Forum de mathématiques - Bibm@th.net

vince

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[Résolu] Fonction arccos

Bonjour,

F(x)= arccos ((1-x^2)/(1+x^2))
Je trouve qu'elle est définie su R et que sa dérivée est : 4x/(1+x^2) * 1/Racine ( 1+ ((1-x^2)/(1+x^2))^2)       est-ce la bonne dérivée si oui comment en deduit on une formule plus simple de F à partir de la formule de la dérivée de arctan??

Merci

yoshi

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Re : [Résolu] Fonction arccos

Bonjour,

1. Je trouve aussi F définie sur ]-oo ; +oo[

2. Je ne suis pas d'accord sur la dérivée. Pour moi :
[tex][arccos(u)]' = \frac {-u'}{sqrt {1 - u^2}}[/tex]
Si je pose :
[tex] u = \frac {1 - x^2}{1+x^2}[/tex]
sa dérivée u' est :
[tex]u' = \frac {-4x}{\left (1+x^2 \right)^2}[/tex]
J'en conclus donc que :
- dans la première partie de ta dérivée il manque un carré au dénominateur (simple oubli au clavier je pense)
- dans la deuxième partie il faut un - sous la racine au lieu d'un +

3. J'aurais une question complémentaire. Il est bien écrit dans l'énoncé : en déduire ?... Déduire de l'expression de la dérivée de F une expression plus simple de F en utilisant la dérivée de Arctan(x) ?
[tex][arctan(x)]' = \frac {1}{1+x^2}[/tex]
Si oui, il va falloir que je réfléchisse davantage que ce que je viens de faire...

@+

PS : j'espère que l'un de mes petits camarades, plus disponible, passera par là : il faut que je retourne à mes lambris. La suite n'est donc pas pour tout de suite

vince

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Re : [Résolu] Fonction arccos

C'est bien ca c'était un oubli!!
Si non il faut bien en deduire ... en utilisant la dérivée de arctan(u(x)) et ca je n'y arrive pas!

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Fonction arccos

Bonsoir,

J'en ai fini avec mes lambris et mes doigts sont encore intacts. J'ai donc dû prendre un stylo (quelle déchéance !...) pour faire les calculs et j'arrive à quelque chose de simple. qui l'eut cru ?
Donc ma dérivée est :
[tex]F'(x) = \frac{4x}{\left (1 + x^2 \right)^2}\;\times\; \dfrac{1}{\sqrt {1 - \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^2}}[/tex]
Alors voilà
Sous la racine, j'ai tout mis sur le même dénominateur à savoir :
[tex](1+x^2)^2[/tex]
Et là, miracle, mon numérateur prend alors une tête que je reconnais :
[tex](1+x^2)^2 - (1-x^2)^2[/tex]
à savoir une différence de 2 carrés que je m'empresse de factoriser....
La racine peut "sauter" et après simplifications, je trouve :
[tex]F'(x) = \frac{2}{1+x^2} = 2[Arctan(x)]'[/tex]
Après, ça doit être jouable...

J'espère seulement ne pas avoir fait d'erreurs de calculs. Tout peut arriver : il ne faut jamais faire confiance les yeux fermés...

Vérifie tout ça et tiens-moi au courant

@+

vince

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Re : [Résolu] Fonction arccos

Salut je te remercie beaucoup pour ton aide, je suis d'accord avec tes calculs donc ca va!!!