La brique de lait

Fred · 01-01-2012 21:42:55

Bonjour,

Voici une petite énigme pour bien commencer l'année (honte à moi si elle a déjà été posté sur le site).
Vous disposez d'une feuille A4. Comme réaliser la plus grande brique de lait possible (modèle style Tetrapak)
par pliage et recollement?

Fred.

jpp · 02-01-2012 13:15:33

salut à tous.

avec un format A4 c.a.d. 297mm x 210mm.

je découpe un patron pour un parallélépipède d'arètes [tex]h = 210 - \frac{297}{4}\;,\; L = l = \frac{297}{4} [/tex]

ce qui me donne un volume de 0.7484 litre

à plus.

nerosson · 02-01-2012 18:28:26

Salut à tous,

@JPP,

Pardonne-moi, mais j'ai comme un petit doute :

Si je t'ai bien compris (là aussi, j'ai toujours un petit doute...), le fond de ton pack est un carré dont le côté est égal au quart de 297, donc 74,25. Sur deux côtés opposés de ce carré, il faut prévoir, dans ton patron, la place pour les côtés du pack, soit (la hauteur étant de 210 - 74,25 = 135,75). On atteint donc une dimension de 135,75 + 74,25 + 135,75 = 345,75.

D'autre part, si j'ai bien compris la forme de ton patron, tu as, dans la prolongation les uns des autres, un fond, un dessus, et deux côtés dune hauteur de 135,75, donc une dimension de 74,25 + 74,25 + 135,75 +135,75 = 420.

Je n'exclus jamais la possibilité qu'il y ait quelque chose que je n'aie pas compris. Si c'est le cas, prends pitié de ma sottise et fais moi un dessin. Merci d'avance.

Personnellement, je n'ai atteint que 0,5292 litre. Ca n'est sans doute pas le maximum. J'ai construit mon patron dans le sens de la feuille. Je subodore qu'on doit pouvoir orienter obliquement la plus grande dimension (fond, deux côtés, dessus) à condition que les deux côtés restants ne soient pas placés l'un en face de l'autre, mais décalés. Je m'explique horriblement mal, mais je compte sur vos brillantes intelligences pour décrypter tout ça. Comme disait un de mes copains :"Dégueule-z-y, on y triera !".

Dernière modification par nerosson (02-01-2012 18:46:36)

jpp · 02-01-2012 19:20:54

salut.

@nerosson , je fabrique le patron de cette façon: un tunnel de 135.75 de long de base carrée 74.25 de coté.

il me reste donc en haut et en bas du patron deux bandes de 279 * 37.125 qui me servent à tracer 2 fois 4 triangles rectangles isocèles d'hypothénus 74.25 et de hauteur 37.125

et ça me donne bien mon parallélépipède rectangle 135.75 * 74.25 * 74.25

à plus.

karlun · 02-01-2012 19:43:50

Bonsoir,

A partir d'une feuille A4: 297mm*210mm

Si on ne tient pas compte de la longueur de la ligne de colle (ou du ruban adhésif) et en supposant que les recouvrements pour collages sont nuls (Ce sont des questions posées par la bande), j'arrive à un volume de 0,953 litre et quelques minis gouttes.

Je détaillerai volontiers ma démarche pour autant que les remarques (questions) préliminaires soient acceptées.

Meilleurs vœux.

A+-*/

Ps: Je viens de croiser la réponse de jpp qui ressemble pas mal à la mienne si ce n'est la capacité finale.
Je vais vérifier car une bêtise est toujours à ma portée.

Dernière modification par karlun (03-01-2012 07:18:59)

jpp · 02-01-2012 20:29:50

re.

autrement en considérant un prisme à base polygone régulier avec une infinité de cotés on peut approcher 0.81 litre

sa hauteur se calcule ainsi [tex]h = 210 - \frac{297}{\pi} = 115.46 [/tex] avec une infinité de triangles isocèles pliés

dont la hauteur approche[tex]210 - \frac{297}{2\pi} \approx 47.27[/tex]

totomm · 03-01-2012 10:26:17

Bonjour,

D'accord avec Karlun qui ne perd aucun mm² du A4 : 0,953071 litre

Cordialement

jpp · 03-01-2012 12:10:38

salut.

@ karlun et totomm

je ne perd pas un mm² et j'obtiens au mieux un tétraedre de 0.77 litre environ

sa base a une aire de [tex]\frac14\times297\times210 = 15592.5 mm^2[/tex] et sa hauteur serait < 148.5

nerosson · 03-01-2012 17:29:08

Salut à tous,

J'ai l'impression que j'ai interprété l'énoncé de Fred d'une manière beaucoup plus restrictive que vous :

1) pour moi, une brique implique une forme rigoureusement parallèlépédique,

2) j'ai pensé que j'étais tenu de découper un patron d'une seule pièce pour construire un parallèlépipède, ce qui implique des chutes de papier considérables.

Il me semble que vous vous êtes affranchi de ces contraintes. J'ai engueulé ma femme en lui reprochant de ne jamais avoir acheté un pack de lait ayant la forme d' "un prisme à base polygone régulier avec une infinité de cotés". Elle s'est excusé et m'a dit qu'elle allait immédiatement entreprendre des recherches.

Puisqu'on s'affranchit de toute contrainte autre qu'une surface égale à celle d'une feuille A4, permettez-moi de donner libre cours à ma fantastique imagination :

1) je transforme ma feuille A4 en une multitude de microscopiques confettis hexagonaux avec lesquels je fabrique une sphère de surface égale à 29,7 x 21 = 623,7 centimètres carrés (je n'emploie pas les abréviations parce que yoshi est très pointilleux sur la question et que je risquerais de me faire remonter les bretelles).

Le carré du rayon de cette sphère est de 623,7 divisé par 4 fois pi, soit 49,63, donc un rayon de 7,04 et le tiers du rayon est de 2,35.

La contenance de ma sphère est donc de 623,7 x 2,35 = 1.465,7 centimètres cubes soit 1,4657 litre.

Vous pouvez tous aller vous rhabiller !

Fred · 03-01-2012 17:40:49

Bonjour,

Je suis d'accord avec Nerosson sur la forme de la brique de lait. Elle doit être un parallélépipède rectangle.
Je veux bien qu'on soude les côtés de sorte que l'on ne tienne pas compte des recouvrements par collage.
Et oui, pour minimiser les coûts, on découpe le patron d'une seule pièce.

Est-ce que cela correspond à vos propositions, karlun et totomm???

Fred.

PS : Ouf, je viens de sauver la femme de Nerosson.

karlun · 03-01-2012 19:19:31

Bonsoir,

J'utilise un emporte-pièce fait d'une lame , alternance d'obliques (+45° et -45°) de longueur [tex] 74.25\,\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
La longueur de coupe est de [tex]420 mm[/tex] (et des poussières).
La longueur de la soudure est de [tex]420+297+172.875 = 889.875 mm[/tex]

...on découpe le patron d'une seule pièce.

Ben, après découpe j'obtiens 6 pièces détachées.
Cette solution est-elle valable?

A+-*/

PS: Je viens de penser qu'il manquait encore 37.125 mm de soudure... Bon, ça fera 927 mm en tout.

Dernière modification par karlun (04-01-2012 08:57:15)

Fred · 03-01-2012 20:39:26

Est-ce que tu peux nous faire un dessin pour expliquer la coupe????
Et pourquoi est-ce optimal?

Fred.

karlun · 03-01-2012 23:07:15

'soir,

Voici:

Les traits pointillés sont les traces de pliage, les traits pleins rouges sont les traces de découpe.

A+-*/

jpp · 04-01-2012 09:38:49

salut karlun

moi, je me suis arrèté à la découpe d'un seul patron , c'est pour cela que j'étais en dessous

sinon pour la découpe de plusieurs patrons , le minimum de surface pour le maximum de volume , c'est la sphère mais elle n'est pas développable.

par contre il y a quelques années j'ai fabriqué un balon de foot en inox ep. 3mm avec 20 hexagones et 12 pentagones

donc dans un format A4 il existe un patron pour cet icosaedre tronqué . j'ai meme un dodécaèdre et un icosaedre que j'ai aussi fabriqués . mais je ne m'étais pas emmerdé à plier , j'avais découpé toutes les faces via une poinçonneuse
à commande numérique. ainsi j'avais tout soudé à l'argon , poncé et microbillé.

@nerosson , un polyèdre avec uniquement des faces hexagonales est irréalisable par définition 3 * 120° = 360°

Et là tu reste à plat , va poser la question aux abeilles .

à plus.

nerosson · 05-01-2012 15:38:29

Salut à tous,

Tu as raison, comme toujours, JPP : j'ai eu tort de penser aux cellules des abeilles. Si tu savais comme je regrette ce mot intempestif "hexagonaux", qui fout- tout par terre !

Toutefois, si on se limite à la seule contrainte du format A4, ma solution reste théoriquement bonne, si on admet le principe de morceaux infiniment petits et de forme "ad libitum". Pas grand mérite : tout le monde sait que la sphère est la solution optima quand on recherche un volume maximum pour une surface minima.

Si on se réfère aux conditions que Fred vient de préciser, je fais des réserves sur la proposition de Karlun : on peut admettre qu'il n'y a qu'une coupe, mais le patron est en six morceaux. Ce qui n'enlève rien à l'ingéniosité de sa solution.

Pour une raison d'état-civil que certains comprendront, J'ai décidé d'attribuer à mon pack (qui va sûrement révolutionner l'industrie laitière) le nom de "pack beau".

P.S. JPP, permets-moi de te féliciter pour tes talents de chaudronnier. Tu ne pourrais pas m'offrir un "pack beau" en acier inoxydable confectionné par tes soins ?

Dernière modification par nerosson (10-01-2012 14:49:02)

nerosson · 09-01-2012 16:30:44

Salut à tous,

Je continue, je ne sais pas trop pourquoi, à m'intéresser à mon « pack beau ».

Je me trouve confronté à des calculs que je suis trop nul pour faire moi-même, alors je vous refile le bébé.

Supposons une sphère dont l' équateur « C » à une longueur de 1. Le pôle est « P ».

je trace entre C et P un quart de méridien que je divise en treize arcs égaux.

Par les douze points de séparation, je fais passer douze parallèles.

La longueur de l'équateur étant égale à 1, la longueur de chacun de ces douze parallèles s'exprime par un nombre décimal du type « 0,.. » (deux chiffres après la virgule, par défaut ou par excès selon le cas).

Quelqu'un pourrait-il me fournir ces douze longueurs ?

Merci d'avance.

jpp · 09-01-2012 18:45:31

salut nérosson.

la longueur de 12 parallèles équidistants placés entre le pole et l'équateur:

L (équateur ) = 1 - 0.993 - 0.971 - 0.935 - 0.885 - 0.823 - 0.748 - 0.663 - 0.568 - 0.465 - 0.355 - 0.239 - 0.121 - 0(pole)

si ça peut t'aider.

c'est la sequence [tex]\cos\left(90\times\frac{n}{13}\right)_1^{13}[/tex] en mode degré ici.

à plus.

yoshi · 09-01-2012 20:24:06

Ave nerosson,

J'avais commencé à te répondre vers 17 h, mais je me suis absenté.
De retour, je constate que jpp t'a répondu.
Comme je n'ai pas envie d'avoir bossé pour rien, je te joins aussi ma réponse, mais je t'explique un cheminement pour que tu puisses retrouver de toi-même les réponses...

Donc, voilà.

Il te faut les latitudes (angles avec l'équateur) de n'importe quel point de chaque parallèle, pour pouvoir en calculer chaque rayon.
Le plus proche de l'équateur de centre P1 a une latitude de 1/13 * 90°, c'est à dire qu'il fait un angle de 90°/13. avec l'équateur [OE].
Le rayon [P₁A] de ce parallèle a une longueur égale à celle de [0E₁], soit :
[tex]P_1A = OA \times \cos(90/13)[/tex].OA est le rayon de tout "grand cercle" de la sphère, donc de n'importe quel méridien.
Si les méridiens ont pour longueur 1, alors leur rayon vaut [tex]\frac{1}{2\pi}[/tex]

On a donc : [tex]P_1A = \frac{\cos(90/13)}{2\pi}[/tex]
Le quart de la longueur de ce parallèle vaut donc [tex]L_1=2\pi*\frac{\cos(90/13)}{2\pi}= \cos\left(\frac{90}{13}\right)[/tex]

La longueur du parallèle suivant, dont la latitude est 2/13 * 90°, sera [tex] \cos\left(2\times \frac{90}{13}\right)[/tex]
Les longueurs des parallèles données par jpp arrondies à 0,001 près sont bonnes :
0.993 0.971 0.935 0.885 0.823 0.749 0.663 0.568 0.465 0.355 0.239 0.121

@+

Dernière modification par yoshi (09-01-2012 20:29:18)

nerosson · 10-01-2012 14:43:14

Salut à tous,

Un grand merci à tous les deux pour votre collaboration. Je reviendrai peut-être sur le sujet plus tard, mais sans doute après un certain temps.

@yoshi,

J'ai bien aimé ton "pour que tu puisses retrouver de toi-même les réponses...".

Tu es encore plein d'illusion sur mon compte : alors que je viens de recevoir, grâce à votre obligeance à tous les deux, des réponses rigoureusement convergentes, tu penses bien que je ne vais pas m'amuser (si j'ose dire !) à les recompter, au risque de me fourvoyer.

yoshi · 10-01-2012 16:54:42

Salut,

T'es pas en train de me dire avec ménagement que tu n'as rien compris à ce que j'ai expliqué ?
Là, j'en serais fort marri !!!

@+

nerosson · 10-01-2012 16:59:07

Salut à tous,

Ami Yoshi,

Non, non, rassure-toi : si j'avais essayé, j'aurais sûrement compris.

Mais c'est : "margaritas ante porcos !"

youssef · 25-01-2012 00:38:40

si on reste sur une brique parallelepipedique l ideal est un cube de 6 cotes dont la surface equivaut a la surface de la feuille
donc 297*210=62370mm²
soit chaque cote 62370/6=10395mm² soit une section de 101.956 environ soit un volume de 1.06littre environ
si pas de forme rectangle l ideal est une sphere de surface identique a la feuille

nerosson · 25-01-2012 13:25:24

Salut à tous,

@Youssef,

Compte tenu de ce que le patron, destiné à confectionner un parallèlépipède, doit être découpé d'une seule pièce, tu auras forcément des chutes

youssef · 25-01-2012 15:35:51

en math pas forcement si on pousse le raisonnement au bout a la limite tu peux decouper d un seul tenant en aller retour des lignes aussi fine que tu veux (apres physiquement je te l accorde c est infaisable) et avec constituer un cube le point de retour pouvant a la limite se comparer a un point donc sans perte sur tous ces points de retour

je partais d un resultat mathematique pure ou on pouvait a la limite de que qu est une ligne un point et une surface

jpp · 25-01-2012 20:18:40

salut.

au poste #2 j'avais fabriqué un patron pour un paralélépipède rectangle de volume 0.7484 litres.

j'ai un autre patron , toujours d'une pièce , pour un volume plus petit de 0.734 litre. sa base est carrée et ses arètes mesurent 67.7 mm x 67.7 mm x 160 mm.

à plus.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 01-01-2012 21:42:55

La brique de lait

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#5 02-01-2012 19:43:50

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