Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Hauvel

Invité

DM 2nde, Geometrie.

On considére ABC un triangle quelconque, le point A' est le milieu de [BC], le point B' est le milieu de [AC] et le point C' est le milieu de [AB]. Les trois mediatrices du triangle ABC se coupent au point O. On veut demontrer que les trois mediatrices de ABC sont les trois hauteurs du triangle A' B' C'.

                  1) Tracer une figure ( c'est fait )
                  2)Démontrer que (B' C') est paralleles à (BC). En deduire que la mediatrice de (BC) est la hauteur issue de A' du triangle A' B' C' .
                  3) D'une facon analogue demontrer que la mediatrice de [AC] est la hauteur issue de B' du triangle A' B' C'.
                   4) Conclure.

Voila, j'ai beaucoup de mal a resoudre cet exercice, merci d'avance de l'aide que vous pourrez m'apporter.

invité2012

Invité

Re : DM 2nde, Geometrie.

Bonjour,

Il faut utiliser la réciproque du théorème de Thalès.

Voici la réponse pour la question 2):

2) On a [tex]\frac{AC^{\prime}}{AB} = \frac{A B^{\prime}}{AC} = \frac{1}{2}[/tex] car [tex]C^{\prime}[/tex] est le milieu de [tex][AB][/tex]. Donc, par la réciproque du théorème de Thalès, (B'C') est parallèle à (BC).

Ensuite il faut que tu montres que la médiatrice de (BC) est perpendiculaire à (B'C'). C'est vrai car (B'C') est parallèle à (BC), et la médiatrice de (BC) est perpendiculaire à (AB), par définition d'une médiatrice.   

La question 3) se traite de la même façon, et la question 4) se déduit immédiatement des autres questions.

invité2012

Invité

Re : DM 2nde, Geometrie.

Oups une erreur et un oubli dans mon message.

Je parle de la médiatrice à (BC) qui est perpendiculaire à (BC) et non à (AB)

Par ailleurs, on a [tex]\frac{AB^{\prime}}{AC} = \frac{1}{2}[/tex] car B' est le milieu de AC.

Désolé du double post.

hauvel

Invité

Re : DM 2nde, Geometrie.

D'accord,c'est fait ! Merci beaucoup !

hauvel

Invité

Re : DM 2nde, Geometrie.

mais cela  ne demontre pas que c'est une hauteur issue de A' ??

invite2012

Invité

Re : DM 2nde, Geometrie.

La médiatrice de (BC) passe par A' milieu de [BC] et est perpendiculaire à (BC) (définition d'une médiatrice). De plus, on a montré que la médiatrice de (BC) est perpendiculaire à (B'C'). Donc par définition d'une hauteur d'un triangle, c'est la (et pas une) hauteur issue de A' du triangle A'B'C'.