[Résolu] Probleme avec une fonction!!!

mesosauraliza · 31-10-2006 20:44:39

Bonsoir,

Soit la fonction f(x)=(1+ 1/x) ^x (la fonction ne parait pas compliqué mais je boque sur certains trucs!!!!) :
j'ai un probleme pour montrer que pour tout x appartenant à Df (le domaine de definition) f'(x)>0 (je ne la trouve pas toujours positive alors que je le devrai!!!!!)

Remarque: j'ai trouvé que l'ensemble de definition est [tex]]-infty;-1[ \cup ]0;+infty[[/tex] et je dois aussi calculer les limites aux bornes de ce domaine mais je ne suis absolument pas sur de la limite en -infini est-elle bien egale à 1???????!!!

En conclusion on peut dire que la fonction est croissante sur Df?

Merci de votre aide...

mesosauraliza · 31-10-2006 20:47:32

f(x) = ( 1 + 1/x ) ^x

mesosauraliza · 01-11-2006 10:50:08

Personne ne peut m'aider!??

yoshi · 01-11-2006 17:08:33

Bonsoir,

Pour que quelqu'un puisse t'aider, encore faut-il qu'il soit en ligne ;) et de plus aujourd'hui 1er novembre est un jour particulier...

Bien revenons-en à ton problème : comment as-tu calculé ta dérivée ? parce qu'il y a x en variable et x en puissance et ça demande si mes souvenirs sont exacts un traitement particulier...

A te lire

mesosauraliza · 01-11-2006 18:03:20

Bonsoir excuse moi j'avais oublié quel jour nous etions!!!!

Si non j'ai calculé "normalement" ma dérivée (je ne connais pas le traitement particulier! ) donc j'obtiens un truc assez compliqué f'(x)= - 1/x . (1+ 1/X)^(x-1) !!!! donc apres ca j'ai forcement des difficultés pour faire mon tableau de variation.

yoshi · 01-11-2006 19:10:52

Bonsoir,

Je cherche depuis tout à l'heure désespérément confirmation de mes calculs, en vain...
Prenons par exemple :
[tex](a^x)'[/tex]
Je ne crois pas, et il faudrait que quelqu'un qui pratique ce type de calculs tous les jours passe par là et infirme ou confirme, parce que là, je "marche sur des oeufs" (Ca fait un bail !), que l'on puisse dériver "normalement". Pour moi :
[tex](a^x) = e^{ln(a^x)}= e^{xln(a)}[/tex]
Sa dérivée est donc :
[tex](a^x)'= [e^{ln(a^x)}]'= [e^{xln(a)}]'= ln(a)e^{xln(a)}=ln(a)a^x[/tex]
Donc, moi j'ai traité ta satanée fonction de cette façon :
[tex][(x + {1 \over x})^x]' = [e^{ln(x + {1 \over x})^x}]'[/tex]
Soit
[tex][(x + {1 \over x})^x]' = [e^{xln(x+{1 \over x})}]'[/tex]
Et là je suis ramené comme tout à l'heure à :
[tex](e^u)' = u'e^u[/tex]
Et ici je me trouve donc avec :
[tex][(x + {1 \over x})^x]' = [{xln(x+{1 \over x})}]'[e^{xln(x+{1 \over x})}][/tex]
ou encore :
[tex][(x + {1 \over x})^x]' =[{xln(x+{1 \over x})}]'(x + {1 \over x})^x[/tex]

(Impossible à écrire sans Latex !..)

Je reconnais que tout ça me paraît bien compliqué, mais je vois pas d'autre solution, et j'arrive sur un produit de termes toujours postifs...
Alors qu'effectivement ta dérivée est soit négative, soit positive.
J'ai tracé la courbe avec un grapheur téléchargé sur le net : il y a deux asymptotes x = -1 et [tex]y \approx 2,7[/tex]
J'ai vu une branche"d'hyperbole" entre -oo et -1, puis il y a redémarrage de la courbe en (0 ;1) avec une sorte de morceau d'exponentielle

Qu'en penses-tu ?

mesosauraliza · 01-11-2006 21:12:25

En ce qui concerne la courbe j'ai trouvé la meme chose.
Pour ton calcul ca me parait juste mais aussi tres compliqué!!!Je vais essayé de faire comme ca sauf si quelqu'un entre deux trouve plus simple.
Je te remercie beaucoup de ton aide.

yoshi · 02-11-2006 10:22:12

Bonjour,

J'ai une confirmation.
Apparemment, d'après mon beau-frère, Prof de Maths en Lycée, c'est bien comme cela qu'il faut faire : mes souvenirs ne sont (seraient ?) donc pas si mauvais que cela.
C'est dur "d'être et d'avoir été"... Mais là, on sombre (?) dans la philosophie !
Maintenant, ce n'est pas que je doute encore, mais j'aimerais bien une confirmation supplémentaire. Ohé J2L2, Galdinx, John, ApHo, Ybebert... ? Passez-vous par là ?

Tu n'as donc "plus" qu'à dériver maintenant le morceau :
[tex]xln(x+{1 \over x})[/tex]

@+

galdinx · 03-11-2006 02:02:15

Bonsoir,

effectivement Yoshi le traitement, quelqu'il soit des fonctions de la forme a^x doit impérativement (sauf car particuliers a tes risques et périls) passer par l'écriture exp(x*ln(a)).
Une fois écrite comme cela, il suffit d'utiliser la formule de dérivation des fonctions composées : (f°g)'=g'*(f'°g)

ici g(x)=x*ln(a) donc g'(x)=ln(a) et f(u)=exp(u) donc f'(u)=exp(u)
ainsi (a^x)'= [exp(x*ln(a))]'=ln(a)*exp(x*ln(a))=ln(a)a^x

Ton beau-frère et toi avez de bons souvenirs^^

mesosauraliza · 06-11-2006 17:17:59

Bonjour,
J'ai encore un probleme!!!Je trouve que la derivée de x.ln(x+ 1/x)= ln (x + 1/x) + x((1- 1/x^2) (1/ (x+1/x)))
mais lorsque je fais mon tabeau de signe je ne la trouve pas positive sur mon ensemble de definition.
Pouvez vous m'aider a detailler cette derivée svp?

Merci.

yoshi · 06-11-2006 18:04:35

Bonsoir,

Si je pose :
[tex]g(x) = xln(1+ {1 \over x})[/tex]
alors ma dérivée est ;
[tex]g'(x) = ln(1+ {1 \over x})-\frac 1 {x+1}[/tex]
Si je trace avec mon grapheur la courbe répondant la formule ci-dessous, elle est toujours au dessus de l'axe des abscisses.
Et
[tex](1 + {1 \over x})^x>0 \;\forall x[/tex]appartenant au domaine de définition.
Le produit de deux positifs est positif...
Je pose :
[tex]u =x\; \text et v = ln(1+ {1 \over x})[/tex]
u' = 1
Avec :
[tex]v'=[ln(w)]' = {w' \over w} = \frac {-{1 \over x^2}} {{x+1} \over x}[/tex]
J'ai écrit le w, c'est à dire 1 + 1/x, sous la forme (x + 1)/x afin de pouvoir simplifier après...

Voilà.
Cela correspond-t-il à tes calculs ?

mesosauraliza · 06-11-2006 18:13:26

c'est ce que j'ai fait mais le probleme c'est que je n'arrive pas a montrer que v' est positive

mesosauraliza · 06-11-2006 18:19:17

V= ln (x + 1/x )

galdinx · 06-11-2006 18:35:47

Bonsoir,

Voici quelques RAPPEL car je suppose très fortement qu'ils soient dans ton cours sur la dérivation ; les dérivées des fonctions suivantes sont:
d(x)/dx = 1
d(1/x)/dx = -1/x²
d(ln(x))/dx = 1/x
d(f(x)+g(x))/dx = d(f(x))/dx + d(g(x))/dx
d(f(g(x)))/dx=d(g(x))/dx * (d(f)/dx)(g(x))

Je pense que ces 5 formules te permettent largement de calculer la dérivée de V.

A ++

mesosauraliza · 06-11-2006 18:41:06

le probleme n'est pas le calcul la derivée (voir au dessus) mais son signe.

galdinx · 06-11-2006 19:02:21

Autant pour moi désolé,

v'(x) = (x-1)(x+1)/((x(x²+1))

x²+1 étant toujours positif on teste le reste

donc en faisant un tableau de signe on trouve que que v' est positive sur [-1;0[ et sur [1,+infini[ ; est-ce que ca correspond a ton intervalle de définition??

mesosauraliza · 06-11-2006 19:07:55

bah non c'est ca le probleme j'ai trouvé un autre intervalle de définition voir premier message stp

yoshi · 06-11-2006 20:19:14

Bonsoir,

Ton domaine doit être le bon...
Je vais travailler sur l'intervalle ]-oo ; -1[
Sur cet intervalle x + 1 <0 et x <0 donc (x + 1)/x >0 donc le ln existe...
Mais ln(u) <0 si 0<u<1
C'est ça qu'il faut tester...
Et on a bien (x + 1)/x >1 qqst x
Donc ici, on a bien :
[tex]ln(1 + {1 \over x})>0[/tex]
Reste le cas de :
[tex]{-{\frac 1 {x+1}}}[/tex]
avec ce qui précède on sait que c'est aussi postif.
La somme de deux positifs est positive...
Reste encore à traiter [0 ; +oo[...
Là, je n'ai plus le temps : des résultats à enregistrer, des punitions pour leçons non sues à noter, et un tirage sur les fractions...
Pas sûr donc que j'aie le temps de "remettre le couvert"...
Avec le grapheur, j'ai vérifié que :
[tex]ln(1 + {1 \over x})> \frac 1 {x +1}[/tex]
Et c'est bien le cas...

L'un de mes petits camarades va sûrement t'éclairer si toutefois tu ne t'en sortais pas..

Bonne chance.

Fred · 06-11-2006 20:51:32

Bonsoir,

Je n'ai pas suivi le reste de la discussion mais je peux aider pour le dernier point.
Si u(x)=ln(1+1/x)-1/(x+1), on peut étudier u pour x>0 en la dérivant à nouveau.
Sauf erreur, en ecrivant ln(1+1/x)=ln(x+1)-ln(x), la dérivée est
u'(x)=-1/x(x+1)-1/(x+1)^2 qui est négatif...
u est décroissante sur ]0,+oo[, et comme sa limite en +oo est 0, u est positive...

A bientôt

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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