Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Yassine

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Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

On dispose de 6 petites cordes. On ne voit que les bouts terminaux des cordes (deux groupes de 6 bouts) sans pouvoir déterminer si deux bouts sont issus d'une même corde (chaque corde a un et un seul bout dans chacun des deux groupes). On noue deux à deux les bouts de chaque groupe (3 nœuds dans chaque groupe). Quelle est la probabilité d'obtenir un seul anneau liant les 6 cordes ?

jpp

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

salut.

▼à vue de nez

deux chances sur trois

Yassine

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Un comptage rapide. ça vaut ce que ça vaut

▼Tentative

Nombre de manière de nouer le 1er groupe : nombre de paires parmi 6, soit [tex]C_2^6[/tex]. Idem pour le deuxième groupe. Donc, le nombre total de manières de nouer est [tex](C_2^6)^2[/tex].

Comment nouer pour avoir un anneau : on peut commencer par le premier groupe et choisir n'importe quelle configuration de nœuds
, donc [tex]C_2^6[/tex] possibilités. On se retrouve ensuite avec trois cordes de longueur double qu'on souhaite nouer pour former un anneau. Pour la première, j'ai 4 possibilité (n'importe quel bout des deux autres), pour la deuxième, j'ai deux choix (un des deux bouts de la dernière) et pour la dernière, je n'ai plus de choix. Soit 8 possibilités.

La proba recherchée est donc [tex]\frac{8 \times C_2^6}{(C_2^6)^2}=\frac{8}{C_2^6}=\frac{8}{15}[/tex]
Intuitivement, ça me parait élevé !

arfr

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Bonjour,

▼6 noeuds

On  noue un groupe et on obtient, vu de l'autre groupe, les 6 extrémités de 3  "cordes doubles"

On choisit un ses 6 bouts libres et il y a 4 chances sur 5 de nouer avec une autre "corde double" pour obtenir
1 "corde quadruple" et 1 "corde double"

On choisit un ses 4 bouts libres et il y a 2 chances sur 3 de faire un seul anneau
Résultat : [tex]\frac{4}{5}*\frac{2}{3} = \frac{8}{15}[/tex]

freddy

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Salut,

je suis assez d'accord avec l'approche de arfr, et vais répondre à la question de yassine qui se demande si la probabilité n'est pas un peu trop élevée.

Je pense que non, par analogie avec une probable lointaine tradition (ou mythe) qui voulait qu'une jeune fille pouvait se marier si elle était capable de nouer trois paires de cordes, dont on ne lui montrait que les 6 extrémités, pour en faire un seul anneau.

Il ne faut pas désespérer les jeunes filles (en fleurs ...) !

PS : au plan symbolique, j'aime beaucoup, car dans tout mariage, nous sommes trois : je, tu et nous (nous = le couple que "je" et "tu" vont faire).

freddy

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Re,

▼ma suggestion

Je pense qu'on arrive à la solution déjà trouvée comme suit.

Tout d'abord, on remarque que dès qu'on a formé deux nœuds au hasard, il n'y a plus de choix pour le troisième.

Ensuite, on a le choix parmi 15 nœuds dans le groupe 1 (G1). Dans le groupe 2, il reste à choisir 1 nœud parmi 12 nœuds possibles, car 3 nœuds ne permettront pas d'atteindre l'objectif.

En effet, supposons qu'on choisisse de nouer les bouts des deux cordes 1 et 2 de G1. Dans G2, si on noue les deux bouts de 1 et 2, on sait que d'ores et déjà, on ne formera pas une boucle. Il reste comme possibilité d'associer à l'extrémité 1 de G2 4 autres extrémités (de 3 à 6) et à l'extrémité 2 de G2 trois autres extrémités restantes ( de 3 à 6 moins celle associée à 1), soit donc 12 = 15 - 3.

Donc pour le premier nœud de G1, on a 12 possibilités sur 15 de continuer l'aventure, soit [tex]\frac45[/tex]

Pour le second nœud, il reste 6 choix possibles ( 2 extrémités parmi 4 encore libres) dans G1 ; dans G2, il ne reste que 4 choix possibles, soit donc [tex]\frac46[/tex] =[tex]\frac23[/tex].

D'où la probabilité déjà donnée, soit[tex] \frac{8}{15}[/tex]

Yassine

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

par analogie avec une probable lointaine tradition (ou mythe)

Pêché sur un site voisin :

Dès qu'une fille d'Anchourie (pays imaginaire) a 18 ans, elle demande l'autorisation de se marier. L'officier d'état lui place 6 morceaux de ficelle dans la main. De chaque côté du poing fermé, on noue les extrémités deux par deux, au hasard. Si on obtient une boucle fermée (comme un bracelet), la fille reçoit l'autorisation de se marier.
Quelle est la probabilité d'obtenir une boucle fermée ?

Question subsidiaire : quelle est la probabilité qu'avec une politique de mariage pareille, la population d'Anchourie dépasse celle de Chine ?

freddy

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Salut,

la règle veut qu'on donne ses sources, soit : énoncé et commentaires sur 3 pages. Le site donne en prime de manière illustrée le problème des 3 cordes des filles de Mandchourie.

J'aime bien qu'on nous pose des questions, j'aime surtout quand on finit par donner la réponse.

Donc à moi : quelle est la probabilité que yassine réponde aux questions qu'il jette à la cantonade ?

J'ai bien une petite idée, mais pour l'heure, je sonde. Et à l'occasion, je reviendrai sur la problématique des tireurs - joueurs.

Bb

Yassine

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Un des inconvénients des mails et autres commentaires de forums est la difficulté qu'on peut avoir à lire toutes les subtilités que la communication humaine (langage du corps) peut faire passer. J'ai donc du mal à voir si le commentaire de freddy est à lire au premier degré ou à un autre.
Je n'ai certes pas cité la source, mais je ne l'ai pas cachée (je sais qu'avec une recherche très simple, on peut tomber dessus). D'un autre côté, les questions sérieuses que j'ai posées, j'y ai répondu quand j'avais la réponse (et je suis loin d'avoir réponse à tout). Quant à la question que j'ai posée ci-dessus, c'était plutôt de l'humour. Je vois que c'est raté !
Donc, je ne suis pas sûr de voir les questions que j'ai jetées à la cantonade qui sont restées sans réponses.

freddy

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Un des inconvénients des mails et autres commentaires de forums est la difficulté qu'on peut avoir à lire toutes les subtilités que la communication humaine (langage du corps) peut faire passer. J'ai donc du mal à voir si le commentaire de freddy est à lire au premier degré ou à un autre.
Je n'ai certes pas cité la source, mais je ne l'ai pas cachée (je sais qu'avec une recherche très simple, on peut tomber dessus). D'un autre côté, les questions sérieuses que j'ai posées, j'y ai répondu quand j'avais la réponse (et je suis loin d'avoir réponse à tout). Quant à la question que j'ai posée ci-dessus, c'était plutôt de l'humour. Je vois que c'est raté !
Donc, je ne suis pas sûr de voir les questions que j'ai jetées à la cantonade qui sont restées sans réponses.

je suis tout à fait d'accord. Il est un fait toutefois que les écrivains savent en général faire passer toutes les émotions humaines possibles sans user des subtilités du langage non verbal, puisque par construction, il ne peut être convoqué.

Donc, l'écrit reste un moyen de communication qui exige précision et rigueur, et je veille en général à soigner mes textes pour que le (ou les) message(s) passe(nt) bien.

Certains habitués du site ont, je pense, déjà compris.

Salut !

Yassine

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Excuse mon ignorance. Je cumule deux handicaps : je suis récent sur ce forum et le français n'est pas ma langue maternelle. Je suis dès lors condamné pour un petit moment à essayer de supputer le deuxième degré de tes messages !
Un point néanmoins sur lequel on pourra s'accorder est l'exigence des faits. Donc, en dehors de mon humour raté sur l'évolution de la population en Anchourie (ou en Mandchourie, je n'ai pour ma part lu que la partie du post parlant d'Anchourie), pourrais-tu me donner les questions que j'ai jetées à la cantonade sans réponse (de ma part ou de quelqu'un d'autre) ?

freddy

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Salut,

tout simple : ton sujet sur le taux de croissance démographique misogyne où tu indiques qu'un raisonnement de bon sens donne le même résultat  qu'un raisonnement mathématique ; ton sujet sur les tireurs : j'attends toujours une réponse intelligente.

Tu sembles doué, c'est ça qui pique ma curiosité.

PS : et ne dis pas que tu as répondu en renvoyant sur trois liens HTML, ce n'est pas le genre de la maison :-)

Dernière modification par freddy (02-05-2013 06:59:49)

Yassine

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Croissance démographique Misogyne : Tu as donné la bonne réponse. J'avais en effet indiqué qu'un raisonnement de bon sens permettait d'arriver au même résultat. Ce n'est pas ce qui s'appelle ne pas donner de réponse. J'attendais en réalité que quelqu'un d'autre participe. Je posterai ma contribution.
Concernant le sujet des tireurs, je n'avais pas pour ma part trouvé la bonne réponse (j'avais eu la même intuition que toi). Et je considère que le sujet n'est pas clos. Donc, au mieux, je peux copier les réponses données dans les liens que j'ai donné et les poster, mais je n'ai pas de contribution personnelle à ce sujet. J'ai mis 4 liens pour permettre à ceux qui le souhaitent  d'approfondir le sujet et j'ai indiqué que la bonne réponse est que le tireur le plus faibel tire en l'air.
Bref, je pense que tu vas devoir attendre un peu pour pouvoir confirmer ou infirmer ton estimation sur la probabilité de mes réponses.

yoshi

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Bonjour,

Je cumule deux handicaps : je suis récent sur ce forum et le français n'est pas ma langue maternelle.

Je te rassure :
Si tu prenais un pseudo ésotérique comme Gandalf, Timour, Flamel, Gengis khan... je te garantis que personne ne s'en douterait...
Ta maîtrise du français est bien supérieure à celle de la majorité des jeunes qui nous sollicitent ou que j'ai eu en classe...
Donc le français n'est pas ta langue maternelle, si par là tu entends, pas la langue maternelle de tes parents, cela signifie que dans la maîtrise d'une langue, il y a une part d'inné, ce que je ne crois pas.
L'Italien n'est pas ma langue maternelle (étudié de la 4e à la Term), mais, si j'allais vivre, disons deux ans, en immersion totale en Italie, je suis sûr de ne pas déparer...

Il y a bien bien longtemps, j'avais relevé 2 perles dans mes copies :
Q Pourquoi, où qu'on soit en France, l'aiguille d'une boussole indique-t-elle toujours le nord  ?
R : L'aiguille d'une boussole indique toujours le nord, pour que si on se perde, on se perde pas le nord ! (sic) ^_^
Et cette expression latine utilisée en français : "et vice versa" revue et corrigée en "et visse vers ça ! " (re-sic) :-D

Maintenant, je tiens encore à ta disposition quelques "Perles du Bac", tu seras édifié et rassuré sur ton niveau...

@+

freddy

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Re,

Croissance démographique Misogyne : Tu as donné la bonne réponse. J'avais en effet indiqué qu'un raisonnement de bon sens permettait d'arriver au même résultat. Ce n'est pas ce qui s'appelle ne pas donner de réponse. J'attendais en réalité que quelqu'un d'autre participe. Je posterai ma contribution.

j'ai mis au point pour ma part, une règle assez simple : si, trois jours après la dernière réponse, personne n'a donné de réponse supplémentaire à une de mes énigmes, la probabilité qu'un lecteur réponde le jour suivant est très proche de 0 ... :-)

Concernant le sujet des tireurs, je n'avais pas pour ma part trouvé la bonne réponse (j'avais eu la même intuition que toi). Et je considère que le sujet n'est pas clos. Donc, au mieux, je peux copier les réponses données dans les liens que j'ai donné et les poster, mais je n'ai pas de contribution personnelle à ce sujet. J'ai mis 4 liens pour permettre à ceux qui le souhaitent  d'approfondir le sujet et j'ai indiqué que la bonne réponse est que le tireur le plus faibel tire en l'air.
Bref, je pense que tu vas devoir attendre un peu pour pouvoir confirmer ou infirmer ton estimation sur la probabilité de mes réponses.

J'ai regardé attentivement deux des publications citées, fort intéressantes.

J'ai relevé qu'en réalité, le jeu se complique soit par le fait qu'on offre aux tireurs le choix de leur habilteté au tir (qui doivent rester néanmoins distincte), soit par l'ordre de tir.

Et dans les deux cas, en effet, ça devient de la stratégie interactive fine. Mais tel que ton sujet est posé, je n'y ai trouvé aucun intérêt didactique. D'où le retour à un exposé plus intéressant, dans la version qu'on trouve dans tous les ouvrages traitant de la Théorie des Jeux.

Dernier point : je plussoie yoshi sur ta maîtrise de la langue française. Pour compléter son bétiser, on trouve aujoud'hui beaucoup de questions relatives aux vis (ou visse) cachés lors d'une vente automobile. Que de vices dans ces chicanes ...

Derrière son petit écran, la honte ne monte plus aux joues de quiconque quand il fait une faute, sauf quelques anciens (jeunes parfois), qui viennent souvent corriger à plusieures reprises leurs écarts orho-typo- graphiques :-)

Yoshi est plus sympa : il corrige nuitamment lesdits écarts des autres ! :-)))

Dernière modification par freddy (02-05-2013 09:21:12)

Yassine

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

@yoshi : Pendant mes études, j'avais suivi quelque cours d'espagnol. Je me souviens d'une séance en particulier où le professeur essayait de nous expliquer la différence entre les deux verbes 'être' en espagnol (es et estar). Après un bon quart d'heure d'explications, il a conclu par : 'Mais vous ne pourrez jamais saisir toute la subtilité de ces deux verbes si nous n'avez pas eu la têtée espagnole !'. Je crois que la précision concernant 'la têtée' et non 'être né' est importante.
Je suis entièrement d'accord avec toi que la langage n'est pas une question de naissance, mais une question d'acquisition. Mais je pense que beaaucoup de subtiulités de la langue passent par la vie sociale.
Je pense avoir un niveau scolaire suffisant qui me permet d'évoluer sans problèmes dans des environnements francophones, mais je pense que parfois, des nuances m'échappent.
Dans le cas présent, j'étais un peu surpris par la 'charge' de freddy (dont j'avais apprécié la justesse des posts que j'ai pu consulter). Du coup, je m'interrogeais sur de possibles nuances que j'aurais loupées ou un mot de travers que j'airais écris.

Yassine

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

@freddy : J'y pense au fait. Tu disais :

Salut,

la règle veut qu'on donne ses sources,

Je vois ici que tu écris :

Salut !
à chacun son tour !
Montrez que les trois entiers [tex]3^{2013}+1,2^{2014}+1[/tex], et [tex]5^{2015}−1[/tex] sont chacun le produit d'au moins trois facteurs distincts >1 .
Bon courage !
PS : pêché sur la toile ... (sans la solution !!!)

.

freddy

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Re : Enigmes mathématiques du "Monde", épisode 5 : les cordes gagnantes

Salut,

notre ferox modo pourra te donner une explication, il  connait mes sources.