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vrouvrou

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géométrie

Salut,

je bloque sur cet exercice :
soit ABCD un rectangle, pour tout point M de (AB) différent de B, la droite (CM) coupe (AD) en N, on pose I le milieu de [MN].
Le but est de déterminer l’ensemble des points I quant M passe sur tout(AB)
on considère  le repère orthogonal [tex](A,\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AD})[/tex] , t est l'abscisse de M
1) trouver l'abscisse de I .
2) déduire que l'ensemble des points est la courbe dont l'équation est: [tex]y= \frac{x}{2x-1}[/tex]

s'il vous plait

merci

Fred

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Re : géométrie

Salut Vrouvrou,

  Qu'as-tu trouvé pour l'abscisse de I?
J'anticipe ta réponse éventuelle : "Je n'ai pas su faire la question".
Dans ce cas, "FAIS UN DESSIN" (je sais, je crie), et réponds successivement aux questions :
quelle est l'abscisse de M?
quelle est l'abscisse de N?
quelle est l'abscisse de I?

F.

vrouvrou

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Re : géométrie

l'abscisse de M est t
en utilisant Thales j'ai trouvé que l'abscisse de I est t/2
mais j'ai oublier comment trouvé N
merci

ymagnyma

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Re : géométrie

Bonjour Vrouvrou. Es-tu bien sûr que c'est en utilisant le théorème de Thalès que tu as obtenu [tex]x_I[/tex] ?
Rappels : dans n'importe quel type de repère, si [tex]I(x_I , y_I)[/tex] est le milieu de [tex][MN][/tex], avec [tex]M(x_M , y_M)[/tex] et [tex]N(x_N , y_N)[/tex], on a :
[tex]x_I=\frac{x_M+x_N}{2}[/tex]  et [tex]y_I=\frac{y_M+y_N}{2}[/tex].

En revanche, pour N, plus particulièrement pour [tex]y_N[/tex], et donc pour [tex]y_I[/tex], le théorème de Thalès peut s'avérer utile.

Bon courage, mais ce n'est pas sorcier non plus, vérifie bien que les trois cas qui peuvent se présenter peuvent-être résumés en un seul.

yoshi

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Re : géométrie

B'soir,

vérifie bien que les trois cas qui peuvent se présenter peuvent-être résumés en un seul.

Pour cela le plus sûr moyen est de passer par les vecteurs et je moque du cas de figure...
Petit rappel :
Dans le repère [tex](A,\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AD})[/tex], si on a un point F tel que
[tex]\overrightarrow {AF}=a.\overrightarrow {AB}+b.\overrightarrow {AD}[/tex]  alors ses coordonnées sont F(a ; b)...
C'est là dessus que je m'appuierais pour calculer les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow {CM}[/tex] (en fonction de t grâce à la relation de Chasles) dans le repère considéré ...
Puis j'en déduirais l'équation de la droite (CM) (avec t comme paramètre) et sachant que l'équation de (AD) est [tex]x = 0[/tex], cela me permettrait d'obtenir l'ordonnée de D en fonction de t et donc celles de I en fonction de t...
Après, ce n'est plus trop difficile...

@+

PS
Les programmes ont sacrément évolué...
Je me souviens avoir enseigné en 3e, le calcul de l'équation d'une droite (AB) dans le repère orthonormé [tex](O, \vec i, \vec j)[/tex] à partir des coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow {AB}[/tex] par la technique dite du "point baladeur" et la condition de parallélisme"...
Bien sûr, le repère était orthonormé, et il n'y avait pas de paramètres...

vrouvrou

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Re : géométrie

Bon il est claire que pour [tex]x_{I}= t/2[/tex]  maintenant pour [tex]y_{I}[/tex] : j'ai utiliser Thales j'ai trouver que [tex]y_{I} = y_{N}/2[/tex] , mais j'arrive pas a trouver [tex]y_{N}[/tex]
s'il vous plait je fait comment ?
merci

Dernière modification par vrouvrou (01-11-2012 21:45:50)

Fred

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Re : géométrie

Salut,

  Tu connais les coordonnées de M, celles de C, tu peux trouver l'équation de la droite (CM).
On connait une équation de la droite (AD). N est le point d'intersection de ces deux droites....
F.

yoshi

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Re : géométrie

Re,

Il y a peut-être d'autres moyens de procéder.
Je te propose celui qui me paraît le plus simple et le plus linéaire (je viens de le faire).
1. Exprimer [tex]\overrightarrow{CM}[/tex] en fonction de [tex] \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AD}[/tex]
2. En déduire les coordonnées de [tex]\overrightarrow{CM}[/tex] dans le repère donné
3. Prendre un point "baladeu" P(x ; y) et écrire les coordonnées [tex]\overrightarrow{CP}[/tex]
4. Ecrire la condition de colinéarité des 2 vecteurs [tex] \overrightarrow{CM} \text{ et } \overrightarrow{CP}[/tex] te permettra d'obtenir l'équation de (CM). Tu peux aussi appliquer la formule donnant l'équation d'une droite connaissant les coordonnées d'un vecteur directeur.
4. Résoudre le système [tex]\begin{cases} f(x,y)&=0\\x&=0\end{cases}[/tex]
    où f(x,y) = 0 est l'équation de (CM) et x = 0 celle de (AD)
5. Nanti des cordonnées de N, déduis-en celles de I qui seront exprimées en fonction de t...
6. Pour chacune des coordonnées, écris t en fonction de x et t en fonction de y (x et y coordonnées de I)
7. Tu en déduis y en fonction de x et tu tombes sur la formule demandée...

Yapluka ! ^_^

@+

vrouvrou

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Re : géométrie

ah oui ! , mais comment trouver [tex]x_{B}[/tex] (j'ai trou de mémoire , ne me crié pas dessus s'il vous plait )

Fred

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Re : géométrie

Je te rappelle que [tex](A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})[/tex] est le repère dans lequel tu travailles!

Donc l'abscisse de B est....

vrouvrou

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Re : géométrie

1 ?

yoshi

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Re : géométrie

Re,

Bin oui, que veux-tu que ce soit d'autre ?
[tex]\overrightarrow{AB}= 1.\overrightarrow{AB}[/tex] non ?

Et au passage... dire que l'abscisse de M est t équivaut à dire que [tex]\overrightarrow{AM}= t.\overrightarrow{AB}[/tex]   !!!

@+

vrouvrou

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Re : géométrie

donc A(0,0) B(1,0) D(0,1) et C(1,1)

vrouvrou

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Re : géométrie

pas (1,1) parce que c'est un rectangle pas un carrée

yoshi

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Re : géométrie

Re,

Si  ! C(1;1) ! Ne raisonne pas en orthonormé, ici le repère est orthogonal...

Les vecteurs unitaires y sont [tex]\overrightarrow{AB} \text{ et }\overrightarrow{AD}[/tex] :
carré ou rectangle, tu as quand même [tex]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=1.\overrightarrow{AB}+1.\overrightarrow{AD}[/tex]

@+

yoshi

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Re : géométrie

Bonsoir et bonne nuit...

J'arrête là pour ce soir.

Demain sera un autre jour.

@+

vrouvrou

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Re : géométrie

Bonjour,
voila j'ai :1)[tex]\displaystyle \overrightarrow{CM}=\displaystyle \overrightarrow{CB}+\displaystyle \overrightarrow{BM}=-\displaystyle \overrightarrow{AD}+\displaystyle \overrightarrow{BM}=-\displaystyle \overrightarrow{AD}-\displaystyle \overrightarrow{AB}+\displaystyle \overrightarrow{AM}=-\displaystyle \overrightarrow{AD}+(t-1)\displaystyle \overrightarrow{AB}[/tex]
2): [tex]\displaystyle \overrightarrow{CM}(t-1;-1)[/tex]
3):[tex](CM): -x +(1-t)y+t=0[/tex]
4):la solution du système : x=0 et y=t/t-1
donc  les coordonnées de N(0,t/t-1) ,puis les coordonnées de I(t/2, t/2(t-1))

Dernière modification par vrouvrou (02-11-2012 09:22:15)

vrouvrou

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Re : géométrie

soit I(x,y) ,x=t/2
donc t=2*x et t/2(t-1) =y
donc t=2y/2y-1 puis y=x/(2x-1)
et comme ça on déduit que l'ensemble des points I est la courbe[tex] (\Gamma)[/tex] qui a pour équation y=x/2x-1

Dernière modification par vrouvrou (02-11-2012 09:21:11)

vrouvrou

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Re : géométrie

grand grand merci a yoshi,ymagnyma et a Fred bien sure

yoshi

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Re : géométrie

Bonjour,

Clap ! Clap ! Clap !

@+