Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

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Le banni, l'urne et les jetons

Bonjour,

  Un des membres du forum de la Bibm@th a eu un comportement violant les règles de fonctionnement.
Yoshi, le grand modérateur, se voit dans l'obligation de le bannir. Mais il déteste devoir faire usage
de la force, et lui propose le jeu suivant : "Voici 100 jetons : 50 jetons noirs, 50 jetons blancs.
Voici deux urnes. Tu peux disposer dans chacune des urnes autant de jetons noirs et de jetons blancs que tu veux,
du moment que tous les jetons se trouvent dans les urnes (et qu'aucune urne ne soit vide). Ensuite, je vais te bander
les yeux et mélanger les deux urnes. Tu vas alors en choisir une, puis tirer un jeton au hasard dans cette urne.
S'il est blanc, tu pourras revenir sur le forum. S'il est noir, je te bannis".

Comment le membre doit-il répartir les jetons dans chaque urne pour optimiser ses chances d'éviter le bannissement?

Fred.

Jean091256387

Invité

Re : Le banni, l'urne et les jetons

Bonjour,

▼intuitivement

intuitivement je dirais:
- Je place 1 jeton blanc dans l'urne 1
- Tous les autres jetons dans l'urne 2

Au tirage:
Si je choisis l'urne 1, je reste sur le forum
Si je choisis l'urne 2, j'ai quand même 49 chances sur 100 de rester sur le forum

On peut faire mieux?

A+,
Jean

------
Edit Fred : J'ai mis ton texte sous forme cachée de manière à ne pas perturber les autres...

yoshi

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Re : Le banni, l'urne et les jetons

Salut,

(...) et mélanger les deux urnes

Question : au hasard ? de façon que les deux urnes contiennent chacune 50 jetons ?
Ou mélanger le contenu de chaque urne indépendamment l'une de l'autre ?
Appelons les 2 urnes, face à celui qui va mettre les jetons, A et B.
Les 2 urnes restent à la même place de façon que, les yeux bandés, le "vilain petit canard" sache où est l'urne A (ou la B) ? Ou ça n'a pas d'importance ?

@

totomm

Membre

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Re : Le banni, l'urne et les jetons

Bonjour

Si je choisis l'urne 2, j'ai quand même 49 chances sur 100 de rester sur le forum

petit lapsus : 49 chances sur 99 et non sur 100

Cordialement

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

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Re : Le banni, l'urne et les jetons

@yoshi : non, il n'y a pas d'échanges de jetons entre les urnes. On mélange les jetons à l'intérieur des urnes, et on fait en sorte que le membre ne puisse pas distinguer à la fin une urne de l'autre.

▼A Jean

Ton intuition est bonne... Mais cela mérite une preuve!

jpp

Membre

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Re : Le banni, l'urne et les jetons

salut.

▼une réponse

50 chances sur 99  . ou  il choisit l'urne B ou il n'y a que le pion blanc , ou il choisit un pion parmi les 99 de l'urne A dans laquelle se trouvent 49 pions blancs sur 99 pions

                                                                                 à plus.

Dernière modification par jpp (20-12-2012 12:50:09)

jpp

Membre

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Re : Le banni, l'urne et les jetons

re.

▼ rectification

  P = 0.74747..

Jean091256387

Invité

Re : Le banni, l'urne et les jetons

Merci pour la correction TomTom.
J'ai bien essayé de poser le pb mais mes neurones sèchent un peu ensuite:
Soit n1 le nombre de jeton noirs mis dans l'urne 1
Soit b1 le nombre de jeton blancs mis dans l'urne 1
Même logique pour l'urne 2, on a:
n1+n2=50
b1+b2=50
avec n1+b1 et n2+b2 non nuls
La probabilité de tirer un jeton blanc en fonction de n1, n2, b1, b2 est de:
\frac{\frac{b1}{n1+b1} + \frac{b2}{n2+b2}}{2}
Il faut ensuite maximiser cette probabilité, on devrait tomber sur mon intuition.
Pas le temps de faire les calculs tout se suite par contre, surtout que je me fais un peu vieux pour ça...

A+,
Jean
PS: j'espère avoir bon sur le code Latex...

yoshi

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Messages : 17 404

Re : Le banni, l'urne et les jetons

Salut,

PS: j'espère avoir bon sur le code Latex..

Le Latex est un langage interprété...
Si tu ne dis pas à ton navigateur : début de la formule et fin de la formule, il traitera ça comme du texte : c'est ce qui t'arrive.
Il te manque donc les balises tex  et  /tex (entourées de crochets).
Pour ce faire, sélectionne ta formule et clique sur le 1er icône à gauche de la barre d'outils des messages et hop :
[tex]\frac{\frac{b1}{n1+b1} + \frac{b2}{n2+b2}}{2}[/tex]...

Cet oubli est fréquent : c'est pour cela que c'est signalé de manière insistante dans cette page : Code LateX

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Le banni, l'urne et les jetons

Merci pour la correction TomTom.
J'ai bien essayé de poser le pb mais mes neurones sèchent un peu ensuite:
Soit n1 le nombre de jeton noirs mis dans l'urne 1
Soit b1 le nombre de jeton blancs mis dans l'urne 1
Même logique pour l'urne 2, on a:
n1+n2=50
b1+b2=50
avec n1+b1 et n2+b2 non nuls
La probabilité de tirer un jeton blanc en fonction de n1, n2, b1, b2 est de:
[tex]\frac{\frac{b1}{n1+b1} + \frac{b2}{n2+b2}}{2}[/tex]

Il faut ensuite maximiser cette probabilité, on devrait tomber sur mon intuition.
Pas le temps de faire les calculs tout se suite par contre, surtout que je me fais un peu vieux pour ça...

A+,
Jean
PS: j'espère avoir bon sur le code Latex...

salut,

oui, c'est pas mal, ça ...

Au départ, on voit que notre ami a une chance sur deux de rester en répartissant 25 noires et 25 blanches dans chacunes des deux urnes.

S'il est astucieux, il peut faire mieux !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Le banni, l'urne et les jetons

Re,

▼Une solution

La meilleure solution est la suivante : dans une urne, il met un seul jeton blanc. Dans l'autre urne, il met
les 99 jetons restants. S'il choisit la première urne, il s'en sort dans tous les cas. S'il choisit la deuxième urne,
il s'en sort avec une probabilité égale à [tex]\frac{49}{99}[/tex]. Sa probabilité de s'en sortir est donc égale à :
[tex]\frac12+\frac12\times\frac{49}{99}\approx 0,747…[/tex]
Il a ainsi presque trois chances sur quatre de s'en sortir. C'est la meilleure stratégie. En effet,
ou bien il chaque urne contient autant de boules blanches que de boules noires. Clairement, il a une chance sur deux
de s'en sortir dans ce cas. Sinon, il y a une urne, disons U1, qui contient plus de boules blanches que de boules noires,
et une autre, disons U2, qui contient plus de noires que de blanches.
* s'il choisit U1, il a une probabilité inférieure ou égale à 1 de s'en sortir.
* s'il choisit U2, notons [tex]b[/tex] le nombre de boules blanches dans cette urne, et [tex]n[/tex] le nombre de boules noires.
Alors [tex]n\geq b+1[/tex] et donc la probabilité de s'en sortir est inférieure ou égale à
[tex]\frac{b}{2b+1}[/tex]. Mais cette fonction est croissante avec [tex]b[/tex] et comme [tex]b\leq 49[/tex], la probabilité
qu'il s'en sorte en choisissant la deuxième urne est inférieure ou égal à [tex]\frac{49}{99}[/tex].

Jean091256387

Invité

Re : Le banni, l'urne et les jetons

Bonjour,

c'est bien plus simple comme ça effectivement...

totomm

Membre

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Messages : 1 093

Re : Le banni, l'urne et les jetons

Bonjour,

Pour agrémenter la discussion :
Probabilités quand au moins UN jeton blanc dans l'urne 1 et au moins UN noir dans l'urne 2
A(1 ; 0 ;  0,7474...)     B(1 ; 49 ; 0,5)     C(50 ; 0 ; 0,5)     D(50 ; 49 ; 0,2525...)

Cordialement

Lolo06

Invité

Re : Le banni, l'urne et les jetons

Bonjour,

Pourquoi ne pas reprendre l'idée de Jean091256387 et optimiser la fonction
f(x,y)=x/(x+y)+(50-y)/(100-x-y) avec  x et y compris ( au sens large ) entre 1 et 49 ?

nerosson

Membre actif

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Re : Le banni, l'urne et les jetons

Salut à tous,

1) Content de te revoir, Totomm (et tâche d'être sage !).

2) @Fred. Tu es très imprudent de poser ce genre de question : il est évident que maintenant que freddy sait comment éviter le bannissement, on va plus pouvoir le tenir ! ! !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Le banni, l'urne et les jetons

Bonjour,

@nerosson

1) Content de te revoir, Totomm (et tâche d'être sage !).

Euh... As-tu remarqué sur les posts figurent la date et l'heure ?
Le post de totomm auquel tu fais allusion ici date du 22-12-2012 13:24:47 : il est loin d'être tout neuf...

Quant à l'ouverture de la discussion par Fred, elle, elle date du 20-12-2012 10:20:29, pas tout jeune non plus...

@+

nerosson

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Re : Le banni, l'urne et les jetons

Salut à tous,

Chuis bien français : chuis encore en retard d'une guerre !