un problème dans les nombres complexes

apoi · 22-08-2013 22:50:53

salut tout le monde ,

aidez-moi à résoudre ce problème :

écrivez sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant:

z=(1+xi)/(1-xi)

et merci d'avance.

totomm · 23-08-2013 09:04:30

Bonjour,

Si [tex]\theta[/tex] est l'argument de (1+xi), quelle relation voyez-vous entre x et [tex]\tan(\theta)[/tex] ?

apoi · 23-08-2013 12:04:21

totomm a écrit :

Bonjour,
Si [tex]\theta[/tex] est l'argument de (1+xi), quelle relation voyez-vous entre x et [tex]\tan(\theta)[/tex] ?

bonjour totomm

pardon,j'ai pas compris . expliquez-moi s'il vous plait .

totomm · 23-08-2013 16:29:18

Bonjour,

Ayant beaucoup de patience et une propension certaine à venir en aide, je ne veux pas supposer que vous venez sur ce forum pour vous amuser aux dépens de ceux qui vous répondent.

Vous demandez comment écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant : z=(1+xi)/(1-xi)
ma question est : Si [tex]\theta[/tex] est l'argument de (1+xi), quelle relation voyez-vous entre x et [tex]\tan(\theta)[/tex] ?

Eh bien posez [tex]x=\tan(\theta)[/tex], alors vous aboutirez à la forme trigonométrique [tex]z=r\times (\cos(\alpha)+i.\sin(\alpha))[/tex]

Savez-vous placer (1+xi) et (1-xi) sur le plan complexe et marquer leur argument ?
Savez-vous énoncer la règle de multiplication (division) de deux complexes ainsi représentés ?

Quelles valeurs de r et [tex]\alpha[/tex] trouvez-vous "visuellement" ?
Savez-vous retrouver ce résultat après un calcul en coordonnées cartésiennes ou polaires ?

A quel niveau de formation vous situez-vous ?

Dernière modification par totomm (23-08-2013 16:35:32)

apoi · 23-08-2013 20:07:45

ah pardon pardon moi beaucoup totomm

je suis en terminale . pourriez vous me dire comment vous avez remarquer ça s'il vous plait ?

apoi · 23-08-2013 20:35:58

salut totomm ,

Savez-vous énoncer la règle de multiplication (division) de deux complexes ainsi représentés ?

s'il vous plait aidez-moi à répondre à cette question .

freddy · 23-08-2013 21:20:30

Salut,

ne t'affole pas, c'est la première fois qu'il s'essaie à la pédagogie sans filet !

En simple, il veut savoir si tu te souviens qu'on obtient le produit de deux nombres complexes en multipliant leur module et additionnant leur argument (et le quotient par division des modules et différence des arguments).

Donc retrouve module et argument de [tex]1+ix[/tex] et de [tex]1-ix[/tex] et ... roulez bolides !

Comme l'un est le symétrique de l'autre par rapport à l'axe des abcisses du plan complexe, il n'y a pas beaucoup de calcul à faire.

Dernière modification par freddy (23-08-2013 21:21:07)

totomm · 23-08-2013 21:47:34

Bonsoir,

@ apoi : Vous donnez l'impression de vouloir des solutions pour des exercices correspondant à un cours de mathématiques que vous n'auriez pas suivi ni appris.
En suivant l'enchaînement du cours de mathématiques, il faut d'abord comprendre et apprendre les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations, puis faire au fur et à mesure des exercices correspondants à ces notions : C'est la bonne façon de progresser…

Si alors vous avez besoin d'aide pour faire un exercice, il y aura toujours quelqu'un pour vous aider sur ce Forum : Mais on ne peut vous faire un cours de math correspondant à des notions de base.

Deux premières questions vous étaient posées :
Savez-vous placer (1+xi) et (1-xi) sur le plan complexe et marquer leur argument ?
Savez-vous énoncer la règle de multiplication (division) de deux complexes ainsi représentés ?

Vous n'avez pas répondu (oui ou non ) à la première question. Quelle est votre réponse ?
Si maintenant je vous dis pour la règle de multiplication : module =produit des modules et argument= somme des arguments, savez-vous maintenant donner r et angle [tex]\alpha[/tex] ?

Edit : Je vois que freddy vient d'intervenir pendant que je rédigeais. Tant mieux, car il est très calé, même s'il s'exprime assez souvent au 2ème degré ou plus.
C'est certainement yoshi qui vous donnerait le meilleur avis sur les moyens à mettre en oeuvre pour votre progression en math.

@+

apoi · 23-08-2013 22:17:08

merci pour tout totomm.

Dernière modification par yoshi (24-08-2013 08:57:24)

yoshi · 24-08-2013 09:43:03

Bonjour,

totomm a écrit :

Deux premières questions vous étaient posées :
Savez-vous placer (1+xi) et (1-xi) sur le plan complexe et marquer leur argument ?
Savez-vous énoncer la règle de multiplication (division) de deux complexes ainsi représentés ?

C'étaient de bonnes questions auxquelles il aurait été vivement profitable que tu répondes toi-même..
J'en ajoute une autre : pourquoi as-tu soigneusement évité d'y répondre ?
Ça ne nous facilite pas la tâche, et rend l'aide beaucoup moins rapide et efficace.

D'autre part, à l'avenir, j'aimerais que tu tiennes compte de ce extrait de nos Règles de fonctionnement :

* Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

Tu as eu des réponses : c'est une "chance" (quoique...).

Pour revenir à ton problème...
Tout nombre complexe, non nul, écrit sous forme algébrique :a+ib peut s'écrire ainsi sous forme trigonométrique : [tex]r(\cos\theta +i\sin \theta)[/tex] soit avec la notation exponentielle [tex]re^{i\theta}[/tex] où r (qui est égal à [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]) est le module et [tex]\theta[/tex] l'argument, ça c'est du cours.
Si j'examine les 2 affixes [tex] z_1[/tex] et [tex]z_2[/tex] correspondant à :
[tex] z_1=1+ix[/tex] et [tex]z_2=1-ix=1+i(-x)[/tex], je constate que |[tex]z_1|=|z_2|[/tex] et que ces affixes sont des points M₁ et M₂ de coordonnées :
Ces deux points sont donc bien symétriques par rapport à l'axe des abscisses et les arguments des deux nombres complexes, opposés.
[tex]M_1(1\;;\;x)[/tex] et [tex]M_2(1\;;\;-x)[/tex].
Au passage, il est dit dans le cours que z₁ et z₂ sont des nombres conjugués (on note [tex]z_2=\bar{z_1}[/tex]), leurs modules égaux et leurs arguments opposés...

Je vais faire apparaître le [tex]\tan \theta[/tex] de totomm, à l'envers :
[tex]z_1=1+ix=r(\cos\theta +i\sin \theta)\;\left(\text{ou encore} =r\cos\theta\left(1+i\frac{\sin \theta}{\cos\theta}\right)=r\cos\theta(1+i\tan \theta)\right)[/tex]
De la même façon :
[tex]z_2=1+i(-x)=r(\cos(\theta) +i(-\sin \theta))=r(\cos(-\theta) +i(\sin(-\theta)) \Big(\text{ou encore} =r\cos\theta(1+i\tan(-\theta)\Big)[/tex]

Pourrais-tu maintenant, s'il te plaît, nous montrer ce que tu donnes comme réponses à ton exercice :

écrivez sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant:
[tex]z= \frac{1+ix}{1-ix}[/tex]

parce que, en l'état, ton exercice n'est pas fini et je ne peux pas être satisfait...

En s'appuyant sur le cours, la démonstration complète occupe 2 lignes !

Yoshi
- Modérateur -

apoi · 25-08-2013 14:49:28

salut ,

pardon YOSHI et TOTOMM .

A ce qi concerne les deux questions suivants :

Savez-vous placer (1+xi) et (1-xi) sur le plan complexe et marquer leur argument ?
Savez-vous énoncer la règle de multiplication (division) de deux complexes ainsi représentés ?

je sais placer (1+xi) et (1-xi) sur le plan complexe et marquer leur argument , mais je ne sais pas comment representer la multiplication (division) de deux complexes .

s'il vous plait aidez-moi ?

yoshi · 25-08-2013 15:27:42

Bonjour,

mais je ne sais pas comment representer la multiplication (division) de deux complexes.

Je be sais pas ce que totomm entend par "représenter la multiplication (division) de deux complexes."
Donc, je lui laisserai le soin de répondre...

Ce que je peux dire.
Soient deux nombres complexes [tex]z_1[/tex] et [tex]z_2[/tex], on sait que (c'est le cours) :
[tex]|z_1\times z_2|= |z_1|\times |z_2|[/tex] et [tex] \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}[/tex]
[tex]arg(z_1\times z_2)=arg(z_1)+arg(z_2)[/tex] et [tex] arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=ar(z_1)-arg(z_2)[/tex] (modulo [tex]2\pi[/tex])

Ici :
[tex]z_1=1+ix[/tex] et [tex]z_2=1-ix[/tex] alors [tex]z_2=\bar{z_1}[/tex].
Donc : [tex] \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = ?[/tex], [tex]arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = ?[/tex]

C'est ce que te demande l'énoncé !

@+

apoi · 25-08-2013 15:38:56

salut tout le monde ,

module( z)= 1 mais le problème c'est dans l'argument . comme vous avez dit il faut poser x =tan Θ et comme ça on va resoudre tout simplemet l'exercice mais je dits : comment vous avez remarquer qu'il faut poser x= tanΘ ? ce que j'ai compris de totomm c'st qu'il faut representer graphiquement (1+ix)/(1-xi) pour remarquer l'argument. mais comment representer ça s'il vous plait ?

yoshi · 25-08-2013 15:47:34

Re,

Si |z|=1 est la réponse à : quel est le module du quotient ?, c'est juste...
Puisque

[tex]z_1=1+ix[/tex] et [tex]z_2=1-ix[/tex] alors [tex]z_2=\bar{z_1}[/tex]

En posant [tex]z_1=1+ix=r(\cos\theta+i\sin\theta)[/tex] comment écris-tu z₂ sous forme trigonométrique ?
[tex]arg(z_1) = ?[/tex] ; [tex]arg(z_2)= ? [/tex] puis [tex]arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = ?[/tex]

@+

apoi · 25-08-2013 15:52:05

salut,

z2 =r(cosΘ-isinΘ) c'est ça?

-----------------------------------------
[EDIT]#Yoshi
Pour que tu voies l'écriture LateX
[tex]z_2 =r(\cos\theta-i\sin\theta)[/tex]

Dernière modification par yoshi (25-08-2013 15:57:22)

yoshi · 25-08-2013 15:55:18

Re,

Oui, mais le - est gênant là où il est...
Remplace-le par un + et modifie le [tex]\theta[/tex]...

@+

apoi · 25-08-2013 16:03:20

salut,

d'accord voila : r( cosΘ+isin(-Θ) ) ⇒ r(cos(pi+Θ)+isin(Θ+pi))

totomm · 25-08-2013 17:15:33

Bonjour,

Il faut être attentif, apoi !
Je n'ai pas écrit : "…comment représenter la multiplication (division) de deux complexes ." comme vous dites au post #11

J'ai écrit ( au post #4 et répété au post #8) :
Savez-vous placer (1+xi) et (1-xi) sur le plan complexe et marquer leur argument ?
Savez-vous énoncer la règle de multiplication (division) de deux complexes ainsi représentés ?

Maintenant regardez bien ce que yoshi vous a écrit au post #10 :
[tex]z_2=1+i(-x)=r(\cos(\theta) +i(-\sin \theta))=r(\cos(-\theta) +i(\sin(-\theta)) \Big(\text{ou encore} =r\cos\theta(1+i\tan(-\theta)\Big)[/tex]

quand vous aurez bien vu, à la fin, vous pourrez revenir sur pourquoi [tex]x=\tan{\theta}[/tex]...

apoi · 25-08-2013 17:46:31

salut,

ah j'ai compris, s'il vous plait il n'ya pas une autre méthode qui permet de representer graphiquement (1+ix)/(1-ix) et déduire qu'il faut poser : x=tan(θ) ?

merci d'avance et pardon pour le dérangement !

Dernière modification par apoi (25-08-2013 17:47:13)

totomm · 25-08-2013 19:14:50

Bonsoir,

Oui, il y a au moins une autre méthode pour traiter ce problème.
Mais après avoir compris
[tex]arg(z_1) = \theta[/tex] ; [tex]arg(z_2)= -\theta [/tex]
il vous faut encore résoudre la question de yoshi [tex]arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = ?[/tex]

A+

yoshi · 25-08-2013 19:55:20

RE,

totomm a écrit :

Il faut être attentif, apoi !
Je n'ai pas écrit : "…comment représenter la multiplication (division) de deux complexes ." comme vous dites au post #11

Mea culpa ! Moi aussi, je suis "coupable", j'aurais dû ne pas prendre pour argent comptant l'affirmation mais vérifier à la source.

En sachant que [tex]z=\frac{1+ix}{1-ix}=\frac{r(\cos\theta+i\sin\theta)}{r(\cos\theta-i\sin\theta)}[/tex], on peut, via une autre voie encore, très rapidement répondre à la question de l'énoncé...
Mais, ce sera pour après la réponse d'apoi et en ayant vu qu'il a déjà compris ce qui précède.

@+

apoi · 25-08-2013 23:44:52

salut Yoshi et totomm ,

il vous faut encore résoudre la question de yoshi [tex]arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = ?[/tex]

je répons : arg(Z1/Z2)=arg(Z1)-arg(Z2)=θ-(-θ)=2θ

merci pour votre aide , s'il vous plait je suis prêt pour la deuxième méthode .

yoshi · 26-08-2013 07:37:27

Salut,

Lance-toi dans LateX, ça devient pénible à lire... Merci

Oui, c'est bon.
Résumé : le quotient a pour module 1 et pour argument [tex]2\theta[/tex].
[tex]z=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta}[/tex]
A partir de la forme trigonométrique :
- tu dois utiliser la forme conjuguée du dénominateur
- la formule de Moivre au numérateur

Allez, au boulot, essaie !

@+

freddy · 26-08-2013 18:34:07

Salut,

je cherche toujours ce qu'est venue faire la tangente de l'argument, moi ...

totomm · 26-08-2013 19:00:11

Bonsoir,

patience, on y arrive...avec encore une autre méthode de calcul...

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 22-08-2013 22:50:53

un problème dans les nombres complexes

#2 23-08-2013 09:04:30

Re : un problème dans les nombres complexes

#3 23-08-2013 12:04:21

Re : un problème dans les nombres complexes

#4 23-08-2013 16:29:18

Re : un problème dans les nombres complexes

#5 23-08-2013 20:07:45

Re : un problème dans les nombres complexes

#6 23-08-2013 20:35:58

Re : un problème dans les nombres complexes

#7 23-08-2013 21:20:30

Re : un problème dans les nombres complexes

#8 23-08-2013 21:47:34

Re : un problème dans les nombres complexes

#9 23-08-2013 22:17:08

Re : un problème dans les nombres complexes

#10 24-08-2013 09:43:03

Re : un problème dans les nombres complexes

#11 25-08-2013 14:49:28

Re : un problème dans les nombres complexes

#12 25-08-2013 15:27:42

Re : un problème dans les nombres complexes

#13 25-08-2013 15:38:56

Re : un problème dans les nombres complexes

#14 25-08-2013 15:47:34

Re : un problème dans les nombres complexes

#15 25-08-2013 15:52:05

Re : un problème dans les nombres complexes

#16 25-08-2013 15:55:18

Re : un problème dans les nombres complexes

#17 25-08-2013 16:03:20

Re : un problème dans les nombres complexes

#18 25-08-2013 17:15:33

Re : un problème dans les nombres complexes

#19 25-08-2013 17:46:31

Re : un problème dans les nombres complexes

#20 25-08-2013 19:14:50

Re : un problème dans les nombres complexes

#21 25-08-2013 19:55:20

Re : un problème dans les nombres complexes

#22 25-08-2013 23:44:52

Re : un problème dans les nombres complexes

#23 26-08-2013 07:37:27

Re : un problème dans les nombres complexes

#24 26-08-2013 18:34:07

Re : un problème dans les nombres complexes

#25 26-08-2013 19:00:11

Re : un problème dans les nombres complexes

Pied de page des forums