages : 122

Re : inégalité dans l'ensemble C

salut totomm,

je viens de relire ta réponse , j'ai vraiment l'admirer ,félicitation ,merci et bon continuation !!!!!!