Forum de mathématiques - Bibm@th.net

nerosson

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Nombres premiers jumeaux

Salut à tous,

Vous connaissez peut-être l'histoire que raconte un auteur que je vous recommande, Arthur Koestler :

« Il était une fois, au fin fond de la Russie tsariste, un moujik bricoleur qui avait inventé un engin muni de deux roues et propulsé par un pédalier. Enchanté de sa trouvaille, il enfourcha son engin pour se rendre à la ville voisine, où il n'avait jamais mis les pieds, et là, il découvrit des tas de gens qui circulaient à bicyclette. »

Ce genre de mésaventure arrive souvent à ceux qui explorent un sujet qu'ils connaissent mal.

Aujourd'hui, j'en avais aux nombres premiers pour lesquels j'éprouve une hostilité que j'ai déjà mentionnée plusieurs fois, et je m'intéressais plus particulièrement aux nombres premiers jumeaux.

J'ai d'abord trouvé que, si l'on faisait le produit de deux nombres premiers jumeaux et que si, à ce produit, on ajoutait 1, on obtenait le carré du nombre qui sépare ces deux nombres premiers jumeaux. J'ai du déchanter bien vite car j'ai constaté qu'il en était de même pour toute paire de nombres différant de deux unités.

Ensuite, j'ai constaté que, exception faite du couple 3 et 5, tous ces nombres séparant deux nombres premiers jumeaux étaient des multiples de six.

Je voudrais savoir :

1- S'agit-il d'un fait connu depuis la plus haute antiquité ?
2- A-t-on cherché à exploiter cette particularité ?

jpp

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Re : Nombres premiers jumeaux

salut nérosson.

je crois me souvenir que tous les nombres qui sont de la forme[tex]3n\pm1[/tex] ne sont pas forcément premiers, mais que tous les nombres premiers sont de la forme [tex]3n\pm1[/tex]. on peut donc dire que la demi somme de 2 premiers jumeaux qui s'avère etre le nombre pair qui les sépare s'écrit:

[tex]3n = \frac{3n-1+3n+1}2 [/tex]  . Mais comme ce nombre est aussi pair alors c'est aussi un multiple de 2x3=6

                                                                                      à plus.

Golgup

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Re : Nombres premiers jumeaux

Hello,

la question est bien "soit p et q deux  nombres premiers jumeaux alors 6 divise pq+1"  ?

Si oui alors c'est assez simple à montrer:

deja soit p=n , q=n+2  et trivialement 2 divise n(n+2)+1 , donc ca revient à montrer que 3 divise toujours n(n+2)+1.

modulo 3 , on à deux possibilités(pour n different de 3!):  n(n+2)+1= 2 (mod 3)   ou bien  n(n+2)+1 = 0 (mod 3)   (pas 0 puisque n et n+2 sont premiers).

donc ca revient à montrer que n(n+2)-1 n'est jamais divisible par 3.

Supposons que c'est le cas en supposant l'existence de k dans N tq n(n+2)-1 = 3k   <->  n²+2n-1 = 3k   <->   (n-1)(n+1) +2n = 3k

Or 3 divise toujours (n-1)(n+1),   donc cela revient a supposer que 3 divise 2*n  or n est premiers par hypothese!

donc oui c'est vrai

Golgup

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Re : Nombres premiers jumeaux

re,

[edit] pour repondre à ta question, nerosson, non cette particularité n'est pas très "intéressante" car elle n'est pas propre aux jumeaux, on montre facilement, que c'est le cas pour tous couple de nombres premiers (n,q) séparé d'une valeur de 3t+2 ou bien 3t+1 (t quelconque) et tel que n+3t+2  ou bien n+3t+1  est premiers .

par exemple, n=11 premier  et en prenant t=2  on a 11+3*2 +2 = 19  premier,   donc 6 divise 11*19+1 = 210  (=6*35)

ps: c'est curieux, comment en viens tu  à faire de pareil conjecture? (souvent juste en plus!)

nerosson

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Re : Nombres premiers jumeaux

Salut à tous,

@Golgup,

Quand on conjecture, c'est qu'on n'est pas foutu de prouver. Rien de flatteur là-dedans.

amatheur

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Re : Nombres premiers jumeaux

salut
je crois que les conjectures sont l'expression du 6 ème sens des mathématiciens, c'est un peu comme si ils pouvaient prévoir les résultats des démonstrations avant de les faire.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Nombres premiers jumeaux

RE,

je crois que les conjectures sont l'expression du 6 ème sens des mathématiciens,

J'approuve vigoureusement !
Cher nerosson, je te signale qu'il y a des conjectures qui restent encore à démontrer, qui résistent aux efforts depuis des dizaines d'années et qui rapporteront cher aux futurs découvreurs.
Et pourtant, ceux qui ont émis ces conjectures étaient bien loin d'être des buses en Maths...
La conjecture, c'est l'expression d'une intuition fulgurante !
Tout le monde n'est pas capable d'émettre des conjectures (mathématiques)...

@+

nerosson

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Re : Nombres premiers jumeaux

Salut à tous,

Je trouve que ces deux dernières interventions sont particulièrement intéressantes.

Par ailleurs, il me semble que le colossal édifice des mathématiques n'aurait jamais pu être bâti si l'on n'avait pas utilisé comme fondations quelques postulats non démontrés.

C'est pour cela que j'ai toujours pensé que Descartes, que j'ai déjà pris à partie une fois en dépit de son phénoménal prestige, a eu tort de partir de son principe de base, dont je connais le fond, même si j'en ai oublié la forme exacte : "Ne rien accepter qui n'ait été préalablement clairement démontré".

Cela l'a parfois conduit à formuler une démonstration ridicule de ce qu'il aurait été sage de présenter comme un postulat de base.

On peut bien entendu s'insurger contre mes vues : non seulement je n'en serais pas fâché, mais je serais intéressé.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Nombres premiers jumeaux

Salut,

C'est pour cela que j'ai toujours pensé que Descartes, que j'ai déjà pris à partie une fois en dépit de son phénoménal prestige, a eu tort de partir de son principe de base, dont je connais le fond, même si j'en ai oublié la forme exacte : "Ne rien accepter qui n'ait été préalablement clairement démontré".

Descartes, le chantre de la rigueur...
Je ne sais plus où j'ai lu cela (et entendu sur l'ex émission "Le temps de vivre" de France Inter), mais il est quand même paradoxal et assez "jouissif" de savoir qu'il a lui-même dit que son "discours de la méthode" lui avait été inspiré par 3... rêves !!!

@+

freddy

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Re : Nombres premiers jumeaux

Salut,

de quoi alimenter l'insatiable curiosité de notre futur nonagénaire

Nombres_premiers_jumeaux

nerosson

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Re : Nombres premiers jumeaux

Salut à tous,

@freddy,

En fouinant dans la référence que tu m'as donnée, je trouve les deux conjectures suivantes :

Tout nombre pair (assez grand) est la somme de deux min-jumeaux.
Tout nombre pair (assez grand) est la somme de deux max-jumeaux.

Prenons l'une ou l'autre de ces deux conjectures :

la suite des nombres pairs étant infinie, il s'ensuit que,  un nombre pair pouvant avoir une grandeur illimitée, l'un au moins des min-jumeaux qui le composent a forcément, lui, aussi une grandeur illimitée (même chose pour les max-jumeaux).
Autrement dit, si l'on retient comme juste l'une au moins des conjectures ci-dessus, cela démontre la conjecture que la suite des nombres premiers jumeaux est infinie.

Ceci dit, je suis bien conscient qu'on ne peut pas démontrer une conjecture en partant d'une autre conjecture.

P.S. J'ai aussi trouvé un renvoi à des nombres premiers « sexy ». Tu penses si j'ai sauté dessus ! J'ai été bien déçu... [« nous sommes déçus, cachons-le bien ! », comme disait la comtesse.... (cf « Le canard enchaîné ») ]

Dernière modification par nerosson (11-01-2012 17:31:59)