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freddy

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Problème posé par un tiers non identifié à la communauté

Voici ce que j'ai reçu hier sur ma messagerie personnelle :

BONJOUR A VOUS!         

j'ai un petit problème depuis l'année passé. J'ai essayé de faire ce problème mais je n ai pas parvenu à le faire
vous pouvez m aider a le faire et surtout avec les commentaires.

voilà :

Soit G un groupe engendré par deux éléments distincts a et b (et distincts de l'élément
neutre e) et satisfaisant les relations [tex]a^3 = e\;, b^2 = e ,\;et\; abab = e [/tex].

D´écrire le groupe et indiquer un groupe classique isomorphe.

Indication
?

Signé ABBA le 21/01/2012

Ça me parait assez simple, mais je souhaiterais qu'il se manifeste avant de développer.

Dernière modification par freddy (22-01-2012 15:00:31)

freddy

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Re : Problème posé par un tiers non identifié à la communauté

Re,

ce qu'on voit bien est que : b est son propre symétrique, [tex]ab[/tex] est aussi son propre symétrique (oui, l'énoncé manque un peu de rigueur sur l'ordre de composition, on fera sans) et le symétrique de [tex]a[/tex] est [tex]a^2[/tex].

Il faut déterminer les termes suivants (soit le résultat de leur composition, soir leur symétrique) [tex]a^2,\, ab,\, ba,\, a^2 b,\,ba^2,\, (ab)a,\, (ba)b,\, (ba)(ba),\, (ba)a,\,(ab)b [/tex] nécessairement éléments du groupe G. Il faut trouver les autres, car on ne sait si la loi de composition interne est associative.

Par exemple, [tex]a(ba)b=e \Rightarrow (ba)b=a^2 \Rightarrow (ba)(ba)=e[/tex] donc [tex]ba[/tex] est son propre symétrique.

(...)

Dernière modification par freddy (23-01-2012 12:24:43)

freddy

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Re : Problème posé par un tiers non identifié à la communauté

Re,

tout pareil, puisque [tex]a^2=(ba)b[/tex] alors [tex]a^2b=ba \Rightarrow b=(ab)a[/tex] et [tex]ba=(ab)a^2[/tex].

(...)

Dernière modification par freddy (23-01-2012 12:14:30)