Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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nerosson le magnifique !

Ciao a tutti !

Vous avez tous appris qu'un modeste Français a gagné tout récemment une somme supérieure à 100 millions d'euros à heureux million de la FDJ !

Ce que vous ne savez probablement pas (je l'ai moi-même appris d'un copain de la DCRI), est que le fameux gagnant est en fait notre vénérable octogénaire nerosson !

Et ce que vous savez encore moins, et que notre cher ami (oui, quand un banquier dit "cher ami" en se frottant les mains, c'est qu'il s'agit d'un ami qui va lui rapporter beaucoup d'argent !) est d'une rare générosité.

Pour la mettre en œuvre, il a tout de même besoin de vos précieux neurones, les siens ayant tendance à se carapater 10 minutes après la fin de chacune des onze siestes qu'il fait par jour (et que fait-on après un bonne sieste ? Un bon gros dodo !).

Voilà ce que notre ami a imaginé pour illuminer le premier avril 2013. Il va demander au fameux joailler italien Buccellati de la place Vendôme de lui préparer un certain nombre d'icosidodécaèdre (20 triangles et 12 pentagones réguliers ayant tous la même longueur d'arête) en or, ce fameux polyèdre dont la version tronqué est tout simplement un ballon de football de coupe du monde ! Sur chaque "dé", les triangles seront numérotés de 0 à 19.

Il fera fermer la place de l'Etoile (il a ses entrées à l'Elysée) et il conviera 300 de ses amis les plus proches (j'en connais qui vont être un peu déçu). Sur chaque carton d'invitation figurera un numéro d'ordre de passage.

Dans cet ordre, chaque ami se présentera devant lui. Là, nerosson lancera les dés, et cet ami prendra tous les dès dont le numéro inscrit sur la face au sol du triangle est égal au reste de la division par 20 du numéro d'ordre de l'invité.

Pour bien faire les choses et éviter que de faux amis lui fassent reproche d'une relative partialité, il aimerait bien savoir combien de dés il doit faire confectionner pour que le dernier invité, son tour venu, ait au moins 50 % de chances de gagner au moins un "dé".

PS : le "dé" est parfaitement équilibré et chacune des 32 faces a une probabilité d'apparition proportionnelle à sa surface.

Le bijoutier lui fait un devis : il lui en coûtera 1.000 euros par pièce pour une commande égale au nombre que vous aurez calculé.

Pris d'un soudain remord, notre ami décide de doubler le nombre d'invité. Sa toute nouvelle fortune y résistera t-elle ?

(source : trouvé sur le net, merci à Ph. F)

Dernière modification par freddy (16-01-2013 20:45:48)

jpp

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Re : nerosson le magnifique !

salut.

▼les prémices du début d'un commencement

déjà pour commencer,

l'aire d'un pentagone connaissant son arète a   est [tex]A_P = \frac{a^2}{4}\times{\sqrt{25 + 10.\sqrt{25}}}[/tex]

celle d'un triangle équilatéral de même arète : a   est [tex]A_T =\frac{a^2.\sqrt3}{4} [/tex]

et la proba de tomber sur un triangle bien défini :

     [tex]P(t) = \frac{A_T}{20\times{A_T} + 12\times{A_P}} = \frac{\sqrt3}{4\times{\left(5.\sqrt3 + 3.\sqrt{25 + 10.\sqrt5}\right)}} \approx 0.0147755[/tex]  si je n'ai pas fait d'erreur.

freddy

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Re : nerosson le magnifique !

Re,

@jpp : nous sommes d'accord.

jpp

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Re : nerosson le magnifique !

salut.

▼peut-être

post #2   la proba de tomber sur la face triangulaire gagnante pour un candidat est la même . p = 0.0147755

avec ses 100 millions d'euros , nérosson ne peut acheter que 100.000 ballons .

le dernier candidat à pouvoir estimer ses chances de ramasser le dernier ballon avec au moins une chance sur deux est le n^ième

avec [tex]n < \frac{\ln{\left[\frac{1-0.5^{10^{-5}}}{p}\right]}}{\ln{(1-p)}}[/tex]

alors [tex]n < 514.89687[/tex] .   avec  donc  514 candidats   .  donc 600 candidats , c'est pas la peine d'y songer.

Dernière modification par jpp (17-01-2013 18:35:04)

freddy

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Re : nerosson le magnifique !

Salut

@jpp : non ! En même temps, je n'ai pas bien compris ce que tu fais. Si tu pouvais mieux expliquer, stp ?

nerosson

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Re : nerosson le magnifique !

Salut à tous,

J'ai lu le laïus de Freddy.

Comme disait le chef indien Hibou Taciturne après une copieuse allocution du Secrétaire d' Etat aux Affaires Indiennes : "J'ai oublié le début et j'ai pas compris la fin parce que j'avais oublié le début !"

P.S. Je ne joue jamais au loto et autres attrape-nigauds de ce genre. C'est ce qui fait que je ne suis pas encore SDF. C'est pour ça que des gens qui exagèrent me disent : "T'as six turnes"

Oui, je sais : "Elle est capillotractée ! " comme dirait Yoshi.

jpp

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Re : nerosson le magnifique !

re.

▼une réponse

rappel:  la proba  p calculée plus haut .  p = 0.0147755  pour qu'un polyèdre d'or  se pose sur le bon triangle .

- le premier qui joue  2 ballons , les gagne avec une proba  [tex]p^2[/tex]  et n ballons avec une proba  [tex]p^n[/tex] . si bien qu'un ballon reste dans le circuit avec une proba de [tex]1 - p[/tex] et  n ballons avec une proba de [tex] (1-p)^n[/tex] .

Alors chaque ballon ira jusqu'au 300^ème candidat avec une proba de [tex](1-p)^{299}[/tex] ce même ballon est gagné avec une proba de
                        [tex] p\times{(1-p)^{299}}[/tex]  et perdu avec une proba de [tex]1 - p.(1-p)^{299}[/tex].

maintenant avec  n ballons  la proba que le dernier des 300 perde est  [tex]\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]^n[/tex]

or cette proba doit être inférieure à 0.5  donc [tex]\frac12 >\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]^n [/tex] .

maintenant on va chercher l'inconnue n . 

     [tex]\ln{\frac12} >ln{\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]^n}[/tex]  --> [tex]\ln{\frac12} >n .\ln{\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]}[/tex]

et  finalement  [tex]n < \frac{- \ln2}{\ln{\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]}} \approx 4020.014[/tex]  avec  p = 0.01477557344

nérosson peut donc acheter 4020 ballons pour que le dernier ait une chance sur 2 de partir avec au moins un lot.

et si nérosson double le nombre de candidats  , alors avec 600 candidats il devra mettre en jeu 349714 ballons.

pour savoir maintenant le nombre maximum de candidats jouant pour 100.000 ballons coutant 100 millions d'euros . alors:

  [tex]\ln{\left[1 - p.(1-p)^x\right]}= \frac{\ln2}{10^5}[/tex]

[tex]1 - p.(1-p)^x = \exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right][/tex]

[tex]p.(1-p)^x = 1 -\exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right][/tex]  --->  [tex](1-p)^x =\frac{1 -\exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right]}{p} [/tex]

[tex] x.\ln{(1-p)} = \ln\left[\frac{1 -\exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right]}{p}\right][/tex]

alors  [tex]x = \frac{\ln\left[\frac{1 -\exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right]}{p}\right]}{\ln{(1-p)}}[/tex]

et finalement [tex]x = \frac{\ln{\left[\frac{1 - 0.5^{10^{-5}}}{p}\right]}}{\ln{(1-p)}} = 514.8968[/tex]  donne 514 candidats maximum pour 100.000 ballons achetés.

Dernière modification par jpp (17-01-2013 19:54:08)

freddy

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Re : nerosson le magnifique !

Salut,

@jpp : je suis embarrassé, car il y a de nombreuses fautes de raisonnement dans ton approche. Par exemple, tu dis qu'il faut que n soit inférieur à X et ensuite tu prends ce nombre X comme le bon résultat. Pour moi, si n est inférieur à X, alors n = 1 voire 0 convient. Qu'en penses tu ?

jpp

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Re : nerosson le magnifique !

salut.

j'ai cherché  n< x  . et là , comme je cherchais les cas ou le dernier des lots n'arrivait pas jusqu'au dernier candidat , il est vrai que ça ne peut pas fonctionner . bien sur que pour que cela fonctionne , n doit être >x . autant pour moi .
donc le nombres minimum de lots  trouvés doit être arrondi à la partie entière supérieure de x. dans les trois cas.

freddy

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Re : nerosson le magnifique !

Re,

@nerosson : le coup du chef indien, tu nous l'as déjà fait :-) C'est bien la preuve que tu développes le syndrome du poisson rouge : pas plus de 3 secondes de mémoire immédiate et 20 ans de mémoire antédiluvienne !

Pour le gros lot de l'heureux million, tu avais 60 jours pour aller le chercher. Trop tard, ils l'ont recyclé ...

freddy

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Re : nerosson le magnifique !

Salut jpp,

je mets ta réponse en clair, car j'avoue ne pas tout bien comprendre et voudrais que d'autres participent à nos échanges, si tu n'y vois pas d'inconvénient. Bien entendu, on parle de dé en or, pas de ballon :-)

re.

rappel:  la proba  p calculée plus haut .  p = 0.0147755  pour qu'un polyèdre d'or  se pose sur le bon triangle .

- le premier qui joue  2 ballons , les gagne avec une proba  [tex]p^2[/tex]  et n ballons avec une proba  [tex]p^n[/tex] . si bien qu'un ballon reste dans le circuit avec une proba de [tex]1 - p[/tex] et  n ballons avec une proba de [tex] (1-p)^n[/tex] .

Alors chaque ballon ira jusqu'au 300^ème candidat avec une proba de [tex](1-p)^{299}[/tex] ce même ballon est gagné avec une proba de
                        [tex] p\times{(1-p)^{299}}[/tex]  et perdu avec une proba de [tex]1 - p.(1-p)^{299}[/tex].

maintenant avec  n ballons  la proba que le dernier des 300 perde est  [tex]\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]^n[/tex]

or cette proba doit être inférieure à 0.5  donc [tex]\frac12 >\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]^n [/tex] .

maintenant on va chercher l'inconnue n . 

     [tex]\ln{\frac12} >ln{\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]^n}[/tex]  --> [tex]\ln{\frac12} >n .\ln{\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]}[/tex]

et  finalement  [tex]n < \frac{- \ln2}{\ln{\left[1 - p.(1-p)^{299}\right]}} \approx 4020.014[/tex]  avec  p = 0.01477557344

nérosson peut donc acheter 4020 ballons pour que le dernier ait une chance sur 2 de partir avec au moins un lot.

et si nérosson double le nombre de candidats  , alors avec 600 candidats il devra mettre en jeu 349714 ballons.

pour savoir maintenant le nombre maximum de candidats jouant pour 100.000 ballons coutant 100 millions d'euros . alors:

  [tex]\ln{\left[1 - p.(1-p)^x\right]}= \frac{\ln2}{10^5}[/tex]

[tex]1 - p.(1-p)^x = \exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right][/tex]

[tex]p.(1-p)^x = 1 -\exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right][/tex]  --->  [tex](1-p)^x =\frac{1 -\exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right]}{p} [/tex]

[tex] x.\ln{(1-p)} = \ln\left[\frac{1 -\exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right]}{p}\right][/tex]

alors  [tex]x = \frac{\ln\left[\frac{1 -\exp^\left[\frac{\ln2}{10^5}\right]}{p}\right]}{\ln{(1-p)}}[/tex]

et finalement [tex]x = \frac{\ln{\left[\frac{1 - 0.5^{10^{-5}}}{p}\right]}}{\ln{(1-p)}} = 514.8968[/tex]  donne 514 candidats maximum pour 100.000 ballons achetés.

nerosson

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Re : nerosson le magnifique !

Salut à tous

@freddy

J'avoue que je ne peux pas me souvenir des 1.443 interventions que j'ai faites sur ce site.

De même qu'il ne me reste pas grand chose des  3.727  interventions que tu as faites. Mais ça, c'est pas grave.... ;-)

Dernière modification par nerosson (18-01-2013 16:11:05)

jpp

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Re : nerosson le magnifique !

salut.

je pense que tous les dés ont la même chance p₁d'être gagné par le candidat N°1  et la même chance p₃₀₀ d'être gagné  par le candidat N°300

je pense que le jeu peut se dérouler ainsi: on ne joue qu'avec le premier dé .ou il est gagné par le candidat  (i) , ou il est récupéré par nérosson et fini dans ses coffres .

la proba qu'il puisse être gagné par  le 300  est   p_300g = p.(1-p)²⁹⁹  .

la proba qu'il échappe à 300  lorsque c'est à son tour de jouer est donc  p₃₀₀ = 1 - p.(1-p)²⁹⁹.

et je pense que c'est comme ça pour tous les dés . ainsi lorsque qu'on jouera le n^ième dé ; le dernier candidat le perd avec une proba (1-p_300g)ⁿ 

c'est comme ça que je vois les choses .

Dernière modification par jpp (19-01-2013 10:09:03)

freddy

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Re : nerosson le magnifique !

Salut,

je te réponds :

Tous les dés ont la même chance p₁d'être gagné par le candidat N°1  et la même chance p₃₀₀ d'être gagné  par le candidat N°300.

OUI

je pense que le jeu peut se dérouler ainsi: on ne joue qu'avec le premier dé . Ou il est gagné par le candidat  (i) , ou il est récupéré par nérosson et fini dans ses coffres . EXACT

la proba qu'il puisse être gagné par  le 300  est   p_300g = p.(1-p)²⁹⁹  . OUI

la proba qu'il échappe à 300  lorsque c'est à son tour de jouer est donc  p₃₀₀ = 1 - p.(1-p)²⁹⁹. NON

plutôt [tex](1-p)^{300}[/tex]

C'est pour ça que je ne comprends pas bien la suite.

Tu vois ?

jpp

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Re : nerosson le magnifique !

salut.

tu as raison. la proba qu'un dé quelconque soit gagné par 300 est  P₃₀₀=p.(1-p)²⁹⁹

et celle que 300 n'empoche rien est (1 - P₃₀₀)ⁿ

300 emporte au moins un dé avec  [tex]1 - (1 - P_{300})^n  \ge  \frac12[/tex]  -->  [tex](1 - P_{300})^n \le  \frac12[/tex]

donc  [tex]\left(1 - p.(1-p)^{299}\right)^n \le \frac12[/tex]   -->  [tex] n \ge  \frac{- \ln{2}}{\ln\left(1 - p.(1-p)^{299}\right)}[/tex] puisque le logarithme est négatif.

Dernière modification par jpp (20-01-2013 10:06:11)

freddy

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Re : nerosson le magnifique !

Salut,

perfect !