Forum de mathématiques - Bibm@th.net

snicker

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Arithmétique

Amis du soir, bonsoir,

je suis en terminal et j'ai un petit problème d'arithmétique que je n'arrive pas à résoudre.

Pourriez vous m'aider ?

Voici le problème  : "Prouver que les nombres qui sont supérieurs à 43 peuvent s'écrire sous la forme 6a + 9b + 20c

D'avance, je vous remercie.

Sylvain

Dernière modification par snicker (18-01-2012 18:15:16)

yoshi

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Re : Arithmétique

Bonsoir,

Bienvenue à bord...
Peut-être as-tu oublié de donner une condition sur a, b, c ?
Parce que avec a = b = c = 1, j'obtiens 35 et 35 < 43...
a=c =0, b = 4, j'obtiens 36 et 36 < 43...
37 et 43 : pas de solutions.

Cela dit, je constate que après 43, c'est toujours vrai : je vais chercher...
Ça me fait penser à du Bezout.

@+

snicker

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Re : Arithmétique

Je sais qu'on peut en former qui sont inférieurs à 43, mais la question porte uniquement sur les entiers supérieurs à 43.

EDIT : Tiens j'ai pas essayé Bezout ... je vais tenter quelques trucs.

Dernière modification par snicker (18-01-2012 20:27:26)

yoshi

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Re : Arithmétique

Re,

Les nombres inférieurs à 20, donc avec c=0 sont tous les multiples de 3 supérieurs ou égaux à 6 (sauf 0) :
0, 6, 9, 12, 15, 18
La suite avec b> 0 possible est :
20, 21, 24, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42.
Donc l'ensemble des résultats possibles inférieurs à 43 est donc :
{0, 6, 9, 12, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42}
Maintenant tout nombre supérieur à 43 doit donc être une combinaison linéaire de ces résultats...
Je creuse, je creuse...

jpp va bien démonter ça vite fait...

@+

[EDIT] Sachant qu'on peut obtenir la suite de tous les multiples de 3 supérieurs ou égaux à 6, peut-être faut-il regarder du côté de ceux qui manquent à l'appel, de la forme 3n+1 et 3n+2 (n>1) et voir dans quelle mesure rajouter un multiple de 20 résout le problème...

Dernière modification par yoshi (18-01-2012 20:33:49)

snicker

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Re : Arithmétique

Sachant que 40=1 [3] et que 20 =2[3] et qu'on peut facilement faire tout multiple de 3 supérieur a 40 avec une combinaison de 6 et de 9, ne suffirait-il pas de "décaler" les multiples de 3 ?

Fred

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Re : Arithmétique

Salut,

  Effectivement, si un nombre n s'écrit 6a+9b+20c, alors n+6 s'écrit aussi sous cette forme.
Il suffit donc de prouver que les 6 entiers consécutifs 44, 45, 46, 47, 48 et 49 s'écrivent sous cette forme,
puisqu'en ajoutant 6 on trouvera tous les entiers de 50 à 55, et ainsi de suite...

Mais :
44=20*1+6*4
45=9*5
46=20*2+6*2
47=20*1+9*3
48=6*8
49=20*2+9

Fred.

PS : Tu n'as pas précisé si on a droit à a,b et c entiers négatifs.

yoshi

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Re : Arithmétique

Bonsoir,

Mais :

Je ne pige pas : pourquoi Mais ?
A tout hasard :
44 = 6*4 + 20*1 mais aussi 44 = 6*1 + 9*2 + 20*1
45 = 9*5 mais aussi 45 = 6*3 + 9*3 = 6*6 + 9*1
46 solution unique
47 = 20*1+9*3 mais aussi 47 = 6*3 + 9*1 + 20*1
48 = 6*8 mais aussi 48 = 6*2 + 9*4 = 6*5 + 9*2
49 solution unique...

Toute façon le 0 est permis puisque snicker n'a pas dit suite à ma question qu'il était interdit ; c'était ça le sens de ma question : [tex]a, b, c \;\in\,\mathbb{N}[/tex] ?  ou   [tex]a, b, c \;\in\,\mathbb{N}^*[/tex] ?

Donc pour 46, 6*2+ 9*0 + 20*2 est donc bien une combinaison linéaire de 6, 9 et 20...
Même topo pour 45, 48 et 49...

@+

Fred

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Re : Arithmétique

Salut,

  Le "Mais" signifiait que je sais faire pour 44, 45, etc... Donc je sais faire pour tous les entiers >43.
J'aurais du écrire "Or" au lieu de "Mais".

Fred.

snicker

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Re : Arithmétique

D'accord, merci a Yoshi et Fred !!
Edit : c'est corrigé, merci :)

Dernière modification par snicker (19-01-2012 15:26:59)

freddy

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Re : Arithmétique

Salut,

c'est FRED, par Ferd ! :-)

yoshi

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Re : Arithmétique

B'jour,

C'est ÉDIT pas Édith (Piaf ?)... :-D

@+