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panolé

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Espace vectoriel

Bonjour,

Est ce que l'union de tous les sous espaces vectoriels d'un expace vectoriel E vaut E?

Roro

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Re : Espace vectoriel

Bonsoir panolé,

Si tu prends E comme sous-espace vectoriel de E alors il est évident que l'union de tous les sous-espaces de E vaut E...
Sinon, tu peux même montrer que E est égal à la réunion de sous-espace de dimension 1. Voici comment tu peux procéder :
Soit [tex]x\in E[/tex], alors [tex]x\in \mathrm{vect}(x)\subset E[/tex] donc tout élément de E est bien dans un sous-espace vectoriel de E de dimension 1.

Roro.

panolé

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Re : Espace vectoriel

Mais alors, comme E est à la foi consideré comme un fermé et un ouvert, si on le considere ici comme fermé
cela veut dire que tous ses sous espaces vectoriels sont aussi fermés?
(Car la réunion d'un nombre finis de fermé est un fermé)
C'est juste?

Fred

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Re : Espace vectoriel

Non, ce n'est pas juste....
Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension infini peut être dense dans cet espace,
sans lui être égal. Il n'est donc pas fermé.

Fred.

panolé

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Re : Espace vectoriel

Mais si le sous espace vectoriel A est dense dans E, on a alors l'adhérence de A qui est égale à A, donc A est bien fermé....

Fred

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Re : Espace vectoriel

Ah ben non, si A est dense dans E, son adhérence est E tout entier....

Fred.