Terminale exercices S

Soso · 18-11-2012 11:57:24

Bonjour à tous,

je n'arrive pas à faire un exercice.

Le voici

La suite u_n est défini sur IN* par u_n= [tex]\sqrt{n+1} - \sqrt {n}[/tex]

Démontrer que, [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*,\; \frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leq U_n \frac{1}{2\sqrt{n}}[/tex]

j'ai réussi à faire l'initialisation de la réccurence mais je n'arrive pas l'étape suivante (hérédité) comment faire?

En déduire la limite de la suite.

2. La suite (v_n) est définie sur IN* par [tex]V_n= \frac {U_1+U_2+..U_n}{\sqrt{n}}[/tex]

Quelle est la limite de V_n ?

Celui là je pense pouvoir y répondre si j'arrive la 1.

Pouvez vous m'aider svp ? Merci d'avance :)

Dernière modification par yoshi (18-11-2012 15:58:14)

Choukos · 18-11-2012 14:38:22

Salut !
N'oublie pas de mettre les balises [ tex] et [/ tex] entre tes formules maths lorsque tu mets du code LaTeX :). (Inférieur ou égal c'est la commande \leq "less or equal", le symbole appartenir à c'est la commande \in et le symbole [tex]\mathbb{N}[/tex] c'est \mathbb{N}).

Je pense que tu peux faire une démonstration "directe" :
Multiplie en haut et en bas [tex]\frac{u_n}{2\sqrt{n}}[/tex] par [tex](\sqrt{n+1}+\sqrt{n})[/tex], on commence à ressembler au terme de gauche de ton inégalité. Puis [tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1}[/tex] est toujours plus grand que 1, tu peux donc écrire :
[tex]\frac{u_n}{2\sqrt{n}}\geq \frac{1}{2\sqrt{n}}[/tex]. Plus qu'un dernier effort et on obtient l'inégalité cherché !

Choukos

Dernière modification par Choukos (18-11-2012 14:40:10)

soso · 18-11-2012 14:51:52

Bonjour et merci pour votre réponse, je n'ai pas trop compris un truc

-> Pourquoi on a [tex]\frac{u_n}{2\sqrt{n}}[/tex] et pourquoi on le multiplie par u_n?

Choukos · 18-11-2012 15:49:19

Ah mince, ton énoncé n'est pas de montrer que : [tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leq u_n \frac{1}{2\sqrt{n}} [/tex] ? Ce n'est pas ce que tu as voulu écrire ? Peut être [tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leq u_n \leq \frac{1}{2\sqrt{n}} [/tex] ?

C'est plus logique comme ça je suis désolé... Si c'est bien la dernière expression que tu dois montrer, alors il faut que tu multiplies [tex]u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex] en haut et en bas par [tex]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/tex]. Ensuite tu remarques que [tex]2\sqrt{n+1}\geq \sqrt{n+1} + \sqrt{n}[/tex] tu peux en déduire l'une des deux inégalités. Pour la seconde tu procèdes de manière analogue :).

Dernière modification par Choukos (18-11-2012 15:58:31)

soso · 18-11-2012 15:52:40

Oui désolée j'ai mal écrit :S c'est bien la deuxième proposition :s

soso · 18-11-2012 16:36:40

D'accord mais juste une question (désolée d'être persitante) pourquoi je dois multiplier par [tex]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/tex]. En haut et en bas ?

Choukos · 18-11-2012 17:12:21

Re,

Je dois obtenir une inégalité avec des racines carrées au dénominateur, mais [tex]\frac{Un}{1}[/tex] n'a que des racines carrées au numérateur pour les enlever je multiplie Un par [tex]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/tex] (ça donne l'identité remarquable [tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/tex]). Pour préserver l'égalité je divise par ce que j'ai multiplié, j'obtiens une fraction avec un numérateur sans racine carrée et un dénominateur avec racine carrée, ce qui ressemble plus à ce que je dois obtenir. Pour finir il faut ensuite travailler sur ce dénominateur (je t'ai donné l'inégalité à utiliser pour l'un des cas, l'autre lui ressemble beaucoup) pour obtenir l'inégalité voulue ! :)

Dernière modification par Choukos (18-11-2012 17:17:04)

soso · 18-11-2012 17:25:59

D'acord :) je crois que j'ai compris :p mais est ce que ça marche si je fais une différence ...Je m'explique :
j'utilise la même méthode en multipliant le haut et divisant en bas par u_npuis je soutrait par\[tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}} [/tex] ?
si le résultat est positif alors un est plus petit que [tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}}[/tex] ?
si il est - alors il est plus grand que [tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}}[/tex] ?

Mais le truc c'est que je n'arrive pas à mettre sous le même dénominateur

Choukos · 18-11-2012 17:35:31

Attention, si le résultat est positif alors Un est plus grand que [tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}}[/tex] et inversement si le résultat est négatif.

Oui ça pourrait marcher, mais je crois que d'une façon ou d'une autre tu es embêtée par la présence des racines au numérateur. Autant les enlever dès le départ, l'étude devient plus simple.

soso · 18-11-2012 17:44:31

oups oui voius avez raison quand le résultat est positif Un est plus grand!
C'est je vais utiliser votre méthode ! Une question :
Comment sait on si [tex]2\sqrt{n}[/tex] est plus grand ou plus petit à [tex]\sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex]

Choukos · 18-11-2012 17:55:43

Je pense que tu voulais dire [tex]2\sqrt{n}[/tex] et [tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{n}[/tex] ?

Car il faut après multiplication en haut et en bas par [tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{n}[/tex], comparer les dénominateurs, i.e comparer [tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{n}[/tex] à [tex]2\sqrt{n}[/tex] et [tex]2\sqrt{n+1}[/tex]. En effet, ce qu'on nous demande de montrer est équivalent à montrer que :

[tex]\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\leq \frac{1}{2\sqrt{n}}[/tex]

Si c'est bien ce que tu voulais dire, tu peux écrire [tex]2\sqrt{n}[/tex] comme étant égal à :

[tex]\sqrt{n}+\sqrt{n}[/tex], sous cet forme il est plus facile de le comparer à [tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{n}[/tex]

De la même façon [tex]2\sqrt{n+1}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}[/tex] que tu peux ainsi facilement comparer à [tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{n}[/tex]

Dernière modification par Choukos (18-11-2012 18:02:16)

soso · 18-11-2012 18:03:13

D'accord , merci^^

Je peux enfin passer à la question suivante

La limite de U[tex]n[/tex] est 0 ?
vu que les deux fractions tendent vers 0
?

Choukos · 18-11-2012 18:05:15

Oui c'est bien ça :).

soso · 18-11-2012 18:14:39

Ahhhh merciii :-)
Et la limite de vn c'est une forme Indéterminé du type infini sur infi
On factorise par [tex]\sqrt{n}[/tex]mais apres je ne vois pas trop :S avec le[tex]\sqrt{n+1}[/tex],

Choukos · 18-11-2012 18:20:35

Re,
Oui c'est apparemment une forme indéterminé, mais on peut déjà simplifier un peu l'expression :
Essaye d'écrire explicitement [tex]V_3[/tex] et [tex]V_4[/tex], que remarques-tu sur le numérateur ? Que peux-tu en conclure sur [tex]V_n[/tex] ?

soso · 18-11-2012 18:27:06

Hum

[tex]V_n= \frac{U_n}{\sqrt{n}}[/tex] ?

Mais d'après mon intuition je peux dire que vn est constante ....

Dernière modification par yoshi (18-11-2012 23:13:49)

Choukos · 18-11-2012 18:37:35

Ni l'une ni l'autre ! As-tu essayé d'écrire [tex]V_3[/tex] et [tex]V_4[/tex] en remplaçant [tex]U_1,U_2,U_3 [/tex](et [tex]U_4[/tex]) par leurs expressions ? Qu'obtiens-tu ?

Dernière modification par Choukos (18-11-2012 18:38:23)

yoshi · 19-11-2012 13:53:28

Bonjour

@soso : je ne vais pas passer indéfiniment derrière toi pour corriger ton code LaTeX...
1. Les ménomniques Latex sont précédées d'un anti-slash \ pas d'un slash /,
2. Celle de la fraction est \frac{}{} et non /fracq{}
3. Celle de la racine carrée est \sqrt et non /squart
4. L'indice n de Vn est ontenu par V_n -->[tex]V_n[/tex]
5. Appartient à c'est \in --> [tex]\in[/tex]
6. Quel que soit c'est \forall --> [tex]\forall[/tex]
7. Pour obtenir les noms des ensembles : [tex]\mathbb{N}, \;\mathbb{Z}, ...,\mathbb{R}, \mathbb{C}[/tex] c'est :
\mathbb{N}, \;\mathbb{Z}, ...,\mathbb{R}, \mathbb{C}
8. Le code LateX ne fonctionne que s'il est entouré des balises tex :
- On tape la formule,
- On la sélectionne,
- On clique sur le 1er icône à gauche de la barre d'outils de rédaction des messages...

Peux-tu y penser la prochaine fois, s'il te plaît ?

Merci d'avance,

@+

soso · 19-11-2012 22:05:51

Bonsoir à tous,

Ni l'une ni l'autre ! As-tu essayé d'écrire V_3 et V_4 en remplaçant U_1,U_2,U_3 (et U_4 ) par leurs expressions ? Qu'obtiens-tu ?

Les termes s'annulent et ça me donne un truc constant ? Mais je crois que je vais laisser cette question! Merci pour votre aide Choukos !

: je ne vais pas passer indéfiniment derrière toi pour corriger ton code LaTeX...

Oops désolée c'est la première fois que j'utilise le code Latex, mais je ferrai attention la prochaine fois...promis !

Bonne soirée à tous

freddy · 20-11-2012 12:06:24

Salut,

ce problème est simple mais très mal écrit.

En réalité, la suite[tex] (u_n)[/tex] converge vers 0 (suite positive et décroissante) et la question posée est fausse (l'encadrement laisserait entendre que la suite convergerait vers 1 ?!?)

Je n'ai pas encore regardé la suite [tex](v_n)[/tex] ...

freddy · 20-11-2012 12:17:54

Re,

en regardant le second sujet, on a [tex]v_n = \frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n}}[/tex]
et [tex]\lim_{n \to +\infty} v_n = 1[/tex].

Bis bald !

Choukos · 20-11-2012 20:27:43

Re,
C'est dommage que tu aies arrêté, je pense que si tu avais ré-écris [tex]V_4[/tex] et [tex]V_3[/tex] correctement tu aurais pu deviner / reconnaître le résultat de Freddy pour [tex]V_n[/tex], car comme tu l'as surement noté au vu de ta remarque, on a "télescopage" de la plupart des termes. On n'obtient pas une constante, car il reste deux termes, le -1 et le [tex]\sqrt{n+1}[/tex], mais bien l'expression de Freddy.

Tant pis, à une prochaine fois !

Choukos

Dernière modification par Choukos (20-11-2012 20:38:52)

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