Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Invité

similitude

Bonjour,
Dans le plan complexe les points A, B, I, J ont comme affixes respectives 0, 2, 2+i, 3+2i.
On considère la similitude directe s qui transforme A en I et B en J.
1. Déterminer le rapport et l'angle de la similitude s
2. Déterminer l'affixe du centre S de la similitude s
3. On considère le cercle C circonscrit au triangle SBJ et O le centre de ce cercle. Donner la valeur de l'angle BOJ.
Facultatif : En déduire une construction géométrique du centre S de la similitude s.

Voilà ce que j'ai trouvée pour le 1.
le vecteur IJ a pour affixe (3+2i)-(2+i) = 1+i . Le module est (racine de 1²+1²) = (racine de 2)
Le vecteur AB a pour affixe 2+0i. Le module est 2
Le produit scalaire des vecteurs IJ et AB = (1x2)+(1x0) = 2 = 2 x (racine de 2) x cos (angle des vecteurs AB et IJ)
Le rapport de la similitude est (racine de 2) / 2 (c'est le rapport des modules)
et son angle est pi/4 car son cos vaut 1/(racine de 2)=(racine de 2)/2

Pour le 2. je ne vois pas comment commencer, je m' embrouille dans les affixes entre produit scalaire et produit des vecteurs.

excusez pour Latex, je verrai plus tard

freddy

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Re : similitude

Salut,

c'est bien !

As tu vu le théorème qui énonce qu'une similitude directe transforme l'affixe [tex]z[/tex] en[tex] z' = az+b[/tex]  avec[tex] a \ne 0[/tex] et [tex]b[/tex] élements de[tex] \mathbb{C}[/tex] ?

Si oui, alors tu sais que son rapport est le module de a et son angle l'argument de a. Enfin, son centre est le point d'affixe  [tex]\frac{b}{1-a}[/tex] à condition que[tex] a \ne 1[/tex]

Dernière modification par freddy (27-03-2013 20:17:10)

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Invité

Re : similitude

Bonjour,

Merci pour le théorème. Je ne le connaissais pas
j'ai revu ce matin le produit des vecteurs après avoir séché hier.

Le produit de vecteurs  fait tourner un vecteur qui a son origine au zéro du plan complexe (et multiplie son module).
La similitude fait pareil mais autour de son centre S dans le plan qui a A pour origine.
Donc j'ai trouvé l'affixe de S à ma manière en posant que c'était zS = x+iy avec x et y réels.

Le vecteur s de la similitude de rapport [tex]r = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] et d'angle [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] est :
[tex]s =\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)[/tex] donc [tex]s = \frac{1+i}{2}[/tex]

le produit du vecteur [tex]\overrightarrow{SA}[/tex] (affixe de A - affixe de S) par le vecteur s doit donner le vecteur [tex]\overrightarrow{SI}[/tex] (affixe de I - affixe de S)
[tex]\frac{(-x-iy)(1+i)}{2} = 2+i-x-iy[/tex]
[tex](-x-ix-iy+y) = 2(2+i-x-iy)[/tex]
parties réelles : [tex]y-x  = 4-2x[/tex]  soit [tex]y+x = 4[/tex]
parties imaginaires : [tex]-(y+x) = 2-2y[/tex]  d'où [tex]2-2y = -4[/tex] soit y = 3 et x = 1. Affixe de S = 1+3i

Alors j'ai essayé le théorème z' = az+b en comprenant que a et b sont des nombres complexes et que a représente le vecteur s de la similitude
J'applique z' = 2+i pour le point I,  z = 0 pour le point A : donc b=2+i et je fais a = s
[tex]1-a = 1-\frac{1+i}{2} = \frac{2-1-i}{2} = \frac{1-i}{2}[/tex]

[tex]\frac{b}{1-a} = \frac{2+i}{\frac{1-i}{2}} [/tex]   le 2 passe au numérateur et en multipliant par (1+i) en haut et en bas :
[tex](2+i)(1+i) = 2+2i+i-1 = 1 + 3i[/tex] qui correspond bien à l'affixe de S

J'ai vu aussi, comme l'image du centre S d'affixe zS est le même point S, alors zS=a.zS+b qui donne zS=b/(1-a)
et même, en refaisant comme j'ai fait avec SI et SA
z'=az+b c'est z'-zS = a(z-zS) et cela donne bien z' = az + b  avec b = zS(1-a)

j'ai bien compris. Les nombres complexes, c'est magique ! encore merci

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[EDIT]@yoshi
Tiens regarde en LaTex, comme c'est beau...
Ca donne envie, j'espère !
La recette est là : Code LateX

Dernière modification par yoshi (29-03-2013 11:57:12)

freddy

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Re : similitude

You're welcome !

Tu te mets au latex, et on t'adopte !

line9605

Invité

Re : similitude

bonjour,

oui, latex c'est bien, mais il faudrait installer latex sur mon ordi pour que je vois tout de suite quand j'écris ce qui sera en latex

et pardon yoshi, il y a erreur qui rend difficile à comprendre. je crois que j'avais écrit :
1-a = 1-((1+i)/2)
b/(1-a) = (2+i) / (1-i) /2     qui sont bons

comme je vise le plus haut, je préfère bosser les problèmes sur papier...

freddy

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Re : similitude

Salut,

pas d'accord : tu codes en latex sur l'ordi, tu fais "prévisualisation", et tu vois ce que ça donne, tu corriges et tu postes.

Si tu ne codes pas, on va avoir très vite du mal à comprendre tes sujets et on ne pourra plus t'aider (on ne va pas passer du temps à deviner ...) Vu ?

Déjà, tu fais remarquer à yoshi une erreur de lecture? L'erreur, c'est toi car non codé en latex. Le code s'apprend en un rien de temps, et de plus tu as la fonction "insérer" de Fred ...

A toi de voir !

Dernière modification par freddy (29-03-2013 12:07:20)

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Invité

Re : similitude

re,

j'ai montré chez ma copine : c'est le meilleur ! c'est pas moi qui modifie et c'est moi qui fait l'erreur !
c'est pire qu'avec mon père !
Pas très aimable, monsieur le prof. t"est pas obligé de me lire !
j'en veux pas à yoshi...

freddy

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Re : similitude

Re,

et en plus, il te manque la fonction "politesse et correction".

Pas de souci, je ne te répondrai plus, je n'aime pas les mals polis.

Freddy.

yoshi

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Re : similitude

Salut,

Non, non, les erreurs viennent bien de moi...
Sauf que je sais quand même interpréter un truc aussi simple que 1-((1+i)/2), hein... ! ;-)

j'en veux pas à yoshi...

Merci, merci...^_^

Regarde ton clavier, tu y verras que [{ figurent sur deux touches voisines...
Comme je ne ne tape pas comme une dactylo, il m'arrive d'attraper 2 touches à la fois, ou dans un mauvais réflexe, 2 consécutivement..
C'est ce qui s'est passé et cela m'avait échappé à la prévisualisation...
J'ai simplement viré le [ en trop dans la formule, et c'est rentré dans l'ordre...
Quant au b/(1-a), je plaide coupable : j'ai interprété ça comme b) suivi de 1-a =.... Je n'ai pas totalement cherché les tenants et aboutissants, c'est corrigé aussi... J'avais vaguement cherché, sans le trouver, un a)... Et je me suis dit que tu l'avais oublié
Vérifie-toi-même.

et pardon yoshi, il y a erreur qui rend difficile à comprendre. je crois que j'avais écrit :
1-a = 1-((1+i)/2)
b/(1-a) = (2+i) / (1-i) /2     qui sont bons

Non, heureusement, tu avais écrit : b/(1-a) = (2+i)/((1-i) /2)  parce que, sinon, cela devient :
[tex]\frac{\frac{2+i}{1-i}}{2}[/tex] et le 2 ne passe plus au numérateur ainsi que tu l'avais aussi écrit, mais au dénominateur...
Un argument de plus pour Latex : cette erreur sauterait aux yeux à la relecture.

Je n'étais pas obligé de recoder ton post pour te montrer l'emploi de LateX...
L'intérêt de Latex, c'est qu'après codage, ça ressemble quand même plus à des Maths, et qu'il n'y a plus d'ambigüité possible comme en écriture "classique".
J'espérais que tu apprécierais...
J'ai raté mon coup !

j'ai montré chez ma copine : c'est le meilleur ! c'est pas moi qui modifie et c'est moi qui fait l'erreur !

Ok ! Je ne toucherai plus à rien...
j'ai montré chez ma copine : c'est le meilleur !
On doit traduire ça comment ?
Tu préfères te concentrer sur le travail sur papier... et pourtant, la forme ne conditionne-t-elle pas le fond ?

Ne râle pas après freddy, il ne s'est pas montré désagréable, juste exprimer à sa façon, que comme l'on a souvent plusieurs fers au feu simultanément et donc on essaie de donner une réponse aussi vite que possible à tous, l'intérêt, sur un site consacré aux mathématiques, de pouvoir lire des formules comme dans un manuel ou un tableau nous est particulièrement évident...
En outre, lorsqu'on répond de nouveau à un post parfois quelques jours après (et pas de notre fait !), si on a affaire à du code lateX, pas besoin de recommencer l'interprétation...

Allez, be cool, Max !

@+