Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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Combien finalement ?

Salut,

je sens que notre bon jpp attend qu'on lui donne un problème bien velu.

J'en ai un pour lui, comme pour les autres.

On sait que le GIE Carte Bleue est assez inquiet depuis qu'un crack en informatique a démontré qu'on pouvait casser les sept clefs qui protègent le code secret de nos différentes cartes de paiement.

D'ailleurs, le crack en question a fabriqué des "yes card" totalement bidons et a retiré quelques menus monnaies pour le lui prouver, ce qui lui valut un petit séjour en prison.

Du coup, quand ledit crack est venu tout récemment donner au GIE la manière de crypter de façon tout à fait inviolable, ce dernier ne savait plus comment le remercier.

Il leur dit "Ecoutez, c'est bien simple, je vais refaire le coup de l'inventeur du jeu d'échecs. Vous allez me donner la contre-valeur en euros (au cours du jour) de chaque grain de blé que vous pourrez disposer sur chaque case d'un échiquier, suivant un progression géométrique de premier terme 1 et de raison 2".

Le directeur général du GIE était un homme cultivé et amateur éclairé d'arithmétique. Il eut tout de suite l'idée de faire participer les 7 plus grandes banques européennes aux honoraires mérités de leur bienfaiteur en leur disant : chacune d'entre vous lui versera le septième du total, par valeur entière arrondie à l'entier inférieur, et le GIE mettra le complément.

Question 1 : combien dut-il mettre pour compléter ?

Question 2 : combien chaque banque dut elle payer ?

nerosson

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Re : Combien finalement ?

Salut à tous,

▼la conjecture de nérosson

Il me semble que le nombre d'euros sur la 64ème case est de 2 puissance 63, et que le nombre d'euros sur les 63 premières cases est égal à 2 puissance 63 moins 1. Le total serait donc de 2 puissance 64 moins 1. Je subodore que  puissance 63 est divisible par 7 (because 9 X 7 =63), et donc 2 puissance 64 aussi. Donc le total à payer serait supérieur de six euros à un multiple de 7. Lorsque les 7 banques auraient payé leur part, il resterait six euros à verser. Est-ce que je me suis encore mélangé les pinceaux ?

P.S. je crois qu'effectivement je me suis mélangé les pinceaux et que le total serait un multiple de 7, donc que les banques auraient payé jusqu'au dernier euro.

ReP.S. Je viens de lire la solution de jpp. Il en ressort que je me suis mélangé les pinceaux deux fois de suite. Je m'en veux d'autant plus que j'aurais du le voir.

Qu'est-ce que je fous sur ce site ? Vous pouvez me le dire ? J'y retourne toujours, comme le chien retourne à son vomi !

J'ai songé un instant à supprimer purement et simplement mon post, (peu de gens l'avaient vu) et puis je me suis dit que ce serait une sorte de lâcheté : il faut assumer sa merde !

Savez-vous que la conjecture de Goldbach aurait été démontrée récemment ? La démonstration serait encore à l'évaluation.

Dernière modification par nerosson (05-03-2013 18:33:45)

jpp

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Re : Combien finalement ?

salut.

▼une réponse

la somme de 3 puissances successives de 2 est congru à 0 modulo 7 . ex:   [tex]2 + 2^2+2^3   [/tex]

                                                                                                              [tex]2^4+2^5+2^6 = 7 \times{16}[/tex]

  et comme cela jusqu'à la somme   [tex]2^{61} + 2^{62} + 2^{63} = 7n[/tex]

il n'aura qu'à verser l'euro symbolique de la première case ,  pour la question 1, si j'ai bien compris le sujet3.

                                                                                                    à plus .

jpp

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Re : Combien finalement ?

re.

▼question 2

et chaque banque devra s'acquitter  de [tex]\frac17 \times{\sum_{n=1}^{63}2^n}  euros = \sum_{n=0}^{20}2^{(1+3n)}  euros[/tex]

  ce qui donne[tex]146\times{(1+2^9+2^{18}+2^{27}+2^{36}+2^{45}+2^{54})} = 2635249153387078802 \; euros[/tex]

Dernière modification par jpp (05-03-2013 23:06:00)

freddy

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Re : Combien finalement ?

Salut,

@nerosson : tu y es bien, alors reste !

@jpp : oui pour Q1, non pour Q2. Je suis un peu déçu, toi qui sais si bien chercher sur la Toile, que tu aies donné une réponse si "pauvre".

Try again ?!

freddy

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Re : Combien finalement ?

Salut,

donc le GIE ne donne qu'un grain de blé ! Malin, car le reste de la division de [tex]2^{64}-1[/tex] par 7 est égal à 1 !

Les 7 banques européennes doivent donner chacune la contre valeur en euro de 2 635 249 153 387 078 802 grains de blé

On convient que 1.000 grains = 43 grammes, qu'un boisseau de blé = 27,6 KG qu'il côte 7,35 $ sur le marché de Chicago et que le cours de change est de 1,32 $ pour un Euro.

Donc chaque banque aurait dû lui verser 22.861 milliards d'Euro.

En réalité, il fut remis à la brigade de lutte contre la délinquance astucieuse et purge encore sa peine :-)))

Rappelons que la dette budgétaire française est de l'ordre de 1.880 Milliards d'Euro, soit 90 % du Pib français !!!