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stephane78

Invité

Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonjour,
Ma fille a un problème de maths (1eS) sur lequel je sèche aussi...
Soit la courbe C d'équation y=x^3. Prouver que la droite D d'équation y=75x-250 est tangente à la courbe C en un point A => Ca, on a trouvé...
La droite D coupe la courbe C en un autre point. Déterminer les coordonnées de cet autre point. Et la, je sèche...
Merci pour votre aide.
Stéphane

ymagnyma

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonjour.
Plusieurs façon de chercher à partir d'une idée générale.
On cherche à savoir pour quelles valeurs de x on a "C=D" soit [tex]x^3=75x-250[/tex].

méthode 1 : observation, vérification
observation : on trace les deux courbes, on observe si possible ce qu'il se passe. On voit deux points d'intersection. On note leurs coordonnées.
vérification : on teste par le calcul les valeurs trouvées.

Inconvénient : d'une part, la lecture graphique peut ne pas être pratique, d'autre part, il n'est pas sûr d'obtenir toutes les solutions.

méthode 2. on appelle f la fonction "différence C-D". [tex]f(x)=x^3-(75x-250)[/tex] Il s'agit de résoudre [tex]f(x)=0[/tex]
méthode 2_1 on observe les tables, (même inconvénients que méthode 1)
méthode 2_2, on étudie cette fonction f, variations, extrema locaux, via par exemple, la dérivée de f.

Cette méthode 2_2 très générale nous donne toutes les solutions quand il y en a, avec des valeurs exactes ou approchées, ici, elles seront exactes.

Dernière modification par ymagnyma (18-12-2012 11:32:23)

yoshi

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonjour,

Je te propose 2 solutions qui partent du même fil conducteur...
Peut-être y en a-t-il d'autres...
Le problème revient à chercher les solutions de l'équation :
[tex]x^3=75x-250[/tex]
donc à trouver les racines si elles existent de :
[tex]x^3-75x+250=0[/tex]
1ere méthode on factorise le trinôme ci-dessus, sans autre forme de procès.
Ça demande un peu de doigté et d'habitude (c'est un peu du "Dédé la Bricole", mais parfaitement correct...)
Donc je coupe -25x en deux :
[tex]x^3-75x+250=x^3-25x-50x-250=(x^3-25x)-(50x-250)[/tex]
Je factorise séparément chacune des parenthèses :
[tex]x^3-75x+250=x^3-25x-50x-250=(x^3-25x)-(50x-250)=x(x^2-25)-50(x-5)=x(x^2-25)-50(x-5)=x(x-5)(x+5)-50(x-5)[/tex]
Et maintenant, j'ai dégagé un facteur commun :
[tex]x^3-75x+250=(x-5)[x(x+5)-50][/tex]
Et on trouve finalement :
[tex]x^3-75x+250=(x+10)(x-5)^2[/tex]

Il y a une solution double pour x=5 ce qui correspond au point de tangence et une autre solution pour solution pour x = -5 qui est l'abscisse du point d'intersection cherché.

2e méthode. Toujours factorisation.
Sachant que tu as trouvé le point de tangence pour x=5, donc une valeur de x telle que [tex]x^3-75x+250=0[/tex], on va écrire que le 1er membre se factorise ainsi :
[tex]x^3-75x+250=(x-5)(ax^2+bx+c)[/tex]
On remarque déjà que a = 1 puisque [tex]ax^3=x^3[/tex]
On va donc chercher b et c par identification (c'est le terme consacré) des coefficients (il faut développer, réduire et ordonner le 2e membre) :
[tex]x^3-75x+250=(x-5)(x^2+bx+c)=x^3+(b-5)x^2+(c-5b)x-5c[/tex]
on en déduit b-5 = 0 ; -5c= 250
D'où b = 5 et c= -50.
On a donc :
[tex]x^3-75x+250=(x-5)(x^2+5x-50)=(x-5)(x-5)(x+10)[/tex]

@+

[EDIT]ymagygna s'est montré plus prompt...
J'ai proposé les solutions parce que je ne voyais pas trop comment guider cette personne (alors qu'elle nage) dans les méandres de ces méthodes.
Finalement, on se complète...

J'avais bien pensé à la dérivée de [tex]f(x)=x^3-75x+250[/tex]
A part les extrema pour -5 et 5, le sens de variation, j'ai pu voir que l'abscisse cherchée, via le th. des gendarmes, était dans l'intervalle [tex]]-\infty\;;-5[[/tex]...
Maigre !
alors je me suis tourné vers la factorisation...

Dernière modification par yoshi (18-12-2012 12:14:05)

stephane78

Invité

Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Merci à tous les deux.
Ce forum est génial!

yoshi

Modo Ferox

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

RE,

Tout pigé ?
C'est clair ?
Pas de zone d'ombre ?
Faudra savoir refaire, surtout via l'identification : c'est une technique très très utilisée en S...

@+

freddy

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonsoir,

de mon humble point de vue, c'est exactement la solution 2 développée par yoshi qu'on veut voir mise en oeuvre.

En effet, des équations du troisième degré sans une solution immédiate sont plutôt rares à ce niveau. Ensuite, le fait de donner une solution à vérifier permet tout de suite de factoriser comme l'a fait yoshi pour faire "tomber" le degré d'un cran, se ramenant à une équation du second degré soluble dans toutes les eaux :-).

Le cadeau ou la cerise sur le gâteau est que cette solution est racine double, et donc on déduit quasi immédiatement la troisième solution.

De la belle ouvrage !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Salut freddy,

J'aurais en fait dû être plus direct : te lire me le fait sauter aux yeux comme un coup de pied au...
Merci freddy !
J'aurais dû dire :
Point de tangence en x = 5, donc solution double, donc en fait f(x) se factorise ainsi :
[tex]f(x)=x^3-75x+250= (x+a)(x-5)^2=(x+a)(x^2-10x+25)[/tex]
Et on peut abréger le développement en se contentant d'identifier le terme indépendant :
[tex]25a=250[/tex] d'où a = 10
et la factorisation :
[tex]f(x)=x^3-75x+250= (x+10)(x-5)^2[/tex]

Et voilà !

@+

ymagnyma

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonsoir Yoshi, bonsoir Freddy.

Je regrette, (un peu jaloux c'est vrai), de n'avoir même pas pensé à la solution de Yoshi, (première version, celle qui ne parle pas de solution double qui n'est me semble-t-il pas, (plus ?), à la connaissance des 1S), car en effet, elle est un bon exercice de factorisation-identification, et elle me semble très adaptée en amont des dérivées.

Mais au moment des dérivées, la résolution problème par du l'étude des variations me semble aussi très pertinente, une bonne application, et, finalement, comme le disait Yoshi, très complémentaire. 

Bref, comme le fait remarquer Stéphane78, ce forum à le génial mérite de donner des pistes de plusieurs couleurs, et j'ajouterai, des membres très actifs et modérateurs de grande qualité.

Bonne soirée à vous.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonsoir,

Jusqu'en 2010-2011, la factorisation via identification ou la décomposition d'une fraction rationnelle était encore au programme...
En ce qui concerne le nouveau programme appliqué en 2011/2012 : je n'y ai pas trouvé mention de la méthode...
Ce qui ne veut pas forcément dire qu'elle n'est plus du programme, ni plus pratiquée, puisque pas explicitement "interdite" : l'emploi de tout ce qui n'est pas expressément interdit, aux termes de la loi française, ne peut être répréhensible. Je me suis abondamment servi de cette "jésuiterie", tout en sachant bien pourquoi, comment, dans quelles limites je le faisais !

Par contre, et je le répète, la méthode de la dérivée ne m'a permis d'aboutir : aurais-je raté quelque chose ?

@+

ymagnyma

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonsoir Yoshi.
Tu as bien raison, non au programme "minimum" comme souvent rappelé ne signifie surement pas "s'interdire" d'aller au delà.

De même, pour la méthode dérivée, elle donne juste qu'il y a exactement deux solutions, 5 et une solution inférieure à -5, ce qui donne ... beaucoup de possibilités, mais alors, on trouve la solution via la calculatrice, et, j'en suis bien conscient, c'est nettement moins "fort" (et peut-être satisfaisant), que via la factorisation, outil tellement efficace quand on le maîtrise.

Toutefois, c'est aussi dans l'esprit des nouveaux programmes que d'utiliser calculatrices et autres logiciels.

Tout en l'écrivant, je vois une réponse possible et "sèche", (je ne trouve pas le qualificatif) : dès le départ on peut utiliser un logiciel genre Xxas et lui demander de factoriser (ou de résoudre)  x^3 -75x -250 ( =0).

Ben ... oui, c'est aussi ça le nouvel esprit, et, via cet échange, on voit ce qu'on risque de perdre si en s'en contente.

Moral (?) : faire faire les deux mon capitaine ? selon l'objectif qu'on se fixe en amont.

Bonne soirée.

stephane78

Invité

Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Merci pour toutes vos explications. La méthode de Yoshi via l'identification nous a semblé la plus facile à mettre en oeuvre. Nous venons de la refaire et c'est limpide.
Quant à la méthode préconisée en 1ère S, nous n'en savons rien. Le professeur de ma fille semble donner des exercices avant d'aborder la leçon.
Je vous remercie tous. Je ne connaissais pas ce forum et je trouve là une excellente illustration des aspects positifs d'internet. Je pense revenir bientôt... Avec un vrai compte!

freddy

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Salut Stéphane78,

ta fille doit avoir un livre de math. Que dit la leçon correspondante ? Ne jamais oublier que les manuels sont bien faits et qu'une lecture attentive peut beaucoup aider !

A te relire !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonjour,

Alors moi, je suis allé consulter les bouquins correspondant aux nouveaux programmes de 1ere S...
Résultat des courses, les méthodes que j'ai proposées sont hors programme... mais l'exo aussi et dans les grandes largeurs !

On ne traite plus les polynômes comme avant, mais on se limite aux trinômes du 2nd degré : j'ai quand même vu un exercice avec un polynôme en x^4 mais c'était une fonction bicarrée...

Les limites : plus de formules, elles sont traitées de façon intuitive...

Les dérivées : il est instamment recommandé de ne pas donner d'exos demandant de la "technicité" (tiens y a de l'écho : en Collège déjà, il était recommandé de ne pas faire appel à la "virtuosité technique", et de veiller à ne donner que des nombres "fréquentables" !). Plutôt faire appel aux logiciels de calcul formel...

Plus de barycentres

Plus de Géo dans l'espace...

Mais des stats, des probas, de l'algorithmique viae logiciel AlgoBox...

En foi de quoi, si je ne peux pas procéder par Identification, sur un tel exercice, je ne vois pas comment faire à part jouer à "Dédé la Bricole" ce qui était courant en 1ere et Term de ma jeunesse, mais maintenant, ça ne se fait plus !

Je vais devoir réfléchir pour trouver une autre méthode si tant est qu'il y en ait une...

@+

ymagnyma

Membre

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Re : Détermination du point d'intersection de deux courbes

Bonsoir Yoshi, relis ton post #9, tu as raison, d'ailleurs, le post #11 de Stéphane78 te le confirme, sa fille a très bien compris la méthode.

Oui, les élèves auront à "avoir l'idée, le reflexe" d'utiliser un logiciel, en particulier pour tout ce qui serait très technique, mais pas seulement, les élèves doivent aussi être amené à chercher, à trouver des "trucs", tiens, ça ne serait pas un peu du "Dédé ma Bricole" que de se donner des trucs, peut-être pas très rigoureux a priori, mais le prof sera là, j'espère, pour ajuster, faire progresser l'intuition vers la "Bricole rigoureuse".

Ne désespère pas des programmes, on a toujours besoin d'un bon bricoleur, ne serait-ce que pour programmer ces logiciels et les rendre efficaces !

Bonne soirée.

Dernière modification par ymagnyma (19-12-2012 17:47:50)