Produit scalaire et tétraèdre

yoshi · 16-05-2013 14:31:29

Bonjour,
Une miss, ayant mis son exercice en délibéré (voir ici), personne ne sachant quand elle y reviendra, pour explorer l'ensemble des solutions alternatives à la méthode, à tort ou a raison, choisie notamment pour le c), j'ouvre une nouvelle discussion ici
Voici le sujet :
Soit ABC un tétraèdre régulier de côté l, on note I, J, K les milieux respectifs des côtés [BC], [BD] et [AC]

1. Calculer les produits scalaires :
a) [tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AK}[/tex]
b) [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IK}[/tex]
c) [tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK}[/tex] en écrivant que [tex]\overrightarrow{JK}= \overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}[/tex]
d) [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}[/tex]

La miss avait commencé par répondre :

a) [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=l^2[/tex]
b) [tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AK}=l.\frac{AC}{2}=\frac{l^2}{2}[/tex]

Là, à ce stade, on se pose la question : m'enfin qu'est-ce qu'elle a fait ?
Deux hypothèses de réponse :
1. Elle a confondu un vecteur et sa longueur,
2. Elle a cru utiliser [tex]\vec u . \vec v= ||\vec u || \times ||\vec v ||\times cos(\vec u,\vec v)[/tex] mais ne s'est plus souvenue qu'il y avait aussi un cosinus, pour ne garder que les longueurs...

J'ai opté pour la 2e hypothèse.
Et j'ai, en conséquence, choisi de coller à sa démarche (même s'il y en a d'autres) qui, nonobstant l'oubli fâcheux, était exacte...
J'ai pensé la démarche adaptée à la situation : méthode déjà initiée par le demandeur, capacités déjà montrées du demandeur, "rentabilité", relative "facilité" d'emploi de la formule...
Je n'allais pas lui dire : non, la formule utilisée est fausse, donner la bonne et constatant les difficultés, passer à d'autre méthodes. Pour moi, la miss étant très volontaire, j'en finissais avec nprmes+cosinus, et ensuite, jhe lui proposai de lui ouvrir l'esprit en lui montrant autre chose... Ce que je compte bien faire d'ailleurs, après qu'elle aura repris le collier !

Et dans un souci (exagéré ?) d'être compris, j'en ai trop fait pour le c) et j'ai fini par oublier à mon tour le cosinus (pas le même "oubli" quand même ! ^_^).
Il faut dire que depuis la veille au soir, je me battais avec la programmation en Scilab, dans laquelle je suis un parfait débutant...
Donc, totomm me le signale et voilà qu'il ajoute :

Autre méthode :
Au vu du plan de symétrie contenant le triangle isocèle BKD :
A se projette en K, D se projette en J, donc
[tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK}=-JK^2=-l^2\times\left(\left(\frac{\sqrt 3}{2}\right)^2-\left(\frac 1 2\right)^2\right)=-l^2 \times \frac 1 2[/tex]

ce que j'ai supprimé en parlant de digression que j'avais pris dans son sens latin : action de s'éloigner (de la méthode choisie)...
Nous étions certes toujours dans le sujet, mais j'avais pris l'option de l'hypothèse 2 ci-dessus ; le travail était loin (!) d'être terminé et j'ai jugé que ce n'était pas le moment de rajouter une autre méthode, à laquelle moi, a priori, je ne voyais pas instantanément les tenants et les aboutissants...
Alors si moi, je ne voyais pas, que dire de quelqu'un qui demande de l'aide ???
Je me dois de reconnaître que je n'ai pas ces fulgurances de génie (quoique elliptiques) que j'admire chez certains contributeurs : moi, je ne suis qu'un obscur tâcheron...

Donc après intenses réflexions, j'ai fini par me rendre à l'évidence qu'il n'y avait pas une seule (je me suis acharné, totomm ne se trompant jamais et vu la formulation...), mais deux projections différentes utilisées...
Tout est basé là-dessus :
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}[/tex]
Après vérification (on n'est jamais trop prudent), seul cas envisagé par le programmes : [tex]A \in (P)[/tex].

Je m'en vais expliciter un minimum l'emploi des 2 projections consécutivement (j'espère ne pas trahir la pensée de l'auteur, parce que je m'en vais ignorer totalement la notion de "plan de symétrie") :
- la projection orthogonale de (AD) sur le plan (BDK) , A → K et D → D (ça demande quand même un minimum de justification)
Donc [tex]\overrightarrow{AD}[/tex] se projette en [tex]\overrightarrow{KD}[/tex]
Donc [tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{KD}.\overrightarrow{JK}[/tex]

- la projection orthogonale de D sur (JK)
Dans le triangle isocèle BKD, J est le milieu du côté [BD], [KJ], médiane relative à [BC], est aussi hauteur.
Donc [tex](DJ) \perp (KJ)[/tex]
Dans cette projection, D → J et K → K
Donc [tex]\overrightarrow{KD}[/tex] se projette en [tex]\overrightarrow{KJ}[/tex]
On a alors :
[tex]\overrightarrow{KD}.\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{KJ}.\overrightarrow{JK}=-JK^2[/tex]
Et enfin :
[tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{KD}.\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{KJ}.\overrightarrow{JK}=-JK^2=\cdots[/tex]
Évident, s'pas ?...
Chapeau ! Tout le monde n'a pas la même qualité de représentation mentale en matière de Géométrie dans l'espace...

Je demande à voir ce que notre miss aurait compris, même de ce que j'ai fait ci-dessus !
Alors, reste l'objection que les 3 lignes ne lui étaient pas destinées.
Ok, alors pourquoi les mettre ? Ça ne pouvait pas attendre ? Il y avait risque "de mort d'homme" ?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ceci fait, je propose d'abord une variante de cette méthode en n'utilisant qu'une projection et plus rapidement compréhensible...

Considérons les triangles équilatéraux ADC et ABC : K est le milieu du côté [AC], commun aux deux triangles. Donc [DK] et [BK], médianes relatives à [AC], sont aussi des hauteurs.
Donc (AC), perpendiculaire aux deux droites sécantes (DK) et (BK), est perpendiculaire au plan (BDK), donc à toute droite de ce plan et en particulier à (JK) :
K appartenant à (AC), alors[tex] (AK) \perp (JK)[/tex].
[tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK}= (\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}).\overrightarrow{JK}=\underbrace{\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{JK}}_{0}+\overrightarrow{KD}.\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{KD}.\overrightarrow{JK}[/tex]

Dans le triangle isocèle BKD, J est le milieu du côté [BD], [KJ], médiane relative à [BC], est aussi hauteur.
Donc [tex](DJ) \perp (KJ)[/tex]
Dans cette projection, D → J et K → K
Donc [tex]\overrightarrow{KD}[/tex] se projette en [tex]\overrightarrow{KJ}[/tex]
On a alors :
[tex]\overrightarrow{KD}.\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{KJ}.\overrightarrow{JK}=-JK^2[/tex]
Et enfin :
[tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{KD}.\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{KJ}.\overrightarrow{JK}=-JK^2[/tex]
------------------------------------------------------------------------------------------------------

Je propose enfin une autre méthode mais je sors aussi de l'énoncé :
[tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AK})=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AK}[/tex]
Dans le triangle équilatéral ABC, J est le milieu du côté [BD], donc [AJ] médiane relative à [BC] est aussi médiatrice de [BD] et bissectrice de [tex]\widehat{BAD}[/tex].

La longueur AJ est bien connue : [tex]\frac{l\sqrt 3}{2}[/tex]
L'angle des vecteurs[tex]\overrightarrow{AD}[/tex] et [tex]\overrightarrow{JA}[/tex], compte tenu de leur orientation est non pas [tex]\frac{\pi}{6}[/tex] mais le supplément [tex]\frac{5\pi}{6}[/tex]
On a donc :
[tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AK})=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AK}=l\times \frac{l\sqrt 3}{2}\times \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+l \times \frac l 2 \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)[/tex]
Et donc :
[tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{JK}=-\frac{3l^2}{4}+\frac{l^2}{4}=-\frac{l^2}{2}[/tex]

Largement aussi simple, non ?

Autres méthodes (en ne débordant pas des programmes officiels de 1S et TS) ?

@+

Dernière modification par yoshi (16-05-2013 19:24:11)

totomm · 16-05-2013 20:52:39

Bonsoir,

Pour une solution analytique, sur invitation de yoshi :

Dans le triangle isocèle BKD, J milieu de sa base [BD] de longueur [tex] l= 1, \ et\ BK=KD=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] on obtient la longueur [tex]JK=\sqrt{KD^2-DJ^2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

L'espace étant muni d'un repère orthonormal [tex](O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})[/tex], on place les points
[tex]A(0.5; 0; 0)\ et\ C(-0.5; 0; 0)[/tex]
[tex]K(0;0;0)\ et\ J(0;0; \frac{\sqrt{2}}{2})[/tex]
[tex]B(0;0.5; \frac{\sqrt{2}}{2})\ et\ D(0;-0.5; \frac{\sqrt{2}}{2})[/tex]

[tex]\vec{AD} = (x_1;y_1;z_1) = (-0.5;-0.5; \frac{\sqrt{2}}{2})[/tex]
[tex]\vec{JK} = (x_2;y_2;z_2) = (0;0; -\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex]
[tex]\vec{AD}.\vec{JK}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 =-\frac{1}{2}[/tex] (à multiplier par [tex]l^2[/tex])

sylphynx · 16-05-2013 21:27:26

Bonjour à tous
excuse moi Yoshi
j'ai pas compris ton plan P
les points A et B et H appartiennent à ce plan P mais en dehors du point H quel est le troisième point fomant le plan P ?

yoshi · 16-05-2013 22:10:46

Bonsoir,

@sylphynx :
J'ai vérifié, chez moi il fait nuit, c'est pourquoi j'ai dit Bonsoir... ^_^
Mais sous ta latitude, peut-être fait-il encore jour ? ;-D

Bon, concernant ta question, ça n'a aucune importance, un tel plan existe toujours : pour les besoins du théorème, on ne prendra pas (ABC), on se retrouverait en Géométrie plane...

@tous
Petite précision.
J'ai écrit :

Après vérification (on n'est jamais trop prudent), seul cas envisagé par les programmes : A ∈ (P)

.
Les programmes (1S et TS) (respectivement de 2011 et 2012) publiés, es qualités, au BO, sont relativement peu diserts sur le sujet : il faudrait que je mette la main sur les "documents d'accompagnement", mais ça ce n'est pas gagné...
Eux définissent 3 niveaux :
1. Exigible
2. A réserver en "Activités"
3. Hors-programme
Quant aux programmes eux-mêmes:
* Celui de 1S précise les différentes techniques utilisables et limite le produit scalaire au plan.
* Celui de TS, après avoir précisé "On étendra à l’espace les opérations sur les vecteurs du plan. On introduira la notion de vecteurs coplanaires", ajoute
"On généralisera aux vecteurs de l’espace la définition du produit scalaire donnée dans le plan ; à cette occasion, on présentera la projection orthogonale sur une droite ou sur un plan".

@+

sylphynx · 16-05-2013 22:23:44

Bonsoir Yoshi non il fait nuit sous ma longitude (j'aimerai tellement vivre en Sibérie orientale environ à l'endroit où il est 7:24AM demain)
sinon oui d'accord j'ai compris
je vais chercher
à tout à l'heure
merci Yoshi

yoshi · 16-05-2013 22:37:15

Re,

Bonsoir Yoshi non il fait nuit sous ma longitude (j'aimerai tellement vivre en Sibérie orientale

Si tu changes seulement de longitude, jamais tu ne te retrouveras en Sibérie ! ^_^

Sinon, pendant que tu me répondais, j'ajoutais un codicille dans la discussion de Bakary...

@+

sylphynx · 16-05-2013 22:43:53

yoshi a écrit :

Re,
Bonsoir Yoshi non il fait nuit sous ma longitude (j'aimerai tellement vivre en Sibérie orientale
Si tu changes seulement de longitude, jamais tu ne te retrouveras en Sibérie ! ^_^
Sinon, pendant que tu me répondais, j'ajoutais un codicille dans la discussion de Bakary...
@+

Yoshi RE
il suffit de changer de longitude et de garder la même lattitude voire un peu plus au nord mais il suffit...
non?

Dernière modification par sylphynx (16-05-2013 22:48:11)

yoshi · 17-05-2013 07:37:41

Salut,

Le 45^e parallèle traverse la France peu en dessous de Grenoble...
Lyon 45° 45' latitude Nord et 4° 50' longitude Est
Lille 50° 38' Nord 03° 03' Est
Irkoutsk (capitale de la Sibérie orientale) 52° 19' latitude Nord et 104° 14' longitude Est

Arrêtons de troller...

@+

yoshi · 18-05-2013 09:31:50

Bonjour,

Autre exercice de tétraèdre : Bac 1998 Pondichéry
On considère un tétraèdre ABCD. On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].
On désigne par G l‟isobarycentre des points A, B, C et D.
1. Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.
Dans la suite de l‟exercice on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD.
(On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial car ses faces sont isométriques).
2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM.
b. En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ)
orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales.
3. a. Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN).
b. Quelle est la valeur du produit scalaire [tex]\overrightarrow{IJ}. \overrightarrow{MK}[/tex] ?
En déduire que (IJ) est orthogonale à la droite (AB).
Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD).
c. Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].
d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.
Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

@+

totomm · 18-05-2013 14:05:34

Bonjour,

▼Réponses rapides

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 16-05-2013 14:31:29

Produit scalaire et tétraèdre

#2 16-05-2013 20:52:39

Re : Produit scalaire et tétraèdre

#3 16-05-2013 21:27:26

Re : Produit scalaire et tétraèdre

#4 16-05-2013 22:10:46

Re : Produit scalaire et tétraèdre

#5 16-05-2013 22:23:44

Re : Produit scalaire et tétraèdre

#6 16-05-2013 22:37:15

Re : Produit scalaire et tétraèdre

#7 16-05-2013 22:43:53

Re : Produit scalaire et tétraèdre

#8 17-05-2013 07:37:41

Re : Produit scalaire et tétraèdre

#9 18-05-2013 09:31:50

Re : Produit scalaire et tétraèdre

#10 18-05-2013 14:05:34

Re : Produit scalaire et tétraèdre

Pied de page des forums