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benney

Invité

nombres complexes

Bonjour,

j'ai un exo de maths sur les complexes à faire

résoudre dans C l'équation : [tex]z^2-2\sqrt 3 z+4 =0[/tex]

1. a  résoudre l'équation dans C ,
ça j 'ai fait , j'ai calculé delta  ( =-4) et
z1 = -\rac3 /2- i  et z2 = -rac3  /2  + i

1.b  donner une forme exponentielle de chacune des 2 solutions

2. A et M ( unité 2 cm) les points d'affixe s respectives a = rac 3 +i et m= rac3-1

a )placer A et M en indiquant une méthode de construction

b) on appelle B et C les points d'affixes respectives b=ia et c=ib
calculer b et c  sous forme algébrique  pouis placer B et C

c) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
d) déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un carré. Placer D sur la figure

3. N et P sont les points d'affixes respectives n= e 2ipi/3 m et p = e 2ipi/3 n

a) déterminer la forme algébrique de n puis démontrer que P et C sont confondus

b) démontrer que le triangle MNP est équilatéral

4. Calculer  en cm² l'aire du carré ABCD puis l'aire du triangle MNP
On donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à l'unité

merci ce m'aider pour cet exercice

Matan

yoshi

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Re : nombres complexes

Bonjour,

Ce que tu écris est assez illisible.
Pense à utiliser le Code LateX
Q1 a)
[tex]\Delta= (-2\sqrt 3)^2-4\times 1 \times 4= 12 - 16 = -4 = 4i^2 =(2i)^2[/tex]
Jusque là, ça va...
Mais, les solutions de [tex]ax^2+bx+c = 0[/tex] sont données par [tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
En foi de quoi,  je ne vois pas ce que le dénominateur 3 vient faire dans tes racines : à refaire.

Q1 b) Ca, c'est du cours tout bête : [tex]r(cos\alpha+i\sin \alpha)=re^{i\alpha}[/tex]
        Tu vois ce qu'il te reste à faire... Donc, au taf et reviens !

Q2 les affixes sont-elles bien [tex]a =\sqrt 3 + i[/tex]  et [tex]m =\sqrt 3 - 1[/tex] ? -1 ? Pas plutôt - i ?

@+

benney

Invité

Re : nombres complexes

Bonjour,
Merci pour cette réponse
Mes racines sont : z1= √3 /2- i et z2=√3 /2 + i

Q1 b) Je trouve r= √7 /2 ce qui me donne cos α = √21 / 7 et sin α = -2√7 /7. Je n'arrive pas a trouver le α correspondant.

Q2 En effet, a=√3+i et m=√3-i

yoshi

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Re : nombres complexes

Bonsoir,

Q1 a)

Mes racines sont : z1= √3 /2- i et z2=√3 /2 + i

Niet ! Pas d'accord !
[tex]b= -2\sqrt 3[/tex] et a = 1
Donc :
[tex]z_1 = \frac{2\sqrt 3 - 2i}{2} = \sqrt 3 - i[/tex]

[tex]z_2 = \frac{2\sqrt 3 + 2i}{2} = \sqrt 3 + i[/tex]

Convaincu ?

Q1 b) Évidemment, c'est donc faux... Non, le r est bien plus simple que ça : c'est un entier qui se compte sur les doigts d'une main...
Et tu vas trouver une valeur bien connue pour l'argument...
Donc, il te faut recommencer tes calculs.
Allez, courage...

@+

benney

Invité

Re : nombres complexes

oups ! encore une erreur

z1= √3-i   et z2 = √3+i

le module de z1 est 2
donc cos α = √3/2 et sin α =-1/2  et  donc α -=-π/6

[tex]z_1= 2e^{-i\frac{\pi}{6}}[/tex]

[tex]z_2=2e^{i\frac{\pi}{6}}[/tex]

suis je sur la bonne voie maintenant ?

yoshi

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Re : nombres complexes

Re,

Oui, c'est juste !
Au passage, j'ai récrit tes formules en LateX : c'est pas "la mort du p'tit ch'val" !
Si tu n'y arrives pas en Latex sers-toi de la barre d'outils des messages...
Toi tu écris en HTML, or tu es ici sur un forum, on n'y utilise pas < et > mais [ et ]...
La barre d'outils te permet de dépasser ce souci...

Donc
Q2
a) Placer A et M d'affixes respectives[tex] a = \sqrt 3 + i[/tex]   et  [tex]m =\sqrt 3 - i[/tex]
Ce n'est pas pour rien qu'il y a la Q1 b)...
Avec module et arguments tu dois pouvoir facilement trouver la méthode de construction...
Vas-y !
b) Les calculs sont plus simples maintenant...

c) As-tu déjà vu la caractérisation d'une rotation avec les complexes ? Si oui, alors, c'est facile, si non il faudra "contourner" la difficulté...

@+

benney

Invité

Re : nombres complexes

la question 2  b avec le placement des points ne m'a pas posé pb par contre je bute sur la question c  démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle, je voulais le faire en calculant les distances et en appliquant la réciproque de pythagore mais avec les racines carrées c'est pas facile, y a t il une méthode plus simple ? ou une autre méthode  je nai pas vu la caractérisation d'une rotation avec les complexes
merci de votre réponse

yoshi

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Re : nombres complexes

Bonsoir,

Pas vu ? OK ! O,n prend la déviation
Passe par les complexes...
[tex]i = e^{i\frac{pi}{2}}[/tex].
Je commence :
[tex]b=ia = e^{i\frac{\pi}{2}} \times 2e^{i\frac{\pi}{6}}= 2e^{i\frac{\pi}{2}+i\frac{\pi}{6}}=....[/tex]
Et tu continues...

Après que voit-on pour B ?
Il est sur le même cercle que A et [tex]\widehat{AOB}=\frac{\pi}{2}[/tex]...
Tu recommences avec c = ib...
Conclusion pour [tex]\widehat{BOC}[/tex] ? pour  [tex]\widehat{AOC}[/tex] ? pour le triangle ABC ?

@+

benney

Invité

Re : nombres complexes

ok
b= 2 e ^i2π/3
B appartient au cercle de centre O et de rayon OA   ????

Je calcule c

benney

Invité

Re : nombres complexes

b= 2 e ^i2π/3

c= 2 e ^{i 7π/6}

benney

Invité

Re : nombres complexes

et après ???

yoshi

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Re : nombres complexes

Re,

Oui, B et C sont sur le cercle de centre O de de rayon OA = 2
Après ?...
Valeurs des angles [tex]\widehat{BOC}[/tex] ? [tex]\widehat{AOC}[/tex] ?
Comment sont placés A, O et C?
Qu'est-ce que tu peux dire d'un triangle dont 2 sommets sont les extrémités du diamètre et le sommet restant sur le cercle (classe de 4e !) ?

Et après on parlera quand même rotation sans parler de complexes...

@+

[EDIT]
Remords de conscience....
Le théorème de 4e est inutile...
Tu peux tout faire avec la rotation type Collège amélioré...
Tu as
OA = OB = OC et les mêmes angles [tex]\widehat{AOB}[/tex] et  [tex]\widehat{BOC}[/tex]...
Il y a donc une rotation d'angle +.... et de centre O dans laquelle
[tex]A \mapsto B[/tex]                   
[tex]B \mapsto C[/tex]

Donc on en conclut que [tex][AB] \mapsto [BC][/tex] dans la rotation d'angle +.... et centre O.
Or, la rotation conserve les longueurs donc AB = BC
Et comme [AB] a pour image [BC], ils font un angle de +....

Je passe de nouveau demain matin...

Dernière modification par yoshi (28-12-2012 21:20:23)

benney

Invité

Re : nombres complexes

ok merci beaucoup  et à demain matin,

yoshi

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Re : nombres complexes

Bonjour,

D'autres méthodes pour montrer que le triangle AOC est rectangle et isocèle : tu pourras faire ton choix... ;-)
1. Quoique tu n'aies pas répondu aux questions, j'espère que tu auras été assez futé pour remarquer que [tex]\widehat {AOB}=\widehat{AOC}[/tex] et que OA = OB = OC et que par voie de conséquence les triangles AOB et BOC sont rectangles et isocèles.

Donc [tex]\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\frac{\pi}{4}[/tex]
Et de là tu n'auras aucun mal à trouver que [tex]\widehat{ABC}=\frac{\pi}{2}[/tex].
Voilà pour triangle rectangle.
Pour isocèle, un p'tit coup de Pythagore dans les tr rectangles et isocèles AOB et BOC te permettra facilement d'établir que AB = BC

2. B est tel que b=ia, et C tel que c=ib et en conséquence c= i²b = -b. Les 2 points A et C ayant des affixes opposées sont symétriques par rapport à O.[AC] est donc un diamètre. Et comme B est sur le cercle alors le tr. ABC est rectangle en B.
Note bien que tu peux utiliser le théorème de la médiane en sachant que A, O  et C sont alignés :la médiane [BO] est telle BO = oA=OC = AC/2.. Le triangle est rectangle en B.
Pour isocèle, tu peux repartir de Pythagore

Q2 d)
Cette remarque sur c= ib = iia = i²a=-a, doit t'être utile pour trouver d à partir de b... ;-)
Tu devras justifier que le point D ainsi obtenu est tel que ABCD est un carré.

Q3 3. N et P sont les points d'affixes respectives [tex]n= e^{i\frac{2pi}{3}} m[/tex] et [tex]p = e^{i\frac{2\pi}{3}} n[/tex]
La question est bien :"déterminer la forme algébrique de n" ? de n, pas de p ?

Finis déjà la Q2

@+

benney

Invité

Re : nombres complexes

Bonjour,

J'ai trouvé pour Q2 d) d=1-i√3

3. a) Je pense qu'il faut que je mette e^2iπ/3 en forme algébrique pour calculer n

benney

Invité

Re : nombres complexes

Je trouve n=2i

yoshi

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Re : nombres complexes

Salut,

Tu as dû remarquer que multiplier par i était effectuer une rotation de centre O et d'angle [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
En partant de a et en faisant b = ia et c = ib , on obtient c=-a...
De même, on prend d= ic = -b.
OK pour ta valeur de d...

Q3 a) Oui, on peut...
[tex]e^{i\frac{2\pi}{3}}=cos\frac{2\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3} =cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)= \cdots[/tex]

Moi je préfère :
[tex]m=2e^{-i\frac{\pi}{6}}[/tex] : la forme exponentielle de m avait été demandée en Q1.
et
[tex]n = e^{i\frac{2\pi}{3}}\times 2e^{-i\frac{\pi}{6}}=2e^{i\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}\right)}=2e^{i\frac{\pi}{2}}=\cdots[/tex]
C'est plus rapide...

@+

benney

Invité

Re : nombres complexes

J'ai utiliser ma méthode et j'ai trouvé n=2i et p=-√3-i donc Pet C sont confondus

Q4. Je viens de calculer l'air du carré ABCD et je trouve 2cm² ? Je n'ai pas encore fait l'aire du triangle MNP

benney

Invité

Re : nombres complexes

Je crois avoir fait une erreur de calcul pour l'aire de ABCD et je pense que la bonne réponse est 2+4√3 soit ~8.9

benney

Invité

Re : nombres complexes

Je viens de finir, pour l'aire du triangle MNP je trouve 3√3 soit 5.2 cm²

yoshi

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Re : nombres complexes

Ave,

L'aire du carré ABCD est AB².
Ou si on considère que le carré est aussi un losange :[tex] \frac{AC\times BD}{2}=\frac{AC^2}{2}[/tex]
Or AC est la valeur du diamètre, soit 4 unités, soit 8 cm...
D'où [tex]Aire_{ABCD}=\frac{8^2}{2}= 32\;cm^2[/tex]

D'accord pour le triangle équilatéral à un gros bémol près..
1. Il est dit : arrondi à l'unité...
2. L'unité vaut 2 cm
Si j'appelle u l'unité, u² est l'unité-carrée qui vaut 4 cm²... Toi, tu as trouvé [tex]3\sqrt 3 \;u^2[/tex] et non  cm²...

Comment as-tu prouvé que tu avais un triangle équilatéral ?

@+

benney

Invité

Re : nombres complexes

D'accord je comprend mon erreur, je n'avais pas tenu compte de l'échelle donné :/

Je trouve donc que l'aire de MNP est de 12√3 soit 20.8 cm²

Pour prouver que le triangle est équilatéral, j'ai calculé la longueur des cotés est je trouve que MN=NP=MP=√12

benney

Invité

Re : nombres complexes

Désolé, je dois partir, je me reconnecterais vers 17h

yoshi

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Re : nombres complexes

Re,

20.8 cm²

Et têtu avec ça...
Résultat arrondi à l'unité !!! donc 21 cm²

Pour le tr équilatéral, ok.
Moi, j'ai examiné les angles  au centre [tex]\widehat{MON},\;\widehat{NOP} \text{ et }\widehat{POM}[/tex] valant [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] : il était facile d'en déduire que les angles inscrits (ceux du tr. MNP), interceptant le(s) même(s) arc(s), mesuraient la moitié soit [tex]\frac{\pi}{3}[/tex]...
Niveau calculs : pratiquement rien !

@+

PS
Je ne serai pas dispo entre 17 h et 19 h... Mais là, on a fini.

benney

Invité

Re : nombres complexes

Merci beaucoup de votre aide et bonnes fêtes de fin d'année