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Fred

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Enseignement des mathématiques par compétences

Bonjour,

  Tibo ne fréquente plus le forum, mais je pense que le lien
que je vais donner l'aurait intéressé.
  Ceux qui ne sont pas (ou plus) enseignants ne le savent pas forcément, mais l'enseignement en France vit une vraie réforme en profondeur qui ne s'affiche pas dans les journaux. On passe d'un enseignement basé sur les connaissances à un enseignement basé sur les compétences.
La page web suivante - http://www.skolo.org/spip.php?article1532 - explique en quoi ceci peut être à l'origine d'une baisse du niveau en mathématiques, par la comparaison entre Belgique flamande et Belgique francophone.

Fred.

totomm

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

Bonjour,

Je "profite" de ce post de Fred pour poser une question concernant les terminales S.

Dans le Forum "Entraide (collège-lycée") une discussion est titrée : formule sortie de nulle part ?
D'où ma question : est-ce que les élèves doivent apprendre le développement de cos(a+b) et sin(a+b) sans démonstration ?
ou leur est-il démontré, par exemple par projection de vecteurs sur le cercle trigonométrique ?

Cordialement,

Dernière modification par yoshi (26-01-2013 11:56:08)

yoshi

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

Bonjour,

Le BO spécial n°9 du 30 septembre 2010 dit

CONTENUS                                                      CAPACITES ATTENDUES                        COMMENTAIRE
.........
Produit scalaire dans le plan
....................
Application                                                         Démontrer que :
formules d’addition et de                                   cos(a-b)= cos a cos b+sin a sin b               La relation de Chasles pour les
duplication des cosinus et                                                                                                  angles orientés est admise
sinus.

http://cache.media.education.gouv.fr/fi … 155211.pdf

Je n'en sais pas plus, mais il est un fait que les exigences ont bien baiissé.

Fred a probablement une réponse plus complète.

@+

[EDIT]
Aucune allusion dans le BO spécial n° 8 du 13 octobre 2011 (prog TS) :
http://enseignement.math.univ-angers.fr … 1-2012.pdf

Donc c'est bien au niveau 1S que ce point est "traité"...

Dernière modification par yoshi (26-01-2013 12:03:45)

Fred

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

Re-

  Je n'ai pas de livres de 1ère S sous la main, je regarderai lundi au boulot (si j'y pense!).

F.

totomm

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

re-Bonjour,

j'ai trouvé  dans le BO spécial n° 8 du 13 octobre 2011 (prog TS), page 7/12, dernier commentaire :

Les nombres complexes permettent de retrouver et de mémoriser les formules trigonométriques d’addition et de duplication vues en première.

Donc, pour la 1ère S, j'ai trouvé en bas de page 4/7 de
http://cache.media.education.gouv.fr/fi … 155211.pdf

formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus : Démontrer cos(a-b).... .

Sans que j'aie vu (compris) quelles notions pouvaient être utilisées pour cette démonstration, ni comment.

Cordialement

yoshi

Modo Ferox

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

Re,

Donc, pour la 1ère S, j'ai trouvé en bas de page 4/7 de
http://cache.media.education.gouv.fr/fi … 155211.pdf

formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus : Démontrer cos(a-b).... .

Oui, c'est bien ce passage que j'avais cité, mais j'avais aussi ajouté le commentaire qui allait avec : La relation de Chasles pour les angles orientés est admise.
Mais je dois avouer m'être dit, un peu trop rapidement, que je voyais pas le rapport entre le commentaire et la démonstration...
J'ai depuis vu un rapport, pas très évident quand même, voire "capillotracté" comme dit ma fille :
Soient A et B deux points du plan rapporté à un repère orthonormé [tex](O,\vec i,\vec j)[/tex] et tels que
[tex](\vec i,\overrightarrow{OA}) = a[/tex]  et [tex](\vec i,\overrightarrow{OB}) = b[/tex]
et on a de plus : [tex]A(OA\cos a\;;\;OA\sin a)[/tex] et [tex]B(OB\cos b\;;\;OB\sin b[/tex])
(Bien sûr, prendre A et B sur le cercle trigonométrique simplifient les calculs...)

[tex](\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})= a-b[/tex]
Voilà pour le rapport avec la relation de Chasles, c'est peu, mais c'est tout ce que j'ai.
D'où [tex]\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OA}=OB\times OA\times \cos(a-b)[/tex]
Et la démonstration peut démarrer...

Pour la version TS, le mot démonstration n'est pas cité, on parle de "retrouver les formules" via les complexes et la notation exponentielle...
Pourquoi cette nuance ?
Rendu prudent par l'épisode de la relation de Chasles, j'ai ouvert un bouquin de TS et suis allé vérifier un soupçon...
Chapitre Nombres complexes.
Paragraphe Arguments d'un produit.
z et z' étant deux complexes non nuls, on y démontre que  :arg(zz')=arg(z)+arg(z')
La démo se fait grâce... aux formules d'addition de 1S.
Vous voyez où je veux en venir ?
Après arrivent le
Paragraphe Formule de Moivre, puis le
Paragraphe Notation exponentielle d'un complexe
et on aboutit enfin à [tex]e^{ia}\times e^{ib}=e^{i(a+b)}[/tex]
Avec les propriétés ci-dessus, par identification des parties réelles et imaginaires, on arrive bien à retrouver cos(a+b) et sin (a+b).
Retrouver et non démontrer, sinon ce serait du rétropédalage...

@+

totomm

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

Bonsoir,

C'est Ok. j'ai vu avec un de mes petits enfants comment se fait la démonstration de cos(a-b) maintenant, comparée à celle que j'ai apprise dans les années 1950.
en 1950 on décomposait [tex]\vec{OB}[/tex] en le projetant sur la droite support de [tex]\vec{OA}[/tex] et une droite perpendiculaire à [tex]\vec{OA}[/tex] ; et on appliquait la règle : "La somme des projections des vecteurs composants est égale à la projection du vecteur somme"
La démarche maintenant qui consiste à exprimer plus directement le produit scalaire en utilisant les coordonnées dans une base orthonormale est moins visuelle (à mon avis), mais plus générale, plus abstraite mais aussi plus simple.
Il faut que l'on ait bien compris la place du cos() dans le produit scalaire et les produits des vecteurs unitaires [tex] \vec{i}.\vec{i}\ \ et\ \ \vec{i}.\vec{j}[/tex].

Cordialement

yoshi

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

Re,

[tex]\cos(a-b)=\cos(-(b-a))= \cos (b-a)[/tex]
Produit scalaire.
[tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA\times OB\times \cos(b-a)[/tex] (1)
Mais si (x ; y) et (x' ; y') sont les coordonnées respectives de 2 vecteurs [tex]\vec U[/tex] et [tex]\vec V[/tex]
On a aussi [tex]\vec U.\vec V = xx'+yy'[/tex]
D'où :
[tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA\times \cos A\times OB\times \cos B+OA\sin A\times OB \sin b=(OA\times OB)(\cos a \cos b+\sin a \sin b)[/tex] (2)

De la comparaison de (1) et (2) vient :
[tex]OA\times OB\times  \cos(b-a) = OA\times OB (\cos a \cos b+\sin a \sin b)[/tex]
Et enfin :
[tex]\cos(b-a) = \cos a \cos b+\sin a \sin b[/tex]
Et comme [tex]\cos(x)=\cos(-x)[/tex]
[tex]\cos(a-b) = \cos a \cos b+\sin a \sin b[/tex]
pour garder l'ordre habituel.

Pour revenir au sujet de Fred, cette comparaison est édifiante, mais (pour moi) pas surprenante, même si écrit Noir sur Blanc de façon aussi précise et circonstanciée est frappant.
Je serais curieux de savoir si une telle comparaison a déjà été faite entre nos nouveaux programmes et ceux d'il y a 10 ans et/ou ceux de nos voisins...

J'ai trouvé une évolution des horaires de Maths (français) en Terminale "Maths" depuis au moins les années 60 et il me semble (à vérifier) les programmes : il s'agit d'une compilation statistique de chiffres bruts.
A titre de comparaison, lorsque j'ai passé mon Bac "Math elem" :
- J'avais 9 h de Maths par semaine
- J'avais plusieurs bouquins : Algèbre, Géométrie, Géométrie analytique, Arithmétique, Cinématique, Trigonométrie (il me semble qu'il en manque)

Horaires TS 2012
Maths : 6 h + 2 h  si choix comme Enseignement de spécialité...
Source :
http://www.education.gouv.fr/archives/2 … raires.php

@+

[EDIT]
A la réflexion, la démonstration proposée n'est qu'une variante de ce qui est suggéré au post #7, variante qui ne nécessite aucune maîtrise des vecteurs unitaires [tex]\vec i[/tex] et [tex]\vec j[/tex]...
Donc pour expliciter la méthode du post précédent :
Je prends A et B sur le cercle trigonométrique, d'où OA = OB = 1.
Alors [tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= \cos(b-a)[/tex](1)

Mais [tex]A(\cos a\;;\;\sin a)[/tex]  et  [tex] B(\cos\;;\sin b)[/tex]
Il vient alors :
[tex]\overrightarrow{OA}= \cos a\, \vec i + \sin a\, \vec j[/tex]
[tex]\overrightarrow{OB}= \cos b\, \vec i + \sin b\, \vec j[/tex]
Le produits scalaire s'écrit aussi :
[tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= (\cos a \vec i + \sin a \vec j)(\cos b \vec i + \sin b \vec j)[/tex]
qu''on développe :
[tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\cos a\cos b\, (\vec i)^2+ \sin a \sin b\, (\vec j)^2 + (\cos a \sin b + \sin a\cos b)\,\vec i.\vec j[/tex]
Or [tex](\vec i)^2=(\vec j)^2=1[/tex]  et ces deux vecteurs étant perpendiculaires [tex]\vec i. \vec j = 0[/tex]
On a donc : [tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\cos a\cos b+ \sin a \sin b[/tex] (2)

Et en rapprochant (1) et (2) :
[tex]\cos(b-a)=\cos a\cos b+ \sin a \sin b[/tex]
...............

Dernière modification par yoshi (28-01-2013 09:46:00)

Fred

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

Re-

  Et aussi (et surtout?) 4h de maths en 1ère S....

F.

yoshi

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

Salut,

Arf...
4 h en 1ere S quand on compare ce qu'il faut y encaisser compte tenu de "l'épaisseur" du prg de 2nde pour pouvoir digérer la TS, ça fait quand mêle peu...
Pas étonnant que des coupes sombres (notamment Barycentres et Géo dans l'espace, 2 gros morceaux) y ont été pratiquées...
Quant au prg de 2nde, il est tributaire de celui de 3e de Collège et quand on voit le niveau de ceux qui accèdent à la 2nde
- directement suite aux Conseils de Classe (d'accord tous ne sont pas destinés à la 1ere S)
- suite au feu vert des commissions d' appel (j'ai vécu ça de l'intérieur une fois !)
je pense que mes petits camarades de Lycée ont du souci à se faire...

Encore à titre indicatif, en 1ere moderne, on avait 5 h de Maths par semaine, mais je pense que ce n'était pas le même "public" que les 1ere S aujourd'hui, et qu'on bossait sans discuter...

La pédagogie des "compétences" c'est demander de
- savoir utiliser une dérivée,
- la calculer au besoin avec un logiciel de calcul formel ?
C'est ça ?

@+

Fred

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Re : Enseignement des mathématiques par compétences

La pédagogie des "compétences" c'est  demander de
- savoir utiliser une dérivée,
- la calculer au besoin avec un logiciel de calcul formel ?
C'est ça ?

En gros on peut dire cela....