Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Tous les polynômes sont constants

Salut,

  Voici une preuve très classique que je vous soumets : "tous les polynômes sont constants".
On va plus précisément démontrer par récurrence sur [tex]n[/tex] que toutes les fonctions
[tex]x\mapsto x^n[/tex] sont constantes.

1. C'est vrai si [tex]n=0[/tex], car [tex]x^0=1[/tex].

2. Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k, c'est-à-dire que la dérivée de la fonction [tex]x\mapsto x^n[/tex]
est nulle,  et établissons la pour k+1. D'après la formule de dérivation d'un produit, [tex](uv)'=u'v+uv'[/tex],
on a [tex](x^{k+1})'=(x\cdot x^k)'=x'x^k+x(x^k)'=0[/tex]
(on utilise l'hypothèse de récurrence à la fois pour n=1 et n=k).

Nous avons donc prouvé que la fonction [tex]x\mapsto x^{k+1}[/tex] est constante, ce qui achève la récurrence.

Alors, où est l'erreur?

Fred.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Tous les polynômes sont constants

Salut,

c'est malin ...

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : Tous les polynômes sont constants

salut
a mon avis, l 'application de l hypothèse de récurrence pour n=1 n'est pas justifiée,  pour appliquer le principe de récurrence sur n+1 on ne doit utiliser que p(0) ( qui a été prouvée) et l'hypothèse que p(n) est vraie.

Dernière modification par amatheur (03-06-2012 22:35:06)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Tous les polynômes sont constants

Bonjour,

Selon moi, il y a eu un flou discret pour le passage :

Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k,

.
Il me semble qu'on doit vérifier la propriété pour des valeurs simples (donc au moins 2) et pas une seule...
Si l'on accepte la supposition, on met le doigt dans un engrenage qui happe jusqu'à l'épaule.
Et dans sa démo - brillante - Fred omet soigneusement de parler de x, mis à part un vague : toutes les fonctions [tex]x \mapsto x^n[/tex]
Or, la supposition Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k, n'est pas vraie [tex]\forall x[/tex]...
Si x =2, elle est est fausse...

Donc pour moi, ça coince là et la suite de démo n'est plus valable...

@+

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Tous les polynômes sont constants

Bonjour,

Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k,
....
Alors, où est l'erreur?

Il n'y a pas d'erreur puisque d'après l'hypothèse la fonction [tex]x \mapsto x^1[/tex] est constante !
Donc [tex]\forall{n}, \ x \mapsto x^n \ est \ constante [/tex]

Cordialement

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Tous les polynômes sont constants

Salut,

une proposition :

▼interdit à tontom

le truc est que [tex]X^0 = 1[/tex] est purement conventionnel pour manipuler aisément l'E. V des polynômes plongés dans un bon corps. Sinon, la récurrence utilisée est le principe de la récurrence forte

▼pour tontom

tu ne peux pas t'empêcher, hein, c'est vraiment plus fort que toi. Et en quoi ta remarque fait elle avancer le truc, hein ?@ +

JeanMars12

Invité

Re : Tous les polynômes sont constants

Bonjour,

j'adore :-)
L'hypothèse est vraie pour n=0, tout le monde est d'accord
On suppose qu'elle est vraie pour k, on veut la montrer pour k+1
Or dans la démonstration, on suppose qu'elle est vraie pour n=1, et n=k...
Pour n=k, OK c'est l'hyphothèse de récurrence
Pour n=1, c'est malheureusement faux puisque x |--> x n'est pas constante...
Toute la démonstration tombe à l'eau, les wagons ne s'accrochent pas bien comme on disait de mon temps...

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Tous les polynômes sont constants

Bonjour,

Pour faire avancer un tantinet le truc :

Quand fred écrit "Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k"
il adopte implicitement le fait que le domaine de définition de [tex]x[/tex] se réduit à une constante puisque [tex]x \mapsto x^1[/tex] figure dans cette hypothèse. Il n'y a pas alors d'erreur !

Bien sûr, si l'on pense que le domaine de définition de x est  "habituellement" l'ensemble des réels, on ne peut que crier à l'erreur, Mais FRED ne le précise pas, et c'est donc à lui de le dire !

Inutile de placer avec grandiloquence "L' E.V. des polynômes plongés dans un bon corps"…

Cordialement

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Tous les polynômes sont constants

Salut l'ami,

si tu lis avec attention ce qui suit http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … /e/ev.html, tu verras que le qualitif "grandiloquence" est tout à fait superflu.

Les EV font parties de notre quotidien, n'est il pas ?

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : Tous les polynômes sont constants

salut.
freddy tu as sans doute raison, la preuve c'est que cette récurrence n'est pas initialisable à partir d'un rang supérieur à zéro.
comme quoi, comme me l'a si bien dit  jpp, le plus important ce sont les fondamentaux!