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Yassine

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Milieu de deux points

Bonjour,
Ci-après un petit exercice de géométrie. Un des mes amis l'avait résolu en 1983 (bien avant Internet donc). Nous ne connaissions pas du tout à l'époque le théorème de Mohr-Mascheroni. Je vous propose de trouver une solution différente de la solution "classique".

Trouvez le milieu de deux points en utilisant uniquement un compas et d'une manière différente de celle listée sur Wikipedia ou ici.

Dernière modification par Yassine (11-04-2013 21:17:17)

Yassine

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Re : Milieu de deux points

▼une solution

Ci-dessous la méthode proposée à l'époque (je dois avouer que nous étions une dizaine à l'époque à avoir séché sur ce petit problème).
Cette méthode est moins "pratique" que la méthode classique vu que certaines intersections sont obtenues comme le double point d'intersection de deux cercles tangents.
Appelons les deux points en question A et B.
La première étape consiste à trouver trois points alignés dont on connait le milieu.
On prend deux points quelconques P et M, ensuite, on construit le point X tel que PXM soit un triangle équilatéral. En répète la même opération avec M et X et on construit Y de manière à ce que XYM équilatéral (Y est le symétrique de P par rapport à la droite (XM)). On répète la même opération pour trouver Q tel que MYQ soit équilatéral. P, M et Q sont aligné et M est le milieu de PQ.

Deuxième étape
On utilise la distance PQ pour construire pour construire le point D tel que ADB soit isocèle (AD = BD = PQ). On vient ensuite construire les milieux de E de AD et F de BD à l'aide de la distance PM (milieu obtenu comme intersection de deux cercles tangents).
Les triangles ADB et EDF (je n'ai pas fait exprès) sont semblables. Donc 2 = AD/FD = AB/EF. Donc le distance EF est la moitié de AB. On construite donc le point recherché à l'aide de cette distance (encode comme intersection de deux cercles tangents).