Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 10-02-2013 11:33:14
- totomm
- Membre
- Inscription : 25-08-2011
- Messages : 1 093
Age et polynome
Bonjour,
Pour ceux qui aiment raisonner
Xavier dit : Mon âge, soit x, est racine entière d'un polynôme P(x) à coefficients entiers
Paul, voyant le polynôme dit tu as 7 ans
Mais non dit Xavier, puisque P(7) = 77, et j'ai plus que 7 ans.
Pierre, un peu au hasard, dit alors tu as "y" ans
Mais non dit Xavier, puisque P(y) = 85, et j'ai plus que y ans?
Déterminer x, y, et le polynôme.
Cordialement
Edit : "Mon âge, soit x, est racine entière"
Dernière modification par totomm (11-02-2013 20:11:15)
Hors ligne
#2 11-02-2013 16:25:36
- imed1
- Invité
Re : Age et polynome
Bonjour,
- Pourquoi Paul en voyant le polynome dit que Xavier à 7 ans. ne sait il pas calculer P(7).?
- P(x)de degrés 2?
#3 11-02-2013 19:50:09
- totomm
- Membre
- Inscription : 25-08-2011
- Messages : 1 093
Re : Age et polynome
Bonsoir,
Sans doute, dans cette histoire, Paul n'est cité que pour donner à Xavier l'occasion de dire P(7) = 77 !
J'ai cherché un bon moment le bon raisonnement quand on m'a posé ce problème, même après avoir "trouvé" à l'aide de l'ordinateur ...
Edit : En revoyant le raisonnement qui conduit à la solution, je m'aperçois que j'avais omis "racine entière" pour "mon age"
Cordialement
Dernière modification par totomm (11-02-2013 20:13:59)
Hors ligne
#7 14-02-2013 09:55:27
- totomm
- Membre
- Inscription : 25-08-2011
- Messages : 1 093
Re : Age et polynome
Bonjour,
Solution donc, après les résultats donnés par Fred et freddy
On n'utilise que les entiers et deux propriétés :
Propriété 1. Si x0, age de Xavier, est racine entière d'un polynôme P(X) à coefficients entiers, alors, pour tout X
on peut écrire P(X) = (x0 - X)Q(X) avec Q(X) polynôme à coefficients entiers. En particulier :
P(7) = (x0 - 7)Q(7) = 77 avec (x0 - 7) entier positif ("j'ai plus que 7 ans") qui divise 77
donc x0 - 7 est l'un de 1, 7, 11, 77
P(y) = (x0 - y)Q(y) = 85 avec (x0 - y) entier positif ("j'ai plus que y ans") qui divise 85
donc x0 - y est l'un de 1, 5, 17, 85
Propriété 2. (y - 7) divise P(y) - P(7) = 85 - 77 = 8 avec (y - 7) entier positif
("Pierre a parlé après Paul qui avait dit 7 ans et après Xavier qui avait dit j'ai plus que 7 ans")
donc (y-7) est l'un de 1, 2, 4, 8
Si l'on additionne les cas possibles de (x0 - y) + (y - 7) = (x0 - 7) on trouve successivement :
1, 2, 4, 8, 3, 7, 19, 87, 5, 9, 21, 89, 9, 13, 25, 94. dont la seule valeur qui convienne pour (X0-7) est 7
ainsi : (x0 - y) = 5 et (y - 7) = 2 d'où y = 9 et x0 = 14
Si maintenant l'on écrit Q(X) = aX + b, on résout :
77 = (7-14)(7a + b) et 85 = (9 - 14)(9a + b) soit 7a + b = -11 et 9a + b = -17
qui donne le polynôme P(X) = (X - 14)(-3X + 10) = -3X² + 52X -140
Avant d'arriver à ce raisonnement j'avais programmé (facilement) :
for y in range(8,81):
for x0 in range(y+1,91):
for a in range(-20,21):
for b in range(-50,51):
if (y-x0)*(a*y+b)==85 and (7-x0)*(a*7+b)==77:
print("x0 =",x0," ; y =",y," ; a =",a," ; b =",b)
qui imprime rapidement : x0 = 14 ; y = 9 ; a = -3 ; b = 10
Cordialement
Hors ligne
#8 14-02-2013 13:52:56
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Age et polynome
Re,
perso, j'avais fait plus simple.
j'avais supposé que [tex]P(X)=aX^2+bX+c[/tex] et calculé [tex]P(7+\alpha)-P(7)=8[/tex]
Ceci permettait de poser[tex] \alpha=2[/tex] comme première hypothèse.
En utilisant cette hypothèse et celle relative à [tex]P(7)=77=7\times 11[/tex],[tex] b[/tex] et [tex]c[/tex] s'exprimaient linéairement en fonction de a.
Ensuite, l'existence d'une racine entière a fait le reste ...
Hors ligne