Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Golgup

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Un probleme pour les vrais durs ; )

hello,

J'ai hésitè longtemps avant de poster ce sujet, mais comme il est entrain de proprement demûrir dans ma tete...

Quelle methodes voyez vous pour lister tous les couples d'entiers (x,y) verifiants [tex]1+{2}^{x}+{2}^{2x+1}=\,{{y}^{2}}_{}[/tex]

(hors programmation)

?

jpp

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

Bonsoir .

   @golgup 
                je ne sais pas si c'est pour les vrais , les durs , les tatoués ; pour ceux qui ont mangé des cannibals

                et qui ont meme digéré des balles.

    pour revenir à ton problème.  je pose  X = 2^x  et  y²= c  ; c   est un carré

    j'obtiens l'équation du second degré   2X² + 2X + 1 - c  = 0

     avec c = 529  , j'obtiens  X = 16  = 2⁴  d'ou le premier couple (4 , 23)

(...)                     

          je vais me coucher                                      à plus.

Golgup

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

hi!

Oui, pas de souci jusque là, c'est la façon qui semble la plus probante, je te laisse continuer..

ps: ce n'est pas le premier couple.

@♦+

jpp

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

re.

    il y a évidemment le premier couple (0,2) que j'avais laissé de coté.

                                                                                                       à plus.

totomm

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

Bonjour,

Le premier couple, en effet, est (0 ; 2) et il semble bien qu'il n'en existe pas de troisième !
Mettons l'équation sous la forme : [tex]1+{2}^{x+1}=\, \frac{(y-1)(y+1)}{{2}^{x}}[/tex]
et ne considérons que x>0 pour simplifier le 2ème membre par une valeur >1.

En écrivant le 2ème membre en base 2, les possibilités de simplifier conduisent à définir k entier, k>0 partie des poids forts de y et on obtient une nouvelle équation :
[tex]{2}^{x}=\, 8k^2+7k+1[/tex] dont une solution est toujours x=4 avec k=1 et dont on doit pouvoir montrer en base 2 qu'il n'y a pas d'autre solution.

Démarche à valider et compléter

Cordialement

freddy

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

Salut,

si je me souviens bien, c'est un exo d'arithmétique assez classique où on doit aboutir par un raisonnement toujours subtil.

NB : généralement, quand on travaille avec des nombres entiers, on évite d'utiliser les lettres réservées à l'analyse x et y, on prend plutôt n, p, q ...

Par exemple, si on élimine la solution triviale x = 0 et y = 2, on a [tex]2^x\times (2^{x+1}+1)=(y-1)(y+1)[/tex] avec [tex]x > 0[/tex]

Puisque le terme de gauche est pair, on en déduit que y doit être impair, de la forme y=2n+1, avec n entier quelconque.

On obtient l'équation   [tex]2^{x-2}\times (2^{x+1}+1)=n(n+1)[/tex] ce qui permet d'affirmer que x est strictement supérieur à 2, car le membre de droite est encore pair.

x = 3 ne convient pas car => [tex]2.17=n(n+1)[/tex] impossible.

x = 4 donne [tex]4.33=3.4.11=n(n+1)[/tex] soit [tex]n=11[/tex] et [tex]y = 23[/tex]

A partir de là, il faut exploiter une idée que je ne trouve pas pour l'heure (peut être que Fred a une idée) pour conclure sur la forme de la solution générale ou démontrer qu'il ne peut y en avoir d'autre ...

Dernière modification par freddy (26-11-2011 23:46:47)

totomm

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

Bonjour,

Raisonner en base 2 permet :
1 : de simplifier
2 : comme 2^x-1 en premier membre ne contient que des 1, permet de montrer que le deuxième membre contient toujours au moins un zéro

Cordialement

freddy

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

Re,

on peut continuer en posant [tex]n=2p[/tex] et donc [tex]2^{x-3}\times(2\times 2^x+1)=p\times (2p+1)[/tex] ...

freddy

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

Re,

pour finir, je me demande si, après le changement de variable en [tex]X = 2^x[/tex], on n'aurait pas intérêt à revenir à des fondamentaux du genre :

Coniques

pour résoudre [tex]2X^2+X+1=Y^2[/tex] en utilisant des résultats (simples) de la théorie algébrique des nombres.

L'arithmétique étant une vraie spécialité, je me contenterai pour l'heure de fouiller ici et là, à la recherche d'une idée lumineuse.

Dernière modification par freddy (28-11-2011 13:34:54)

jpp

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Re : Un probleme pour les vrais durs ; )

bonsoir.

[tex]2X^2-Y^2+ X + 1 = 0[/tex] est l'équation d'une hyperbole.

  l'étude des branches infinies  donnant  [tex]-m^2 + 2 = 0[/tex] on obtient [tex] m = \pm\sqrt2[/tex] et en rapportant l'équation à ses axes , son centre  est le point de coordonnées [tex](-\frac14 , 0)[/tex] et l'équation de
l'assymptote qui nous intéresse : [tex]Y = \sqrt2.X + \frac{\sqrt2}{4}[/tex].

maintenant est-ce le fait que la pente et l'ordonnée à l'origine se trouvant etre tous les 2 irrationnels , nous permet
de dire qu'il n'y a pas de points [tex]( 2^n , p )[/tex] après le couple ( 16 , 23 )

moi , je ne suis spécialiste ni en analyse , ni en théorie des nombres .

                                                                                                     à plus.