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Rommel Nana Dutchou

Invité

pseudo-métrique

Bonjour,
Il est courant, je pense à la relativité générale, de faire de calculs savant sur des quantité infinitésimale. La métrique, concept fondamental de cette théorie, est une quantité infinitésimale et on la présente soit en explicitant son carré qui est une forme quadratique pouvant être négative, soit en précisant la structure d'un produit scalaire défini sur les différents espace vectoriels associés à chaque point de ce qui devient une variété pseudo riemannienne, devient par ce qu'il s'agit bien d'un ensemble de point muni d'une (pseudo) métrique.

On peut choisir comme définition : Dans un espace (pseudo)métrique qui est un ensemble de points, on connait par définition, c'est à dire qu'on sait que ces nombres existent sans aucune notion d'intégration, les (pseudo)longueurs de toutes les courbes paramétrées possibles. Alors pour définir la distance entre deux points (même topologiquement très proches), on énonce qu'il s'agit de la (pseudo)longueur d'un morceau de courbe paramétrée spéciale reliant ces points. Il faut alors absolument préciser comment choisir ce morceau de courbe spéciale et on peut évoquer la minimisations des (pseudo)longueurs des morceaux de courbes candidates s'il s'agit des nombres réels, critère qui à mon avis ne marche pas en relativité générale puisque le carré d'une (pseudo)longueur peut être négatif et l'ensemble des nombres complexes n'est pas ordonné.

En physique classique, étant donné que l'espace a une structure affine (en plus et mathématiquement indépendamment de sa structure métrique), on peut dire que ce morceau de courbe spéciale est élément de la droite reliant ces points et c'est une définition cohérente car cette droite est uniquement déterminée d'après la structure affine. Par exemple, si on écrit la formule
AB² = (xA-xB)² + (yA-yB)² + (zA-zB)²

alors l'espace métrique considéré est un espace affine réel de dimension trois et l’élément de courbe spécial dont la longueur définie la distance entre A et B est l'unique segment de droite qui les relie. La notion de droite vient de la structure affine fondamentale.
On peut choisir comme définition : Dans un espace (pseudo)métrique qui est un ensemble de points, on connait par définition, c'est à dire qu'on sait que ces nombres existent, uniquement les (pseudo)distances entre deux quelconques points. A partir de cet acquis, on peut donner un sens à la notion de (pseudo)longueur d'un morceau de courbe paramétré comme étant une somme de Riemann convergente le long du morceau de courbe, et parler alors d'intégrale curviligne.

Pouvez-vous me dire quel est le choix de la relativité générale ? un infinitésimal n'a pas de sens en lui même, c'est une notation pour décrire des sommes (de Riemann) convergentes. Deux points sont ou distincts ou confondus.

Cordialement,

Rommel Nana Dutchou

Rommel Nana Dutchou

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Re : pseudo-métrique

Bonjour,

Il n'a échappé à personne que la grammaire et la subdivision du texte en paragraphe est approximative.

Merci.

freddy

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Re : pseudo-métrique

Salut,

oui, oui, il ne nous a pas échappé les éléments que tu cites.

Moi, c'est la question qui m'échappe mais Je te souhaite de trouver ici quelqu'un en mesure de t'apporter de sérieux éclairages.

Une belle et bonne journée.

Rommel Nana Dutchou

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Re : pseudo-métrique

Bonjour,

Il s'agit de mettre en évidence certaine difficulté (je parle pour moi) de la relativité générale.

On demande, à mon avis, de ne intégrer l'infinitésimal de métrique que le long des trajectoires des points matériels et uniquement dans cette situation. Seul la notion de temps propre écoulé au sein d'un point matériel a toujours un sens. Une distance spatiale entre entités immobiles n'a pas de sens dans la théorie, mais elle peut en acquérir un dans les situations expérimentables (coordonnées sphériques de Schwarzschild).  Il ne faut pas se poser la question de savoir si une entité parait immobile par rapport à une autre mais on sait définir les trajectoires et les vecteurs vitesses.

Après cette critique très personnelle, ma question est de savoir si une variété pseudo riemannienne comme l'espace-temps de la relativité générale peut être décrite par l'une des configurations ci-après :
1/ On sait associer un nombre (réel ou complexe) à tout segment de courbe paramétré.
2/ On sait associer un nombre (réel ou complexe) à tout bipoint de l'espace-temps.

Autrement, ne peut-on pas dire que les quantités infinitésimales en relativité générale sont une nouvelle espèce mathématique ?

Les variétés riemanniennes qu'on rencontre ailleurs en physique utilisent elles aussi des notations infinitésimales (de longueur) mais on sait alors qu'elles n'ont un sens que parce que leur intégrale le long des courbes paramétrées en a un on peut formuler ces autres théories en n'utilisant que les nombres dérivés et les intégrales. 

Merci.

Dernière modification par Rommel Nana Dutchou (21-09-2011 15:51:43)

Rommel Nana Dutchou

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Re : pseudo-métrique

Bonjour,

Je clarifie mes propos. Les mathématiques de la relativité générale sont cohérentes.

1/ En relativité générale,on peut définir une (pseudo) longueur pour tout segment de courbe paramétré.

ds^2 = g_{ij} dx^{i} dx^{j}

(ds/d r)^{2} = g_{ij} (dx^{i}/d r) (dx^{j}/ d r)

s(r) = s(r_{0}) + int [ds/d r ] dr

Mais on ne sait pas attribuer un nombre à tout les bipoints d'un quelconque ouvert de l'espace-temps. On ne peut pas minimiser les (pseudo) longueurs des segments de courbes reliant les évènements de ce bipoint car ce ne sont pas toujours des nombres réels.

2/ En relativité générale il n'existe pas d'ouvert qui soit un partie d'un espace de Minkowski.

3 / Le passage de la métrique de Minkowski à la métrique infinitésimale ne se fait pas par différenciation du paramètre s mais par analogie.

Merci,

Rommel Nana Dutchou

Rommel Nana Dutchou

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Re : pseudo-métrique

Bonjour,

Je veux donner cette définition à une variété métrique riemannienne :

*C'est un espace topologique.

*C'est un ensemble de points tels que deux quelconques d'entre eux puissent être reliés par un segment de courbe paramétré.

*Un segment de courbe paramétré entre deux points "a" et "b" de la variété est une application continue "f" définie sur le l'intervalle réel [0,1] et à valeurs dans la variété, telle que f(0)=a et f(1)=b.

*La métrique ou la géométrie de la variété est une application qui pour ensemble de départ l'ensemble des tous les segments de courbe paramétrés de la variété et qui a pour ensemble d'arriver l'ensemble des réels positifs.

*Tout paramétrage de la variété est un système de coordonnées s'il est compatible avec sa géométrie (ou métrique) c'est-à-dire qu'il permet de calculer les mêmes longueurs pour les mêmes segments de courbe paramétrés.

La définition suivante est peut être compatible avec la relativité générale, peut être pas, mais je voudrai définir l'espace-temps de cette théorie ainsi :

*C'est un espace topologique.

*C'est un ensemble de points tels que deux quelconques d'entre eux puissent être reliés par un segment de courbe paramétré.

*Un segment de courbe paramétré entre deux points "a" et "b" de la variété est une application continue "f" définie sur le l'intervalle réel [0,1] et à valeurs dans la variété, telle que f(0)=a et f(1)=b.

*La pseudo-métrique ou la géométrie de l'espace-temps est une application qui pour ensemble de départ l'ensemble des tous les segments de courbe paramétrés de la variété et qui a pour ensemble d'arriver l'ensemble des nombres complexes.

*Tout paramétrage de la variété est un système de coordonnées s'il est compatible avec sa géométrie (ou métrique) c'est-à-dire qu'il permet de calculer les mêmes pseudo-longueurs pour les mêmes segments de courbe paramétrés.

Il s'agit de se passer, dans la définition et pas dans les calculs, de la notion d'infinitésimal qui n'a normalement de sens que sous une intégrale. Une quantité infiniment petite c'est comme une quantité infiniment grande, ce n'est pas très rigoureux en analyse standard.

Quelques soient les mathématique de la relativité générale, ma théorie est conçue sur une autre base.

Cordialement,

Rommel Nana Dutchou

abdelmalek

Invité

Re : pseudo-métrique

bonjour a tout le monde
je suis un doctorant en mathématiques, et j'ai besoin de livres en géométrie pseudo riemannienne, et calcul sur ces variétés.
voici mon email:
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freddy

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Re : pseudo-métrique

Salut,

tu sais que tu pollues, là ?

Fred

Administrateur

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Re : pseudo-métrique

Salut,

  Je suis d'accord avec Freddy, il aurait fallu ouvrir un autre sujet.
Autre chose : on ne laisse jamais d'e-mail en clair sur un forum,
c'est le meilleur moyen de se faire spammer.
Il y a un formulaire de contact si quelqu'un veut te répondre.

Fred.