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Jean1

Invité

statistiques

Bonjour, pourriez vous m'aider s'il vous plait.

La série statistique est formée de valeurs x1,x2,...xn (d'effectif n)
Cette série est partagée en deux sous-séries :
- l'une constituée des valeurs x1,x2,xp (d'effectif p)
- l'autre constituée des valeurs xp+1,xp+2,xn (d'effectif q). On a donc p+q=n

On note x (barre au dessus) la moyenne et V la variance de la série initiale, x1(barre) la moyenne et V1 la variance de la première série. Et x2(barre) la moyenne et V2 la variance de la deuxième série.

1) Exprimer x(barre) la moyenne en fonction de x1(barre),(x2)barre,p,q et n.

2) Soit la série formée des deux moyennes x1 et x2, d'effectifs respectifs p et q.

a) quelle est sa moyenne ?
b) Exprimer sa variance Vm en fonction de x1(barre),(x2)barre, x(barre),p,q et n.

3) Donner l'expression de la moyenne M des variances V1 et V2 pondérées respectivement pour les effectifs p et q.

D'après mon cours : la variance : V(x) = [ n1( x1-xbarre)² + n2(x2-xbarre)²+...+np(xp-xbarre)²]/n1+n2+np

1)pour la moyenne j'ai trouvé: moyennex=p*moyennex1 + q *moyenne x2 / p+q

2) v=1/n[p1(x1barre-xbarre)²+p2(x2barre-xbarre)² est-ce cela ? et pour la question 3 je bloque

Merci pour votre aide

freddy

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Re : statistiques

La série statistique est formée de valeurs [tex]x_1,\,x_2,\, \cdots ,\,x_n[/tex] (d'effectif n)

Cette série est partagée en deux sous-séries :

- l'une constituée des valeurs[tex] x_1,\, x_2,\, x_p[/tex] (d'effectif p)

- l'autre constituée des valeurs [tex]x_{p+1},\, x_{p+2},\, x_n[/tex] (d'effectif q). On a donc [tex]p+q=n[/tex]

On note [tex]\bar x[/tex]  la moyenne et V la variance de la série initiale, [tex]\bar x_1[/tex] la moyenne et [tex]V_1[/tex] la variance de la première série. Et [tex]\bar x_2[/tex] la moyenne et [tex]V_2[/tex] la variance de la deuxième série.

1) Exprimer x(barre) la moyenne en fonction de x1(barre),(x2)barre,p,q et n.

2) Soit la série formée des deux moyennes x1 et x2, d'effectifs respectifs p et q.

a) quelle est sa moyenne ?

b) Exprimer sa variance Vm en fonction de x1(barre),(x2)barre, x(barre),p,q et n ?

3) Donner l'expression de la moyenne M des variances V1 et V2 pondérées respectivement pour les effectifs p et q.

D'après mon cours : la variance : V(x) = [ n1( x1-xbarre)² + n2(x2-xbarre)²+...+np(xp-xbarre)²]/n1+n2+np ???

1)pour la moyenne j'ai trouvé: moyennex=(p*moyennex1 + q *moyenne x2 )/ n OUI

2) v=1/n[p1(x1barre-xbarre)²+p2(x2barre-xbarre)² est-ce cela ? et pour la question 3 je bloque

Salut,

j'ai repris quelques notations, répondu à deux questions. Si tu pouvais faire l'effort de recopier le code pour qu'on comprenne mieux tes questions, on pourra y répondre.

A te lire !

freddy

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Re : statistiques

Re,

pour la moyenne, on note plutôt m.

Donc en effet, [tex]m = \frac{p\times m_1+q\times m_2}{p+q}=\frac{p}{n}\times m_1+\frac{q}{n}\times m_2[/tex]

Pour la variance, on a par définition :

[tex]nV=\sum_1^n (x_i-m)^2= \sum_1^n x_i^2-n\times m^2= \sum_1^{p+q} x_i^2-\frac{1}{n}\times (p\times m_1+q\times m_2)^2[/tex]

[tex]= \left(\sum_1^p x_i^2 - p\times m_1^2\right)+\left(\sum_{p+1}^n x_i^2 - q\times m_2^2 \right)+ p\times m_1^2+q\times m_2^2-\frac{1}{n}\times (p^2\times m_1^2+q^2\times m_2^2+2pqm_1m_2)[/tex]

[tex]= pV_1+qV_2 + \frac{1}{n}\left((p+q)p\times m_1^2+(p+q)q\times m_2^2-p^2\times m_1^2-q^2\times m_2^2-2pqm_1m_2\right)[/tex]

[tex]= pV_1+qV_2 + \frac{pq}{n}\left( m_1^2+m_2^2-2m_1m_2\right)[/tex]

[tex]V= \frac{p}{n}V_1+\frac{q}{n}V_2 + \frac{pq}{n^2}( m_1-m_2)^2[/tex]

Sauf erreur, voilà ce qu'il faut trouver pour la décomposition d'une variance globale en variance de deux sous-séries. Si je me souviens bien, on parle de variance intraclasse et de variance interclasse.

Dernière modification par freddy (04-01-2013 14:08:10)

Jean1

Invité

Re : statistiques

Merci beaucoup pour votre réponse, en fait la variance si je comprend bien c'est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. Mais pour la question 3) je vois pas très bien comment faire, faut-il exprimer les variances v1 et v2 puis les additionner ?? Merci pour votre aide

freddy

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Re : statistiques

Salut,

en réalité, je n'ai pas vraiment bien compris ce dont tu avais besoin. J'ai donc fait un calcul pour retrouver la variance d'une série à partir de deux sous-séries la composant, mais je n'arrive pas à bien lire ton sujet.

Si tu pouvais être plus clair (et écrire les formules de calcul sous latex), on devrait y arriver !

Jean1

Invité

Re : statistiques

oui la variance d'une série à partir de deux sous-séries la composant c'est cela que je cherchais

Jean1

Invité

Re : statistiques

si vous-voulez je peux aussi faire un scan de l'exerice c'est plus pratique parce que je ne sais pas trop comment insérer le calcul sous latex

freddy

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Re : statistiques

Re,

en aérant ton texte, je pense avoir compris !

2) Soit la série formée des deux moyennes [tex]m_1[/tex] et [tex]m_2[/tex], d'effectifs respectifs p et q.

a) quelle est sa moyenne ?

[tex]m=\frac{p\times m_1+q\times m_2}{p+q}[/tex]

b) Exprimer sa variance [tex]V_m[/tex] en fonction de m1, m2, m, p, q et n ?

[tex]V_m=\frac{p\times (m_1-m)^2+q\times (m_2-m)^2}{p+q}=\frac{p\times m_1^2+q\times m_2^2}{n} -m^2[/tex]

3) Donner l'expression de la moyenne M des variances V1 et V2 pondérées respectivement pour les effectifs p et q.

[tex]M=\frac{pV_1+qV_2}{p+q}[/tex]

Voilà !

Jeean1

Invité

Re : statistiques

Merci pour votre réponse, excusez moi mais pourriez vous détailler s'il vous plait vos calculs pour le b) et le 3) s'il vous plait. Merci beaucoup

yoshi

Modo Ferox

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Re : statistiques

Bonsoir,

je ne sais pas trop comment insérer le calcul sous latex

Bon, bin, il faut pas jeter le bébé avec l'eau du bain, hein ?
Alors 2 façons d'utiliser LateX
1. Sans aucun prérequis ! Il suffit d'un peu de courage et de lire attentivement cette page : Code LateX.
   Après ? Expérimenter et voir ce que ça donne via le bouton Prévisualisation...
2. Là, tu as besoin d'avoir l'environnement Java JRE installé sur ta machine. C'est impératif !
   Moyennant quoi si tu cliques sur Insérer une équatiion tu accèdes à un éditeur de formules mathématiques, type Word ou Dmaths pour OpenOffice.
   Un petit tuto en pdf y est disponible, mais c'est très intuitif : aucxun apprentissage !

@+

Jeean1

Invité

Re : statistiques

d'accord merci beaucoup yoshi je vais essayer aussitôt

freddy

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Re : statistiques

Merci pour votre réponse, excusez moi mais pourriez vous détailler s'il vous plait vos calculs pour le b) et le 3) s'il vous plait. Merci beaucoup

Re,

Ce ne sont que des définitions appliquées aux deux séries, il n'y a pas de miracle.

Jeean1

Invité

Re : statistiques

d'accord j'ai compris merci je vais regarder dans ma leçon.

J'ai encore un petit problème avec cet exercice, puis-je vous demander de m'aider pour une ultime question s'il vous plait.

Je n'arrive pas à taper la question car je ne trouve pas sigma et la moyenne x en forme latex, pourriez vous s'il vous plait m'indiquer où il se trouve comme ça je pourrait réécrire le texte de manière plus compréhensible.

4) a) A l'aide de la formule de Hyghens : sigma de i=1 à p (x_i-moyenne x)²=pV₁+p(moyenne x₁-moyenne x)²

b) Exprimer .sigma de i=p+1 à q(x_i-moyenne x)² en fonction de moyennex₂), moyenne x, q et V₂ en donnant le calcul.

c) Donner l'expression de la variance V de la série initiale.

freddy

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Re : statistiques

(...)

4)
a) A l'aide de la formule de Huygens : [tex]\sum_{i=1}^p (x_i-m)^2=p\times V_1+p(m_1-m)^2[/tex]

On a  : [tex]\sum_{i=1}^p \left((x_i-m_1)+(m_1-m)\right)^2=\sum_{i=1}^p (x_i-m_1)^2+2(m_1-m)\sum_{i=1}^p (x_i-m_1)+p\times (m_1-m)^2 [/tex]

Or [tex]\sum_{i=1}^p (x_i-m_1)=0[/tex] par définition, et[tex] \sum_{i=1}^p (x_i-m_1)^2=p\times V_1[/tex] ce qui montre la formule du texte.

b) Exprimer  [tex]\sum_{i=p+1}^{p+q} (x_i-m)^2[/tex] en fonction de [tex]m_2,\, m,\, q[/tex] et [tex]V_2[/tex] en donnant le calcul.

De la même manière, on a : [tex]\sum_{i=p+1}^{p+q} (x_i-m)^2= q\times V_2+q(m_2-m)^2[/tex]

c) Donner l'expression de la variance V de la série initiale.

On sait que :

[tex]n\times V = \sum_{i=1}^p (x_i-m)^2+\sum_{i=p+1}^{p+q} (x_i-m)^2 = p\times V_1+q\times V_2+p(m_1-m)^2+q(m_2-m)^2[/tex]

et on déduit facilement [tex]V = V_m+M[/tex] avec les notations précédentes.

La variance de la série est donc la moyenne des variances plus la variance des moyennes (des deux sous-séries constitutives de la série initiale). On se sert de ce résultat quand on enrichit une série par des données complémentaires et qu'on veut s'épargner des calculs trop longs et fastidieux.

Dernière modification par freddy (05-01-2013 10:43:07)

Jeean1

Invité

Re : statistiques

merci pour votre réponse, mais excusez moi j'ai fais une faute de frappe pour la question 4) je corrige :

a) A l'aide de la formule de Huyghens : 1[tex]/[/tex]n sigma de i=1 à n (x_i-a)²=[tex]([/tex]1[tex]/[/tex]n sigma de i=1 à n (x_i-m)²[tex])[/tex]+(m-a)²[tex])[/tex], montrer que sigma de i=1 à p (x_i-m)²=pV₁+p(m₁-m)².

freddy

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Re : statistiques

merci pour votre réponse, mais excusez moi j'ai fais une faute de frappe pour la question 4) je corrige :

a) A l'aide de la formule de Huyghens : 1[tex]/[/tex]n sigma de i=1 à n (x_i-a)²=[tex]([/tex]1[tex]/[/tex]n sigma de i=1 à n (x_i-m)²[tex])[/tex]+(m-a)²[tex])[/tex], montrer que sigma de i=1 à p (x_i-m)²=pV₁+p(m₁-m)².

Salut,

j'ai tout dit ! A toi de réfléchir, et surtout de faire un effort pour "écrire" sous latex car ça reste assez illisible.