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Golgup

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D'un probleme de pluie bien connu...

Bonjour!

Aujourd'hui il pleut sur Lausanne et certaines gens sont pressés, quant il pleut, de ne pas trop y être (sous la pluie), alors il court pour ne pas être mouillés.

Font-ils bien de courir? Vous avez déjà sans doute tous déjà entendu un ami vous dire qu'on se mouille plus en courant sous la pluie qu'en y marchant! On peut en effet se demander si il vaut mieux passer moins de temps sous la pluie (courir vite) et se mouiller plus que de passer plus de temps et se mouiller moins.

C'est de cela dont il est question ici en partageant ce que j'ai essayé de faire;

La question est donc, de savoir si ce racontar est vrai de façon générale.

Considérez d'abord que vous parcourez, sous une pluie quelconque, une distance  [tex]d[/tex]  à une vitesse non nul  [tex]{v}_{i}[/tex]  suivant un mouvement rectiligne uniforme. Alors,  la pluie vous mouille selon 2 directions: Notons  [tex]p\left(a\right)[/tex]  la quantité d'eau que vous recevez verticalement et  [tex]p\left(b\right)[/tex]  celle que vous recevez de face et finalement  [tex]P\,[/tex]  la quantité d'eau totale:

Alors nous avons  [tex]P=p\left(a\right)+p\left(b\right)[/tex]. 

Aussi, il est clair que la quantité d'eau  vertical qui vous touche ne dépend pas directement de votre vitesse, mais uniquement du temps que vous mettez pour parcourir la distance. Contrairement à la quantité reçue de face, qui elle est bien sûr proportionnelle à votre vitesse.

Je peux donc écrire  [tex]{p}_{1}\left(a\right)=k.\frac{d}{{v}_{1}}[/tex]       et       [tex]{p}_{1}\left(b\right)=k'.{v}_{1}[/tex]

Soit que  [tex]{P}_{1}=k.\frac{d}{{v}_{1}}+k'.{v}_{1}[/tex]

ou [tex]k[/tex] et [tex]k'[/tex] sont les coefficient (positifs!) qui se déterminent par mesures physiques.

Le problème initiale était de savoir ce qui ce passe quant j'avance avec une vitesse supérieur;
notons  [tex]{v}_{2}[/tex]  cette vitesse.  ([tex]{v}_{2}\geq{v}_{1}[/tex])

et on obtient de la même façon, [tex]{P}_{2}=k.\frac{d}{{v}_{2}}+k'.{v}_{2}[/tex]

Maintenant, il s'agit de comparer en termes de grandeur)  [tex]{P}_{1}[/tex]  et [tex]{P}_{2}[/tex] , ce que je note  [tex]\left({P}_{1}\,|\,{P}_{2}\right)[/tex]

et alors je pourrait m'astreindre de tous les termes communs au deux expressions (mais pour plus de clarté, je préfére tous le garder, et donc   

[tex]\left({P}_{1\,}|{\,P}_{2}\right)\,\Longleftrightarrow \,\left(K.\frac{d}{{v}_{1}}+k'.{v}_{1}\,|\,k.\frac{d}{{v}_{2}}+k'.{v}_{2}\right)[/tex]

De plus, on a l'existence de  [tex]{d}_{v}\geq 0[/tex] (la différence des vitesse) tel que  [tex]{v}_{2}={v}_{1}+{d}_{v}[/tex]

Et alors il nous faut d'abord résoudre [tex]k.\frac{d}{{v}_{1}}+k'.{v}_{1}=k.\frac{d}{{v}_{1}+{d}_{v}}+k.\left({v}_{1}+{d}_{v}\right)[/tex]

ce qui mène à  [tex]{{d}_{v}}^{2}\left(-k{v}_{1}\right)+{d}_{v}\left(kd-k'{{v}_{1}}^{2}\right)=0[/tex]

Et alors nous avons deux solutions, dont une triviale lorsque [tex]{d}_{v}=0[/tex] !! en effet, cela correspond alors à une augmentations nul en vitesse, et donc nous somme mouillé exactement en même quantité!

l'autre solution est   [tex]{d}_{v}=\frac{kd}{k'{v}_{1}}-{v}_{1}[/tex]

(Remarquons par ailleurs, pour être mouillé pareillement mais avec des vitesse différentes, il faut aller à une vitesse de 
[tex]\frac{kd}{k'{v}_{1}}[/tex] ! )

De plus, intéressons nous à l’inéquation  [tex]{{d}_{v}}^{2}\left(-k{v}_{1}\right)+{d}_{v}\left(kd-k'{{v}_{1}}^{2}\right)<0[/tex]    (ce qui est équivalent à P1<P2)

qui est vérifiée pour tous  [tex]]-\infty ;0\left[\right]\cup ]\frac{kd}{k'{v}_{1}}-{v}_{1}\left[\right][/tex]    si   [tex]\frac{kd}{k'{v}_{1}}-{v}_{1}\,>\,0[/tex]

et [tex]]-\infty ;\frac{kd}{k'{v}_{1}}-{v}_{1}\left[\right]\cup ]0;+\infty \left[\right][/tex]           sinon

et  [tex]]-\infty ;0\left[\right]\cup ]0;+\infty \left[\right]\,\,si\,\,\frac{kd}{k'{v}_{1}}-{v}_{1}[/tex]=0

Donc on voit bien que la rumeur n'est pas vérifiée pour les trois cas , même que pour une  vitesse de [tex]{v}_{1}=\,\sqrt{\frac{kd}{k'}}[/tex] , que j'accélère ou que je décélère, je suis moins mouillé (donc il s'agit de la vitesse a laquelle si on va, on est le plus mouillé!!

donc il suffit d'aller à une vitesse supérieure à [tex]\frac{kd}{k'{v}_{1}}[/tex]  pour être moins mouillé!!

donc est finalement fausse!

est ce que mon raisonnement est juste?
merci

Dernière modification par Golgup (20-10-2011 08:18:24)

freddy

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Re : D'un probleme de pluie bien connu...

Salut,

intuitivement, je pense que tu démarres mal. Au départ, il y a une certaine quantité de pluie à recevoir par seconde et cm², en restant statique. Cette quantité dépend du débit de la pluie : une bruine bretonne n'a rien à voir avec un orage d'été en Provence par exemple.

Dan le premier cas, tu peux marcher tranquillement, tu seras un peu mouillé ; dans l'autre, t'as intérêt à courir vite à l'abri si tu ne veux pas être détrempé en quelques minutes (j'en ai fait personnellement l'expérience à 16 ans en allant au bahut à pied, tête nue - tee shirt et jean - un jour de grand orage. Je suis resté exposé plus de 20 min ... L'eau s'était infiltrée jusque dans mes pompes et je ressemblais à un chat tombé dans une bassine pleine d'eau !).

nerosson

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Re : D'un probleme de pluie bien connu...

Salut à tous,

Comme vous le savez, même quand je n'ai rien compris, ça ne m'empêche pas de mettre mon grain de sel.

Il est clair que si je reste immobile, je ne présente à la pluie que ma tête et mes épaules, alors que si je cours je reçois la pluie à la fois sur la tête et les épaules et sur le devant de mon corps. Je pense que Golgup a bien pris cela en compte, mais en plus il faudrait faire intervenir la rapport entre la surface "tête-épaules" et la surface "devant-du-corps", un rapport qui probablement varie avec les individus. En outre, je ferai observer que, en courant à la même vitesse et à "tête-épaules" égales, une fille en mini-jupe et avec des mollets de coq sera relativement moins mouillée qu'une nana bien en chair  avec une robe longue et des grosses jambes. Donc, les données du problème varient selon les individus.

Vous ne trouvez pas que pour ce qui est de tout embrouiller, j'ai du génie ?

Je ne crois pas que la question du vent ait été évoquée : s'il y a du vent, alors là, pas d' hésitation : courez dans le sens du vent, même si ce n'est pas là que vous avez envie d' aller !

@yoshi,

Pourquoi est-ce que Golgup a droit à une majuscule, alors que c'est un privilège réservé à Fred. On est en république, oui ou m... ?

@Golgup,

Il semble que tu sois Vaudois. Donc, si tu as un peu voyagé, je pense que tu n'as pas manqué de servir au commandant du paquebot la question classique : "Avez-vous déjà eu en mer des Vaudois ?".

P.S. Suite aux observations que me fait yoshi dans le post qui suit, je fais les corrections qui s'imposent. Pardon, Golgup, je ne l'avais pas fait exprès.

Dernière modification par nerosson (20-10-2011 14:54:19)

yoshi

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Re : D'un probleme de pluie bien connu...

B'jour neros 'son,

1. Pourquoi t'obstines-tu à mutiler son pseudo : c'est Golgup et non pas Golcup, sinon rajoute-lui un d : Goldcup et la coupe sera pleine...
2. Parce qu'il a choisi un pseudo à majuscule : ça n'est pas de mon ressort... D'ailleurs, il est bien ce petit.
    Je me souviens e lui avoir dit, quand il est arrivé ici (classe de 3e ? de 4e ?) : continue comme ça et tu iras loin...
    J'avais raison ! Bien content !

Un autre avis sur la pluie :

La pluie est traversière,
Elle bat de grain en grain
Quelques vieux chevaux blancs
Qui fredonnent Gauguin...

@+

Golgup

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Re : D'un probleme de pluie bien connu...

Salut!

intuitivement, je pense que tu démarres mal. Au départ, il y a une certaine quantité de pluie à recevoir par seconde et cm², en restant statique. Cette quantité dépend du débit de la pluie : une bruine bretonne n'a rien à voir avec un orage d'été en Provence par exemple

Tout ça n'est qu'une histoire de constante! le but n’étant pas de proposer une modèle exact mais une idée mathématisée du problème  suffisante pour démentir la rumeur.

Il semble que tu sois Vaudois. Donc, si tu as un peu voyagé, je pense que tu n'as pas manqué de servir au commandant du paquebot la question classique : "Avez-vous déjà eu en mer des Vaudois ?".

Je ne suis pas vaudois! mais genevois , je ne sais pas si ça fait une différence car je n'ai jamais entendu cette expression!: )

Dernière modification par Golgup (01-11-2011 22:36:30)