Forum de mathématiques - Bibm@th.net

apoi

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les énigmes

bonjour,

je cherche des énigmes sur les angles. s'il vous plait indiquer moi ou je peux l'avoir?

nerosson

Membre actif

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Re : les énigmes

Salut,

Trisection d'un angle avec seulement la règle et le compas.

Il y a la médaille Field à la clé !

Roro

Membre expert

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Messages : 1 801

Re : les énigmes

Bonjour,

Je pensais qu'on savait répondre à la question depuis de nombreuses années (en fait à peine 200 ans) ! Mais comme la médaille field n'existait pas, peut être que ça vaudrait le coup de republier ce vieux truc :-p

Roro.

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

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Re : les énigmes

Salut,

Objection, Votre Honneur.

Je crois savoir qu'on ne peut pas répondre à cette question avec seulement le compas et une règle ordinaire non graduée.

J'en appelle à tous les crânes d'oeuf qui pullulent sur le forum pour qu'ils tranchent le débat.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : les énigmes

Salut,

Roro, méfie toi de nerosson, c'est un emm... très cultivé :-))) qui a raison en l'occurrence !

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : les énigmes

Bonsoir,

Trouvé sur Wikipedia

Impossibilité générale avec la règle et le compas

S'il est facile de partager un angle en deux en construisant sa bissectrice, s'il est aisé de partager l'angle droit en trois à l'aide de triangles équilatéraux, beaucoup de mathématiciens ont longtemps cherché, en vain, une méthode géométrique pour réaliser la trisection d'un angle quelconque à la règle et au compas. Dès le IIIe siècle av. J.-C., Archimède proposa une méthode par ajustement (ou neusis), à l'aide d'un compas et d'une règle dotée de deux graduations. Au IIe siècle av. J.-C., Nicomède utilisa une courbe auxiliaire, la conchoïde de droite pour déterminer la solution.

Mais en 1837, Pierre-Laurent Wantzel démontra le théorème qui porte son nom, permettant d'exhiber une large famille d'équations de problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas. L'équation de la trisection de l'angle étant de cette forme, la construction générale est donc impossible à réaliser selon ces règles.

La trisection de l'angle est en revanche réalisable au moyen du compas et de la règle graduée, ou au moyen de courbes auxiliaires dites trisectrices, ou au moyen de pliage d'une feuille de papier.

Utilisation du compas et de la règle graduée

Trisection de l'angle a
Archimède donne la construction suivante par ajustement, à l'aide d'un compas et d'une règle portant deux graduations.

Soit a l'angle à trisecter, de sommet B. On trace un cercle de centre B et de rayon la distance séparant les deux graduations de la règle (soit r). Le cercle coupe l'un des côtés de l'angle en A (donc AB = r). On dispose la règle de façon à ce qu'elle passe par A, que l'une des graduations C de la règle soit disposée sur le cercle, et l'autre graduation D soit sur le prolongement (BD) de l'autre côté de l'angle (donc CD = r). L'angle b de sommet D est alors le tiers de l'angle a.

En effet, le triangle BCD est isocèle en C, donc l'angle [tex]\widehat{CBD}[/tex] est égal à b. Mais dans le cercle de centre C passant par B et D, l'angle au centre [tex]\widehat{ACB}[/tex] (= c) est le double de l'angle inscrit [tex]\widehat{CDB} (= b)[/tex], soit c = 2b. Or BAC est également un triangle isocèle en B, donc l'angle [tex]\widehat{BAC}[/tex] est égal à c. L'angle [tex]\widehat{ABC}[/tex] vaut donc [tex]\pi -2c = \pi - 4b[/tex]. L'angle ABD vaut alors [tex]\pi - 3b[/tex], de sorte que l'angle a vaut bien 3b.

Cela dit, voici une Publication de l'APMEP dont le chapitre 2 s'ouvre p. 43 avec ce titre :

Constructions à la règle et au compas

(De la résolution d'équations vers la constitution de l'algèbre moderne)

Et p. 48

La Trisection est impossible à la règle et au compas

1. Inconstructibilité de la Trisectrice

Et P. 50 :

Ainsi le polygone régulier à 18 côtés n'est pas constructible à la règle et au compas non plus.

Bonne lecture

@+

JeanJ

Invité

Re : les énigmes

Salut,

Objection, Votre Honneur.

Je crois savoir qu'on ne peut pas répondre à cette question avec seulement le compas et une règle ordinaire non graduée.

J'en appelle à tous les crânes d'oeuf qui pullulent sur le forum pour qu'ils tranchent le débat.

Mais si, on sait répondre à cette question : Quand la réponse est "la construction est impossible" et qu'on le prouve, on sait répondre.
Encore faut-il que la question soit bien posée, donc avec les conditions de construction complètement définies, ce qui est loin d'être le cas lorsqu'on dit " avec seulement la règle et le compas". Même en ajoutant "règle ordinaire non graduée", c'est encore insuffisant.
Article: "Trisection" par le lien :  http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

Dernière modification par JeanJ (27-08-2013 09:18:02)

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : les énigmes

Salut à tous,

nerosson, c'est un emm... très cultivé

@freddy.   Bien que ça n'ait rien à voir avec les mathématiques, je suis obligé de te signaler que je travaille à l'édification d'une serre et que ça mepose des problèmes.

Je ne suis donc pas un emmerdeur très cultivé, mais un cultivateur très emmerdé.

Encore une digression à me faire pardonner !