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soso

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réccurence

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre cet exo .

La suite (un) définie sur l'ens. des entiers naturels par: un= 40 ⁿ /n!

Calculer un+1/un et en déduire le sens de variation de la suite. La suite converge t elle ?

(40 ⁿ⁺¹ /(n+1)!)/40n/n!
=40*ⁿ!/(n+1)!
=40/(n+1)
comme 40 est contant et n+1>1 alors la suite est stric. croissante
La suite converge en 40

Ecrire un algorithme qui affiche le plus petit rang n0 pour lequel n0!>41n0. Trouver n0.

Montrer que pour tt n > n0, un>(40/41)n
Je sais qu'il faut utiliser la réccurence

Merci d'avance

ymagnyma

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Re : réccurence

Bonjour, je ne suis pas bien ton calcul, il est vrai qu'utiliser LateX peut s'avérer utile ; pour autant, le résultat [tex]\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{40}{n+1}[/tex] est bon.

Ta conclusion est en revanche fausse, je te conseille de toute façon de "regarder cette suite", via ta calculatrice ou un tableur, mais que fait [tex]\frac{40}{n+1}[/tex] quand n tend vers l'infini ? Déjà, comment est ce rapport dès que n supérieur ou égal à 41 ?

Et donc, comment est la suite pour n > 40 ? (Pour le départ, on s'en fiche, on cherche si la suite converge.

Peut-être as-tu déjà vu ça avec ta phrase "la suite converge en 40", mais cette phrase ne veut rien pas dire grand chose.

Pour l'algorithme, tu vois ou bien tu coinces ?
Remarques : vu la question, un tableur peut faire l'affaire
                     je suppose qu'il faut trouver [tex]n_0[/tex] tel que [tex]n_0 ! > 41^{n_0}[/tex] (il me semble qu'il manque la puissance dans ton texte
                     sur tableur, factoriel n s'écrit fact(n). (Je trouve sans algorithme [tex]n_0=109[/tex])

Pour la récurrence, qu'est ce qui t'empêche de l'écrire ?

Notons [tex](P_n)[/tex] la propriété : pour tout entier [tex]n >= n_0[/tex], u_n > (40/41)n, à mon avis, c'est plutôt [tex]u_n< (\frac{40}{41})^n[/tex].

Montre [tex]P_{n_0}[/tex], puis, pour [tex]k>=n_0[/tex], [tex]P_k implique P_{k+1}[/tex] et conclus.

Bon courage.

Dernière modification par ymagnyma (18-11-2012 13:44:08)

Soso

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Re : réccurence

Bonjour et merci beaucoup pour votre réponse !!

Ta conclusion est en revanche fausse, je te conseille de toute façon de "regarder cette suite", via ta calculatrice ou un tableur, mais que fait [tex]\frac{40}{n+1}[/tex] quand n tend vers l'infini ? Déjà, comment est ce rapport dès que n supérieur ou égal à 41 ?

Et donc, comment est la suite pour n > 40 ? (Pour le départ, on s'en fiche, on cherche si la suite converge.

Quand n tend vers l'infini [tex]\frac{40}{n+1}[/tex] s'approche de plus en plus de 0. Elle est décroissante? (ça métonne un peu vu que [tex](\frac{40^n}{n!})[/tex] est strictement croissante...)
Donc la suite converge en 0?

Pour l'algorithme, tu vois ou bien tu coinces ?

  Oui je ne comprends pas trop comment m'y prendre. Il faut le programmer sur la calculatrice...

Pour la récurrence, qu'est ce qui t'empêche de l'écrire ?

c'est l'inégalité j'ai toujours appliquer la réccurence pour une égalité ..

ymagnyma

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Re : réccurence

Quand n tend vers l'infini [tex]\frac{40}{n+1}[/tex] s'approche de plus en plus de 0. Elle est décroissante? (ça métonne un peu vu que [tex](\frac{40^n}{n!})[/tex] est strictement croissante...)
Donc la suite converge en 0?

Justement, dès que n >40 , la suite décroit puisqu'alors, [tex]u_{n+1}<u_n[/tex] et comme on a même[tex] 0<u_{n+1}<u_n[/tex], la suite est décroissante à partir de n=41 et minorée par 0, donc elle converge. La question, et c'est le but de la dernière question, c'est vers quoi.

Pour l'algorithme, tu peux par exemple, programmer un "tant que", "while" je crois sur calculatrice, vois éventuellement sur internet, selon ton modèle, recherches boucle tant que avec casio ou avec ti.

Tant que quoi ? Tant que [tex]n!<41^n[/tex], faire quelque chose.
C'est l'idée. Comme tu veux savoir quand le tant que s'arrête, créer aussi un compteur K.

Donc, tu initialises K à 0 et n à 0.
Tant que n! <41^n, k prend la valeur K+1.
Fin du tant que.
afficher K.

Quelque chose dans ce genre là doit fonctionner. Je ne sais jamais s'il faut afficher K ou K+1.

Remarque, vu la taille des nombres à comparer, je ne suis pas sur que la calculatrice l'accepte, d'où aussi l'idée d'utiliser le tableur, plus rapide pour cette question, même si l'intention est sans doute de te faire écrire un algorithme.

Pour la récurrence, ça ne change pas grand chose d'avoir une égalité ou une inégalité, c'est parfois plus commode de travailler avec une inégalité.

Pour que se soit plus simple, tu peux prouver par récurrence que, pour [tex]n>=n_0[/tex], si [tex]n! >41^n[/tex], alors [tex](n+1)!>41^{n+1}[/tex].
(ça marche parce que [tex]n_0>=41[/tex])
Si cette relation est prouver alors, la réponse à la dernière question est quasi immédiate.

Indication : (qui me semble un bon point de départ), [tex](n+1)!=(n+1) . n![/tex]
alors, via l'hypothèse de récurrence ...

Dernière modification par ymagnyma (18-11-2012 15:12:25)

soso

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Re : réccurence

Je n'arrive pas à programmer l'algorithme sur la calculatrice :/

ça m'affiche pas n₀

Dans votre algorithme que désigne k ? un nombre réel ? ou entier ?

Pour la réccurence je n'arrive pas la première étape: l'initialisation

n=1
u₁=40
et ce n'est pas plus petit que [tex](\frac{40}{41})^n[/tex]
Merci d'avance!

Dernière modification par soso (18-11-2012 16:07:14)

ymagnyma

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Re : réccurence

Je te conseille le doc suivant, en particulier à partir de la p.15

http://mathsfg.net.free.fr/2nde/2nde200 … s-2nde.pdf

Tu n'as plus qu'à adapter à ta suite.

K est un compteur, donc un entier. Regarde bien ce que j'avais écrit : K prend la valeur 0, puis, à chaque boucle, K prend la valeur K+1.

K compte le nombre de boucles effectuées entre le début et la fin du "tant que".

ymagnyma

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Re : réccurence

Pour la récurrence, la propriété est valable pour [tex]n>=n_0[/tex], (en fait, l'hérédité est valable dès que [tex]n>=41[/tex]).

Tu ne peux donc pas commencer à n=1, mais [tex]n=n_0[/tex]. Et, par définition de [tex]n_0[/tex], [tex](P_{n_0})[/tex] est vraie.

Pour l'hérédité, suis mon indication du post #4.

soso

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Re : réccurence

Voici ce que j'ai fait pour l'algorithme:

0->0
k->0
While n!<41^n
k+1->K
EndWhile
Disp K
Endprgm
Et ça m'affiche 41 :/

Pour la réccurence
Mais si je commence avec n₀ ce ne sera pas bon pour l'initialisation de la récurrence

Initialisation : n=o
u₀= [tex] \frac{40^0}{0!}=\frac{1}{0}[/tex] Ce qui est impossible :S
merci !

ymagnyma

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Re : réccurence

ça à l'aire d'être une bonne programmation, sauf la première ligne, (erreur de frappe ?), n-->0, ce qui m'étonne, c'est le résultat ...
parce que 41 ! = 41 * 40 * 39 * .... * 2 * 1
et         41^41 = 41 * 41 * 41 * 41 ... * 41 * 41
Autrement dit, je vois ci-dessus que tous les facteurs de 41^41 sont plus grands, (dont un seul égal à), que les facteurs de 41 !

Donc, 41 ! n'est pas plus grand que 41^41.

Par ailleurs, le tableur  me donne n = 109

ymagnyma

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Re : réccurence

Pour l'initialisation, tu ne dois pas prendre systématiquement n = 0.
L'initialisation, c'est trouver un n pour lequel la relation est vraie. Le calcul de n_0, via l'algorithme ou le tableur, permet de trouver un tel n et donc de pouvoir initialiser la propriété.

D'ailleurs, l'initialisation est donc, à mon avis pour n_0=109, alors que l'hérédité fonctionne dès n= 41, (donc aussi pour pour tout n >= 109).

soso

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Re : réccurence

oui c'est une erreur de frappe ^^ :)
Oui je trouve ça sur ma calculatrice :/

soso

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Re : réccurence

Je ne suis plus pour la réccurence :S je crois que je vais m'arreter là

ymagnyma

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Re : réccurence

Ok, je viens de le faire à la calculatrice, et comme je le pensais, ça bug, c'est trop lourd.

Dans ton programme, il faut commencer avec N=1 et K=1, (en fait, le K ne sert finalement à rien, tu peux t'en passer).

ça donne
1--> N
while N! < 41^N
N+1 --> N
whileend
afficher N

et chez moi, ça bug

Pour la récurrence, tu as juste l'hypothèse de récurrence à utiliser dans l'indication, c'est à dire, "contrôler" le n! par 41^n

Bonne soirée, mais tout est là, sous tes yeux. Courage.

Dernière modification par ymagnyma (18-11-2012 17:28:10)

soso

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Re : réccurence

Merci beaucoup je vais lire tout cela à tête reposé !

Belle soirée!  ! :-)

soso

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Re : réccurence

youuuuhouuu j'ai trouvé le résultat avec la calculatrice *-*
juste une petite question concernant le programme pourquoi on a n+1->n ?

Merci beaucoup

ymagnyma

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Re : réccurence

ben de rien et  bravo, quel modèle de calculatrice ; et obtiens-tu bien 109 ?

Le N+1--> N pour que N s'incrémente de 1 en 1,
au début, N=1, le programme effectue le test, si c'est vrai il augmente N de 1, sinon, il s'arrête puis affiche N.

Bonne soirée.

soso

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Re : réccurence

j'ai une TI :) Bonne soirée et merci encore !!!

ymagnyma

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Re : réccurence

ben zut, avec l'émulateur TI, ça coince à 63, (ce qui ne m'étonnes pas vraiment). Si pour toi ça marche, tant mieux.
Bonne soirée.