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imed1

Invité

arithmétique 1ere S

bonjour,  de l'aide s'il vous plait :
monter que 5^4n - 1  est divisible par 13
montrer que n^5 - n est divisible par 30 
(sans utiliser l'identité de Bezout)

imed1

Invité

Re : arithmétique 1ere S

si pour tout n on a 5^4n - 1  est divisible par 13 , alors 5^4 est divisible par 13,ce qui est faux. Déjà, un probléme de moins

montrer que n^5 - n est divisible par 30

totomm

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Re : arithmétique 1ere S

Bonjour,

Voyons imed1 : [tex]5^{4}-1= 625-1=624=48 \times{13}[/tex] !!

A+ Cordialement

imed1

Invité

Re : arithmétique 1ere S

Merci Totomm
Donc on a bien 2 Pbl à résoudre... Quoique pour le 2nd, je crois avoir trouvé (sur un autre site)

totomm

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Re : arithmétique 1ere S

re-Bonjour,

1. Il est plus facile de transformer l’expression en un produit de 3 facteurs et de raisonner ensuite par récurrence sur chacun des facteurs.

2. Montrez comment vous raisonnez pour la divisibilité de [tex]n^5-n[/tex] par 30

A+ cordialement

imed1

Invité

Re : arithmétique 1ere S

1_  5^4n-1= (5^n -1)(5^n +1)(5^2n+1)

2_  n^5-n= n(n-1)(n+1)(n2+1)   or (n2+1)=5+(n-2)(n+2)

pour la 2 çà a l'air de marcher. pour la 1  ??

freddy

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Re : arithmétique 1ere S

Salut,

pour le 1, il y a beaucoup plus rapide par une récurrence que totomn a initialisé avec n=1.

Mais peut être que tu as déjà trouvé sur un autre site ? Et Latex, tu connais ?

imed1

Invité

Re : arithmétique 1ere S

Merci à vous tous.

1- avec x=5^4, il suffit d'écrire x^n -1= (x-1)(1+x+x²+.....+x^(n-1))

Ouf...Laborieux...

freddy

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Re : arithmétique 1ere S

Re,

pour le 1, je pensais plutôt à :

on a montré que  [tex] 5^4 \equiv 1 \pmod{13}[/tex]

on déduit tout de suite que [tex] 5^4\times 5^4 \equiv 5^4 \equiv 1 \pmod{13}[/tex]

et de proche en proche ... [tex] 5^{(n-1)4}\times 5^4 \equiv 1 \pmod{13}[/tex]

totomm

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Re : arithmétique 1ere S

Bonjour,

Bien, mais, imed1, vous n'avez pas "montré la divisibilité"  tant que vous n'avez pas écrit :
"Pour tout n...."

Pour le problème 1 :
au post #9 freddy vous donne une démonstration par récurrence valable
Votre présentation au post #8 est tout autant valable si vous dites "...puisque le facteur (x-1) est divisible par 13"

Pour le problème 2 vous écrivez au post #6 : [tex]n^5-n= n(n-1)(n+1)(n^2+1)  \ \ \  or\ (n^2+1)=5+(n-2)(n+2)[/tex]
Mais vous n'avez pas démontré la divisibilité par 30 !!

Si l'aide apportée vous suffit, vous pouvez bien sûr, en rester là.
Cordialement

freddy

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Re : arithmétique 1ere S

Re,

donc on va montrer des pistes "pour les autres".

Par le petit théorème de Fermat, on sait que [tex]n^5-n[/tex] est divisible par 5.

De la même manière, on sait que [tex](n-1)n(n+1) =n^3-n[/tex] est divisible par 3.

Donc on déduit que [tex]n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)[/tex] est divisible par 3 et par 5.

Enfin, le produit est divisible par 2 puisque soit  [tex]n[/tex] est impair, et[tex] n-1,\;n+1,\;  n^2+1[/tex] sont pairs, et soit [tex]n[/tex] est pair, et la messe est dite.

conclusion : [tex]n^5-n[/tex] est bien divisible par [tex]2\times 3\times 5 = 30[/tex], quel que soit l'entier n.