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peuks

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Montrer qu'une suite est bornée .

Bonsoir !

Je suis entrain de réviser/apprendre le cours sur les nombres réels et les suites. Je vous expose un exemple du cours que je n'ai pas compris

Je dois montrer que la   [tex]U_n =\frac{1-n}{1+n}[/tex]  est bornée

Ce qui veut dire d'après la définitions des bornes sup et inf qu'il existe m et M tel que
[tex]m≤x≤M[/tex]

Pour n différent 0 l'exemple donne  [tex]U_n ={-}\frac{1{-}\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}[/tex]

Voici mes questions :

Pourquoi la suite devient négative ?
Pourquoi n est transformée par [tex]\frac{1}{n}[/tex]?
Pour trouver les bornes utilise-t on les limites et/ou les parties entières ?

Dernière modification par peuks (25-10-2011 18:10:29)

yoshi

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Re : Montrer qu'une suite est bornée .

Bonsoir,

D'accord avec ta définition de suite bornée.
Ici ta suite est définie de façon explicite, elle est de la forme \(U_n=f(n)\).
1. La suite ne devient pas négative, du moins ses termes. Elle est négative (ou nulle)
    U1 = 0 et \(\forall\; n >1,\; 1-n <0\;\; \text{et}\;\; 1 + n >0\)
2. n  n'est pas devenu 1/n...
    C'est juste un changement d'écriture, on écrit n-1 à la place de 1 - n et n+1 à la place de 1 + n.
    Là pour le coup, le numérateur a été changé contre son opposé, donc on ajoute un - devant la fraction.
    Ensuite, et comme n posé différent de 0, aux numérateur et dénominateur on met n en facteur puis on simplifie par n
   [tex]U_n=\frac{1-n}{1+n}=-\frac{n-1}{n+1}=-\frac{n\left(1-\frac 1 n\right)}{n\left(1+\frac 1 n\right)}=-\frac{1-\frac 1 n}{1+\frac 1 n}[/tex]

3. Ta question est-elle posée de façon générale ou porte-t-elle sur ce cas particulier ?
    Ici on sait maintenant qu'elle est majorée par 0.
    Il reste maintenant à trouver un minorant : c'est la raison de cette transformation d'écriture.
    Que devient Un lorsque n tend vers +oo ?
    Dans d'autres exercices, on conseille de chercher, dans le cas d'une suite définie de façon explicite, de calculer la dérivée f'(x) qui permet d'obtenir l'extremum...

@+

samo12

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Re : Montrer qu'une suite est bornée .

Bonsoir,
cette suite est majorée par 1 et minorée par -2 (par exemple) en effet, on a, quelque soit n entier positif, 1-n=<1+n donc (1-n)/(1+n)=<1
donc elle est majorée par 1 et pour montrer qu'elle est minorée par -2 il faut calculer la différence entre (1-n)/(1+n) et -2 et tu trouveras qu'elle est positive ce qui fallait démontrer ( tout cela est vrai que si n est un entier naturel).

yoshi

Modo Ferox

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Re : Montrer qu'une suite est bornée .

Bonjour,

j'ajoute une précision ce matin :
-1 est un minorant et le plus grand minorant parce que la suite est décroissante et que Un tend vers -1 quand n tend vers +oo.
En effet :
\(U_{n+1}=\frac{-n}{2+n}\)
et
\(U_{n+1}-U_n=\frac{-n}{2+n}-\frac{1-n}{1+n}=\frac{-n(1+n)-(1-n)(2+n)}{(1+n)(2+n)}=\frac{-2}{(1+n)(2+n)}\)
D'où
\(U_{n+1}-U_n<0\)  et  donc \(U_{n+1}<U_n\).

1 était aussi un majorant possible  : il a été parfaitement justifié et arrive de façon naturelle.
Par contre -2, bien que vrai, arrive un peu "comme un cheveu sur la soupe", c'est d'ailleurs pourquoi je pense samo12 a ajouté "par exemple" entre parenthèses.
Cela dit, je le répète,  c'est juste aussi.

@+

peuks

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Re : Montrer qu'une suite est bornée .

@Yoshi .

Tout d'abord les explications sont assez claire et je comprends beaucoup mieux . Merci !

Tu as dit que la suite est majoré par 0. Il me semble que tu as fait les calcules pour n différent de 0 et donc que 1 est le majorant de la suite
C'est se que tu dit d'ailleurs dans ton dernier message ... Du coup j'ai pas très bien compris le 0 comme majorant pour la suite .

En ce qui concerne le minorant faire Un+1 -Un est enfantin et en fin de compte facile à trouver !

Maintenant qu'on connait min et max de la suite Un . Comment fais tu pour démontrer l'existance de ces bornes ? Est ce à ce moment là qu'il faut utiliser la caractérisation des bornes SUP/INF  ou alors la propriété d'Archimède .

Ma bête noire , c'est bien la chapitre sur les réels ...

yoshi

Modo Ferox

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Re : Montrer qu'une suite est bornée .

Salut peuks,

Je me suis relu...
J'ai écrit : 1 était aussi un majorant possible.

Oui, 1 est bien un (parmi d'autres) majorant de la suite, un parmi beaucoup d'autres ...

Mais 0 en est un aussi : c'est même le plus petit des majorants.
En effet, je t'ai montré que
* pour n =1 alors U1 = 0
* pour n>1, alors Un < 0

Donc, pour n >= 1, Un <=0.
Et j'ai aussi ainsi pu répondre au passage à ta question : Pourquoi la suite devient négative ? en disant :
elle ne devient pas négative, elle est négative (ou nulle).

Relis bien mes deux réponses et tu verras que ce soir, je n'ai rien dit d'autre...

C'est bon cette fois ?

@+

[EDIT]
Ça y est, je viens de comprendre...
Ta définition est juste, oui, mais pour x...
Là, tu cherches un minorant et un majorant de \(U_n\)  pas de n !!!

Dernière modification par yoshi (26-10-2011 20:38:28)

peuks

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Re : Montrer qu'une suite est bornée .

Salut ,

Je profite de mes derniers jours d'internet pour remercier tout le monde et oui ça va beaucoup mieux .
Il me reste à voir dans quel cas doit s'appliquer l'archimédien et la caractérisation de la bornes sup/inf pour ( je pense ) démontrer l'existance borne sup /inf

Merci !

Al MOUKHTAR

Invité

Re : Montrer qu'une suite est bornée .

Bonjour
Soit À une partie de R tel que
A= {(-1) puissance n + 1/n√n) quel que soit n appartenant à N étoile}
A est il majoré, minoré
A admet il borne inf ,borne sup , plus grand élément, plus petit élément.

Merci d'avance.