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emna17

Invité

arithmétique

bonjour ,
de l'aide s'il vous plait
soit PGCD(a+b ; ab ) = p² avec p premier
montrer que p² divise a²
en déduire que p divise a
montrer que PGCD ( a,b) =p ou p²

j'ai su juste montrer que p² divise a²+b² et je bloque

Fred

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Re : arithmétique

Salut,

  On a [tex]p^2|ab[/tex]. On a donc plusieurs cas possible :
1. [tex]p|a[/tex], et dans ce cas on a terminé.
2. [tex]p[/tex] et [tex]a[/tex] sont premiers entre eux deux à deux, et donc [tex]p^2|b[/tex].
Mais alors, puisque [tex]p^2|a+b[/tex], on en déduit que [tex]p^2|a[/tex] (ce dernier cas est donc impossible!).

Dans tous les cas, donc [tex]p|a[/tex].
De la même façon, on prouve que [tex]p|b[/tex].

Maintenant, si [tex]d=pgcd(a,b)[/tex], alors [tex]d|a+b[/tex] et [tex]d|ab[/tex], donc
[tex]d|p^2[/tex]. Ainsi, on ne peut avoir que [tex]d=1,p,p^2[/tex]. Mais puisque
[tex]p|a[/tex] et [tex]p|b[/tex], on a aussi [tex]p|d[/tex], et donc le pgcd de a et b ne peut être
que [tex]p[/tex] ou [tex]p^2[/tex].

F.

ymagnyma

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Re : arithmétique

Bonjour, si tu montres que [tex]p^2[/tex] divise [tex]a^2-b^2[/tex], tu pourras sans effort montrer que [tex]p^2[/tex] divises [tex]a^2[/tex], (et donc, au passage [tex]b^2[/tex]).

p.s. ce n'est pas trop compliqué de montrer que [tex]p^2[/tex] divise [tex]a^2-b^2[/tex], non ?

Dernière modification par ymagnyma (24-02-2013 13:16:46)

emna17

Invité

Re : arithmétique

Merci beaucoup Messieurs