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Super-Tomate

Invité

Exercice suites

f(x)=x², définie sur [0;1]
L'axe de abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1.
On divise l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur et on construit 5 rectangles : n = 5
Sn la somme des aires des rectangles correspondants aux intervalles.

1)Donner l'expression de S5 et sa valeur
2) Justifier Sn = [1/(n^3)] * (1²+2²+...+n²)

Merci d'avance

yoshi

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Re : Exercice suites

Bonsoir,
(on commence par là, on n'est pas des sauvages !)

Ensuite
1. Quand on lève le nez du clavier et qu'on regarde le haut de la page, qu'est-ce qu'on voit ?
    Ça :

2. Si on lit les Règles de BibMath, on y trouve ceci :

* Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

   
Donc, si tu pouvais faire l'effort de nous montrer le résultat de tes cogitations, ce serait bien et tu aurais de grandes chances (c'est une litote !) d'obtenir l'aide souhaitée : nous attendrons !
(Ne viens pas nous dire que tu n'as pu trouver S₅ !...)

Eh oui, la devise de BibMath pourrait être : Aide-toi et BibMath t'aidera !

A mon tour :

Merci d'avance (de ta compréhension dont je ne doute pas un seul instant)

      Yoshi
- Modérateur -

yoshi

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Re : Exercice suites

Bonjour,

Un tout petit coup de pouce...
Même si j'ai l'impression d'enfoncer des portes ouvertes.
Les abscisses des points à prendre en compte pour partager en 5 l'intervalle [0 ; 1], et tout le monde va se rendre compte de l'extrême difficulté de ce qui suit :
[tex]\frac 1 5\;;\;\frac 2 5\;;\;\frac 3 5\;;\;\frac 4 5\;;\;\frac 5 5[/tex]
dont les ordonnées sont:
[tex]\frac{1} {25}\;;\;\frac{4} {25}\;;\;\frac{9} {25}\;;\;\frac{16} {25}\;;\;\frac{25} {25}[/tex]
L'aire du rectangle se calcule par Longueur * largeur...
Disons qu'ici j'appelle Longueur la distance commune 1/n entre deux abscisses consécutives, soit ici 1/5...
Quant à la largeur, et bien c'est la distance entre chaque point d'abscisse [tex]\frac 1 5\;;\;\frac 2 5\;;\;\frac 3 5\;;\;\frac 4 5\;;\;\frac 5 5[/tex] et l'axe des abscisses, soit l'ordonnée dudit point.
Un ch'ti dessin, même à main levée permettait de "découvrir" ça en 2 min, le temps d'attraper une feuille de papier, un crayon ou un stylo, de tracer la courbe d'équation y = x² et 5 rectangles, puis d'ouvrir les yeux...

@+

yoshi

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Re : Exercice suites

Re,

Q1
[tex]S_5 = l\times h_1+ l\times h_2+ l\times h_3+ l\times h_4+ l\times h_5=l(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5)[/tex]
Ou h1, h2... h5 sont les ordonnées listées ci-dessus.

On peut donc écrire [tex]S_5 = l(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5) = \frac 1 5\left(\frac{1} {25}+\frac{4} {25}+\frac{9} {25}+\frac{16} {25}+\frac{25} {25}\right)[/tex]
Je mets encore [tex]\frac{1} {25}[/tex] en facteur :
[tex]S_5 = l(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5) = \frac{1}{125}\left(1+4+9+16+25\right)[/tex]

Soit en remplaçant 125 par 5³ et 1, 4, 9... 25 par des carrés :
[tex]S_5 = l(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5) = \frac{1}{5^3}\left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\right)[/tex]

Q2
Il suffit d'extrapoler en passant à n.
On a alors :
[tex]l =\frac 1 n[/tex]
[tex](h1,\; h_2,\;h_3 \cdots h_n) =\left(\frac {1}{n^2},\;\frac {4}{n^2},\frac {9}{n^2},\;\cdots \frac {n^2}{n^2}\right)[/tex]

@+