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#1 30-12-2011 12:15:03
- panolé
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intégrale à deux paramètres
Bonjour à tous,
Voilà,j'ai un exercice à faire mais je sais pas très bien comment m'y prendre...
Voici l'énoncé :
Etude de l'existence, continuité, dérivabilité et calcul de
f(lambda)= l'intégrale de -l'infini à + l'infini de exponentielle de -(x²-lambda/x²) dx
(désolé le code Latex ne fonctionne pas sur mon ordinateur)
Tout d'abord, l'intégrale existe car la fonction est continue en fixant x et est continue en fixant lambda, et pour le calcul, j'intégre sur l'intervalle ]-n,n[ et je passe aux limites ensuite. Est ce correct?
En revanche, je ne sais pas comment étudier la dérivabilité dans ce cas...
Merci d'avance,
Hors ligne
#2 30-12-2011 18:04:21
- Boseki
- Invité
Re : intégrale à deux paramètres
Bonjour,
je ne sais pas comment résoudre ce théorème d'Euler
Fy- d/dx F'y=0
ainsi que l'espérance mathématique de cette fonction y = xxxx
#3 30-12-2011 18:55:57
Re : intégrale à deux paramètres
Salut,
Pour l'existence, il faut observer ce qu'il se passe en 0 et en [tex]+\infty[/tex].
Tout d'abord, c'est une intégrale positive, donc on peut utiliser tous les théorèmes de comparaison. Ensuite, la fonction intégrée est paire, donc on peut simplifier l'étude.
Convergence de l'intégrale en 0 :
Si [tex]\lambda = 0[/tex] ou si [tex]\lambda > 0[/tex], la fonction est continue en 0, donc intégrable.
Si [tex]\lambda < 0[/tex], le critère de Riemann te permet de conclure que l'intégrale diverge. En effet, la fonction est équivalente en 0 à [tex]e^{-\frac{\lambda}{x^2}}[/tex], et [tex]x^2 e^{-\frac{\lambda}{x^2}}[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex] quand
Convergence de l'intégrale en [tex]+\infty[/tex] :
La fonction est équivalente en [tex]+\infty[/tex] a [tex]e^{-x^2}[/tex], qui est intégrable en [tex]+\infty[/tex]. Donc elle y est intégrable.
L'intégrable existe donc si et seulement si [tex]\lambda \ge 0[/tex]. On ne traitera désormais que ce cas.
Pour la dérivabilité, va voir cette page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9g … 3%A9trique . Il te faut majorer la dérivée selon [tex]\lambda[/tex] de l'intégrande par une fonction intégrable, indépendante de [tex]\lambda[/tex]. Sous cette condition, la dérivée de l'intégrale est égale à l'intégrale de la dérivée.
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