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totomm

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Aire minimale dans un carré

Bonjour,

Pour raviver les problèmes tarabiscotés mais rigoureusement définis :

Soient un carré ABCD de 2 cm de coté, E le milieu du segment AD et F celui du segment BC
Soit l'ensemble [tex]\mathcal{L}[/tex] des droites qui coupent les segments AB et CD
Soit l'ensemble [tex]\mathcal{E}[/tex] des points du rectangle CDEF situés sur au moins une des droites de [tex]\mathcal{L}[/tex].
Si P et Q sont 2 points de [tex]\mathcal{E}[/tex] et si PQ est parallèle à AB, alors tous les points du segment PQ appartiennent aussi à [tex]\mathcal{E}[/tex].

Quelle est l'aire minimale de [tex]\mathcal{E}[/tex] ?

Question subsidiaire : Où situez-vous cette aire minimale ?

Joyeuses Pâques. Cordialement

Edit : Ajouté 4 fois segment sur précision demandée par yoshi

Dernière modification par totomm (24-06-2012 10:57:14)

Golgup

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Re : Aire minimale dans un carré

Salut,

Tu es sur de l’énoncé?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Aire minimale dans un carré

Re,

mais rigoureusement définis :

Niet, tovaritch... Que nenni !
1. AB et CD sont les notations employées pour les longueurs... s'pas ...
2. Veux-tu parler des segments ? --> [AB] et [CD]
3. Veux-tu parler des demi-droites ? --> [AB) et [CD)
4. Veux-tu parler des droites ? --> (AB) et (CD)

J'étais déjà intervenu là-dessus, il y a pas pas mal de temps et j'avais reçu comme réponse, en gros :
Les notations ? OSEF !! Qu'importe le flacon pourvu qu'on ait l'ivresse : concentrons-nous plutôt sur les problèmes.
Et quand bien même tu aurais dû le préciser en toutes lettres alors...
Il n'empêche donc que là, il y a quand même un réel souci de nature à fausser la compréhension...
Désolé...

Noyeux Joël malgré tout

@+

totomm

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Re : Aire minimale dans un carré

Bonjour les amis,

Cet énoncé est recopié d'un ouvrage de la librairie Vuibert que j'ai déjà cité.
problème G14 ! Catégorie "Problèmes divers" accolés à ceux posés dans les "Olympiades internationales"
et de la même veine : Réfléchissez ! mais problème pas trop difficile

MAIS yoshi A RAISON : j'ai omis 4 fois le mot segment rajouté ci-dessous :

Soient un carré ABCD de 2 cm de coté, E le milieu du segment AD et F celui du segment BC
Soit l'ensemble [tex]\mathcal{L}[/tex] des droites qui coupent les segments AB et CD
Soit l'ensemble [tex]\mathcal{E}[/tex] des points du rectangle CDEF situés sur au moins une des droites de [tex]\mathcal{L}[/tex].
Si P et Q sont 2 points de [tex]\mathcal{E}[/tex] et si PQ est parallèle à AB, alors tous les points du segment PQ appartiennent aussi à [tex]\mathcal{E}[/tex].

Question subsidiaire : Où situez-vous cette aire minimale ?

Je n'ai pas modifié autrement les notations ! J'ai cependant ajouté la question subsidiaire pour agrémenter...

Je trouvé si étonnant qu'il puisse avoir une solution que j'ai cru qu'il intéresserait les fidèles de Bibmath

Cordialement

Dernière modification par totomm (24-06-2012 10:59:04)

jpp

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Re : Aire minimale dans un carré

salut.

je dirais que l'aire minimale est égale à 1 . le point M parcourant le segment CD . les segments  MA et MB coupant EF en I & J

L'aire du triangle IJM étant constante et égale à 0.5 puisque IJ est un segment de longueur constante égale à 1 .

M se promenant sur le segment CD de longueur 2 .

Mais ç'est mon interprétation , et je suis peut-etre à coté de la plaque.sachant que je suis conscient d'avoir donner un résultat de dimension 3.

                                                                                                                à plus.

Dernière modification par jpp (27-06-2012 18:08:08)

totomm

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Re : Aire minimale dans un carré

Bonsoir,

@ jpp : Sur la bonne voie, comme toujours....
mais l'intersection de 2 droites qui coupent les segments AB et CD n'est pas forcément sur le segment CD (C'est votre point M...)

jpp

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Re : Aire minimale dans un carré

salut.

maintenant , en plaçant M sur le segment AB  ,  IJCD  est un trapèze avec une aire constante de 1.5 , qui se trouve etre le triple de celle du triangle de mon post précédent  . le point M  parcourant toujours un segment AB de longueur 2.

                                                                                                                                                à plus.

totomm

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Re : Aire minimale dans un carré

Bonsoir,
Regardez avec un point d'intersection G de droites à l'intérieur de EFCD : cela conduit au minimum....les aires ne dépendant plus que de la position verticale de G ( suivant la direction AD )

cordialement (Sans internet pendant quelque temps à venir)

totomm

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Re : Aire minimale dans un carré

Bonsoir,
Profitant d'un WIFI de passage :

Soit G un point intérieur au rectangle EFCD, intersection d'une droite D1 issue de A qui coupe le segment CD en N et d'une droite D2 issue de B qui coupe le segment CD en M.
Soient I et J les intersections des droite D1 et D2 avec le segment EF.
Soit h la distance du point G au segment EF.
Pour tout point G ainsi construit, les points de l'ensemble [tex]\mathcal{E}[/tex] couvrent les triangles GIJ et GMN dont la somme S des aires ne dépend que de h.
[tex]S = \frac{2h^2-2h+1}{1+h}[/tex] dont le minimum vaut [tex]2\sqrt{10}-6[/tex] pour [tex] h = \frac{\sqrt{10}-2}{2}[/tex]

Cordialement