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peuks

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Exercice et sommes

Bonjour

Il s'agit de déterminer la nature d'une suite .

La première suite est la somme de [tex] \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}   [/tex]

[tex]\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}   \le                 \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}    \le    \frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}} [/tex]

Il est assez facile de borner cette suite et donc d'utiliser le théorème d'encadrement .

Par contre la deuxième qui est identique a la seule différente que la somme va jusqu'à [tex]n^2[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}[/tex]

Et là je ne peux plus borner ( d'après le corriger ) et je ne vois pas pourquoi ... J'aurai eu tendance à faire

[tex] \frac{1}{\sqrt{n^2 + n^2}} \le  \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}  \le  \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2n}}   [/tex]

Et le résultat final est (d'après la correction du livre )
[tex]  \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}  \geq  \frac{n}{\sqrt{3}}[/tex]

juste avant il y a  [tex]  \sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}  \geq  n^2\frac{1}{n\sqrt{3}}[/tex]

Pour résumer je vois pas pourquoi on ne peux pas borner ( pourquoi c'est casiment la même suite que la première ) et encore moins d'ou vient le [tex]n^2[/tex]

Dernière modification par peuks (16-11-2011 11:59:50)

Fred

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Re : Exercice et sommes

Bonjour

[tex]\sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}[/tex]

Et là je ne peux plus borner ( d'après le corriger ) et je ne vois pas pourquoi ... J'aurai eu tendance à faire

[tex] \frac{1}{\sqrt{n^2 + n^2}} \le  \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}  \le  \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2n}}   [/tex]

Tu vas un peu vite en besogne. Encadrer est une très bonne idée, mais il faut le faire correctement.
Pour k dans 1,...,n², on écrit que
[tex]n^2+2\leq n^2+2k\leq n^2+2n^2=3n^2[/tex]

Prenant la racine carrée, passant à l'inverse et prenant la somme, on obtient

[tex]\frac{n^2}{\sqrt{3n^2}}\leq \sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2k}}\leq \frac{n^2}{ \sqrt{n^2+1}}[/tex]

(le n² à gauche et à droite viennent du fait qu'il y a n² termes dans la somme) et on retrouve  ce qui est écrit dans ton livre...

Fred.

peuks

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Re : Exercice et sommes

J'avais oublié une propriété qui dit que si une suite inférieur à Un tend vers l'infini alors un tend aussi vers l'infini . Cela explique que l'encadrement n'a pas été fait dans mon corrigé .
Donc ce qui me troublé ne devait pas et je devais simplement avoir un peu plus confiance en moi ! ( malgré mon erreur d'écriture )

J'ai envie de dire résolu !