Un problème pour tous, tous pour un problème!

Golgup · 20-10-2011 22:20:09

Hi,

C'est vraiment la devise de ce forum...

Bref, il s'agit d'un petit problème très intéressant (à mon goût!)

Montrer l'assertion suivante

La somme des chiffres du produit de deux rep-units est égale au produit de la sommes des chiffres qui les composent

[edit] Désolé, la fatigue m'a fais ecrire une betise, que j'ai rectifiée

Dernière modification par Golgup (21-10-2011 08:17:12)

yoshi · 21-10-2011 07:19:46

Salut Golgup,

J'ai rectifié ton post, suite à ton PS2 (Sony n'en-est-il pas déjà à la PS3 ? Tu es en retard...) : c'est ça que tu voulais ?
Il faut faire précéder l'accolade de l'anti-slash : \{ ou \}

@+

yoshi · 21-10-2011 08:57:39

Re,

...et dont tout le monde peut chercher la solution ! (certains ne pourront plus dire qu'il n'ont rien compris !)

1. C'est la première fois de ma vie que je vois l'expression rep-unit... Moi, c'est normal, tout un chacun a déjà pu juger par le passé de mon inculture crasse ;-).
Cela dit, je ne dois pas être le seul à ne jamais avoir rencontré ce terme...
Alors, cher Golgup :
* Tout le monde peut chercher la solution. Oui à condition de
- savoir ce qu'est qu'un rep-unit : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ … epUnit.htm
- savoir (se souvenir) de ce qu'est un isomorphisme d'anneau. Sinon, on ne voit pas bien le rapport entre tes 2 versions.
As-tu prouvé que \(G+\{0\}\) est un anneau (pour parler d'isomorphisme d'anneaux avec \(\mathbb{Z}\)) et pour quelles lois de composition internes ? +,x ?
Moi, personnellement, je n'en mange pas tous les matins à mon pt'it déj : ma dernière dégustation doit remonter à 40 ans...
Je sais ! Certains (même) jeunes depuis beaucoup plus longtemps que moi (selon le bon mot de freddy), savent sûrement encore !
Bravo à eux !!!!
[EDIT] La première version de Golgup demandait cette preuve.
Apparemment, il l'a supprimée. Du coup ce point devient incompréhensible.
N'en tenez pas compte.
* (certains ne pourront plus dire qu'il n'ont rien compris !) alors là, va falloir qu'on m'explique où est le rapport...

Maintenant, je vais donc peut-être (parce que ce n'est plus vraiment ma tasse de thé, désolé) regarder de plus près ce que tu nous proposes.
Mais, vu ma faiblesse intellectuelle patente, je n'ai que peu d'espoirs...

@+

Dernière modification par yoshi (21-10-2011 11:49:57)

yoshi · 21-10-2011 09:15:41

Salut

Une timide ébauche de proposition
Je vais noter par \(1_{\overline n}\) le nombre composé de n chiffres 1 et par \(S_{\overline n}\) la somme de ses chiffres.
S_{n = n}
Soient les nombres \(1_{\overline n}\) et \(1_{\overline m}\).
On a S_m * S_n = m*n
Or \(1_{\overline m} \times 1_{\overline n} = (10^{m-1}+\cdots+10^1+10^0)(10^{n-1}+\cdots+10^1+10^0)\)
Je suppose n et m > 2 pour la cohérence de l'écriture...
Le produit \(1_{\overline m} \times 1_{\overline n}\) est donc le produit de 2 sommes, comprenant respectivement m et n et chiffres.
Le produit sera donc composé -avant réduction- de m*n termes dont la somme des chiffres vaudra 1.
Je sais ! Je n'ai pas tenu compte du cas ou l'un des 2 nombres est négatif...
C'est pourquoi j'ai écrit timide ébauche.

Un problème peut peut-être se poser à la réduction en cas de retenues...

@+

[EDIT] Pense à te coucher plus tôt aussi ! Ça peut servir...

Dernière modification par yoshi (21-10-2011 11:53:00)

freddy · 21-10-2011 11:08:25

Salut,

je ne connaissais pas non plus le terme, pourtant je cause le suisse romand à la perfection ...

Pour l'isomorphisme d'anneau, c'est encore bon, mais le blème est que je n'ai pas encore compris où était le blème.

Pour cela, je fais confiance aux bonnes fréquentations du site : je connais au moins un cador qui va nous pondre une soluce d'une lumineuse simplicité.

Bises de Bâle !

yoshi · 21-10-2011 12:07:58

RE,

D'un seul coup, je me suis dit que je devais tester cette histoire de retenues.

Avec mes notations
\(a=1_{\overline{23}}=11111111111111111111111 \quad ;\;S_a=23\)
\(b=1_{\overline{12}}=111111111111 \quad;\;S_b=12\)

\(a*b = 1234567901233333333333320987654321\quad;\;S_{a*b} = 123\)

Mais \(S_a * S_b\) se termine par 6...

J'ai raté quelque chose quelque part ?

Euh... Golgup, tu écris :

La somme des chiffres du produit de deux rep-units est égale au produit de la somme des chiffres qui les composent
Veux-tu bien dire : au produit des sommes des chiffres des deux rep-units ?
Peut-être que je comprends mal ce que tu demandes ?

@+

[EDIT]
Mon exemple marche modulo 9...
\(S_a \equiv 5\quad (9)\)
\(S_b \equiv 3\quad (9)\)
\(S_a*S_b \equiv 6 \quad (9)\)
et \(S_{a*b} \equiv 6 \quad (9)\)

Dernière modification par yoshi (21-10-2011 12:32:06)

yoshi · 21-10-2011 13:58:16

Re,

Je précise ma pensée...
J'ai d'abord testé cet exemple a=111, b =11
S_a=3, S_b = 2 et S_a * S_b = 6
a*b = 1221 et S_a*b = 6.
Là, ça colle...
Pour mieux voir, j'avais posé :
111
x 11
-------------
111
111
------------
1221
Puis j'ai imaginé d'écrire \(111 = 10^2+10^1+10^0\) et \(11 = 10^1+10^0\)
Puis d'écrire
\(11 \times 111 = (10^1+10^0)(10^2+10^1+10^0) = 10^1\times 10^2+10^1\times 10^1+10^1\times 10^0+10^0\times 10^2+...\)

A partir de là, j'ai échafaudé ma théorie que j'ai expliquée plus haut et que j'ai ensuite mise en clair, m'apercevant que ça ne colle pas !
Dans l'exemple ci-dessus, le problème est qu'il n'y a pas de retenue.
J'ai donc réfléchi en cherchant un exemple avec retenues : pour "amorcer la pompe", je me suis dit qu'a un moment donné, il fallait ajouter au minimum 10 nombres 1, donc avoir un multiplicateur supérieur ou égal à 1 111 111 111...
Pour faire bonne mesure j'ai choisi un nombre composé de de douze 1...
Comme j'avais la flemme de calculer, je suis passé à Python, j'ai tapé onze 1 de suite, puis fausse manoeuvre j'ai collé b à la suite...
Et je me suis retrouvé avec un nombre a composé de vingt-trois 1 que j'ai laissé...
J'ai lancé les calculs...
a = 11111111111111111111111 ; b = 111111111111 et a * b = 1234567901233333333333320987654321
J'ai écrit une boucle calculant la somme des chiffres : S_a*b = 123
Et S_a = 23 et S_b = 12 d'où S_a * S_b = 23 * 12 = 276
Ça ne colle pas...

D'où ma question à Golgup :
Golgup, demandes-tu bien de prouver que S_a * S_b = S_a*b ?
Si oui, alors la proposition de Golgup est fausse : je tiens un contre-exemple...

Parce que j'ai été tellement laminé que maintenant j'en arrive à douter de bien lire ce qui est demandé...

Mais, rassurez-vous, je n'ai au moins pas de doutes sur mon savoir jusqu'en classe de 5e... ;-))

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[HORS-SUJET]
Et puis, le mot "retenues" m'a fait penser à "la preuve par 9" (allez savoir pourquoi !) et j'ai décidé de vérifier si mon exemple était vrai modulo 9 quand même...
La réponse est oui, ce qui ne prouve absolument pas que c'est vrai quels que soient les nombres de chiffres...
Ne me faites pas dire ce que je n'ai pas dit...

Précision encore : Golgup n'a rien demandé concernant modulo 9.
[/HORS-SUJET]

@+

nerosson · 21-10-2011 14:14:06

Salut à tous,

Je revendique hautement le droit de dire, aussi souvent que je voudrai, que je n'ai rien compris. Sinon, à quoi sers-je sur ce site ? ?

Dans le cas présent, n'ayant pas la prétention de prouver quoi que ce soit, j'ai voulu au moins vérifier la vérité de l'affirmation formulée.

J'ai donc pris comme repunits 77 et 11.

La somme des chiffres du produit : 77 x 11 = 847. 8 + 4 + 7 = 19

Produit de la somme des chiffres qui les composent : 7 + 7 = 14, 1 + 1 = 2, 14 x 2 = 28.

ca ne colle pas ! N' ai-je pas ainsi réussi à prouver que je n'ai rien compris ? ?

P.S. yoshi, tu me préoccupes ! On te sent encore très abattu : Cheer up !, n... de D... !

Dernière modification par nerosson (21-10-2011 14:25:44)

yoshi · 21-10-2011 14:16:53

Salut nerosson,

Remballe ton 77.
Rassure-toi, je n'ai découvert que ce matin (et freddy aussi !) l'existence du surnom rep-unit donné aux nombres composés exclusivement de 1.

@+

jpp · 21-10-2011 14:28:20

bonjours à tous.

j'avais vu comme un problème et j'avais meme posté une réponse dont la formule était éronnée.

et finalement pour reprendre l'exemple de yoshi dans sa multiplication il y a 17 retenue et donc:

S = 276 - 17 x 9 = 123

maintenant il y a sans doute une formule pour trouver le nombre de retenues.

n.b. j'ai encore appris aujourd'hui.

à plus.

pour trouver 17 je crois qu'il faut retrancher 2 fois 9 à la somme a + b = 23 + 12 --> 17 = a + b -18

Dernière modification par jpp (21-10-2011 14:39:34)

nerosson · 21-10-2011 14:45:06

Salut à tous,

@yoshi,

Pardonne-moi, j'ai lu trop sommairement la définition des rep-units et j'ai confondu rep-units et rep-digits....

Maintenant, j'ai compris et vérifié l'énoncé du problème. Pour moi, c'est déjà bien !

jpp · 21-10-2011 14:59:57

re.

j'avais pris le problème comme ceci :
je pose ma division sur laquelle j'écris tout simplement a fois b le chiffre 1 ex. avec 111111 x 111

111111
111111
111111
-------------
12333321

dans ce cas la somme des chiffres du résultat est bien entendu égal au nombre total de 1

parce qu'il n'y a pas de retenue .

amatheur · 21-10-2011 15:29:43

salut tout le monde
moi aussi c'est la premiere fois que j'enttend ce terme :)
voila la solution que je propose.
soit deux rep-units:

[tex]{R}_{p}={10}^{0}+....+{10}^{p} et\,\,\,{R}_{q}={10}^{0}+...+{10}^{q}\,\,[/tex]

il contiennent p+1 et q+1 termes respectivement. supposons que p>q
[tex]\sim \,\,{R}_{p}\times {R}_{q}=\left(\right)1{{0}^{0}+...+1{0}^{q}+...+1{0}^{p}) +......+\left(1{0}^{q}+....+1{0}^{p+q}\right) }_{} [/tex]
[tex]\Rightarrow \,{R}_{p}\times {R}_{q}=1.1{0}^{0}+...+q.1{0}^{q-1}+\left(q+1\right)\left(1{0}^{q}+...+1{0}^{p}\right)+q1{0}^{p+1}+...+1.1{0}^{p+q}[/tex]

et il en sort que la somme S DEMANDEE EST EGALE
[tex]\Rightarrow \,S=\frac{1}{2}q\left(q+1\right)+\,\left(q+1\right)\left(p-q+1\right)+\frac{1}{2}q\left(q+1\right)=\left(p+1\right)\left(q+1\right)\,\,\,\,cqfd [/tex]

sauf faute bien sur comme dit freddy! j’espère que c'est la bonne réponse.
ps: j'arrive pas à corriger l’énoncé des deux rep-unit, je m'en excuse.

Dernière modification par amatheur (21-10-2011 15:44:47)

yoshi · 21-10-2011 16:04:13

Salut amatheur,

Première ligne rectifiée, c'est bon ?
Tu commençais par le caractère d'échappement \ : Mathjax visiblement n'aime pas...
Tu écrivais ensuite 1{0}^{p} et non {10}^{p} preuve au passage que tu utilises l'éditeur d'équation (il est là pour ça) de Fred : "à la main", tu aurais écrit 10^p, mais 10^{p+1}...

Bon, qu'est-ce que tu entends par : il en sort que la somme S DEMANDEE EST EGALE... ? et aussi est égale à quoi ?

Si tu veux dire par là que la proposition de Golgup est juste, alors j'ai sorti (post #6) le contre-exemple suivant (pas fait exprès !) :

a = 111111111111111111111111 (vingt-trois 1) ; S_a = 23
b = 111111111111 (douze 1) ; S_b = 12
S_a * S_b = 23 * 12 = 276
Mais a * b = 1234567901233333333333320987654321 et S_a*b = 123

Donc \(S_a \times S_b \neq S_{a*b}\)

@+

amatheur · 21-10-2011 16:34:35

salut
oui c'est bon , merci pour la correction.
par S je veux dire la somme des chiffre du produit de deux rep-units; cependant votre contre exemple est tout à fait pertinent , ceci prouve que ma démarche est fausse, mais je n arrive pas à dénicher la faute :). j'y travaille..
A+

yoshi · 21-10-2011 16:45:36

Re,

Mathjax est bien moins laxiste que nos anciens serveurs Latex externes : il ne laisse rien passer.
En consultant mes anciennes contributions, je vois souvent des erreurs non détectées avant.
Tout le monde est logé à la même enseigne, rassure-toi !

Moi aussi j'avais essayé de passer par le produit des 2 décompositions en sommes de puissances de dix, jusqu'à ce que je me rende compte qu'on ne gérait pas du tout les retenues éventuelles qui mettent tout en l'air...

Par contre, j'ai bien l'impression (pas du tout de certitude) que la propriété pourrait bien être vraie modulo 9...
J'ai bien commencé à y réfléchir, mais je ne vois pas trop comment gérer les retenues : jpp a ouvert une porte, je suis en train d'essayer de voir ce qu'il y a derrière...

@+

[EDIT]
J'aurais dû voir ça tout de suite.
C'est normal : y a pas à chercher midi à quatorze heures, c'est le principe même de "la preuve par 9" : tant que les multiplications seront justes, la preuve sera juste... !!!
Mais il peut y avoir preuve juste avec multiplication fausse !

Dernière modification par yoshi (21-10-2011 20:43:43)

yoshi · 22-10-2011 09:39:29

Re,

A propos du problème des retenues.
Supposons que le produit a* b me donne assez de chiffres pour qu'elles interviennent.
De droite à gauche, les 9 premiers chiffres du produit sont 987654321, la dixième somme verticale devient 10.
La somme de ces chiffres était jusqu'à présent S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 : si 10 était un chiffre, elle deviendrait S = 45+10.
Mais 10 n'étant pas un chiffre on se retrouve avec un 0 et une majoration de 1 - la retenue, sur le suivant...
Le compte n'y est pas...

@+

jpp · 23-10-2011 13:26:06

Salut à tous.

je propose une formule pour les nombres dont les produits génèreront des retenues.

c'est une formule un peu lourde qui demandera à etre confirmée ou infirmée.

pour la déterminer , je me suis amusé sur du papier petit carreau et j'ai rempli une grille x y avec des 1

ce qui est une autre méthode pour effectuer une multiplication, car il suffit d'additionner les diagonales descendantes

c.a.d. les diagonales à -45° ou 135° puis de porter le résultat en bas de ces diagonales , en ajoutant évidemment
les retenues.

auparavant je vais poser R(x) et R(y) les 2 rep-units , x étant le nombre de lignes et y , le nombre de
colonnes.

l'écriture suivante : E(y/9) et R(y/9) désigneront respectivement la partie entière de y/9 et le reste de
la division de y par 9 .

la somme des chiffres du produit R(x).R(y) se formulerait ainsi: avec R(x) > ou = R(y)

[tex]S = 37\times{E\left[\frac{y}{9}\right]} + R\left[\frac{y}{9}\right]\times{\left[(x-y+R\left[\frac{y}{9}\right]\right]} - 1 + 44\times{\left[E\left[\frac{y}{9}\right] - 1\right]} + 45[/tex]

après simplification.

[tex]S = 37\times{E\left[\frac{y}{9}\right]} + R\left[\frac{y}{9}\right]\times{\left[(x-y+R\left[\frac{y}{9}\right]\right]} + 44\times{E\left[\frac{y}{9}\right]} [/tex]

à vérifier.

à plus.

Dernière modification par jpp (13-11-2011 13:26:17)

yoshi · 23-10-2011 14:31:35

Re,

Hello Golgup ? T'es malaade ? Nan ?

@jpp
Oui, je connais : cette méthode est repertoriée sous le nom de multiplication arabe.
http://www.recreomath.qc.ca/dict_arabe_ … cation.htm

Connais-tu par contre le multiplication maya (signalée par fred y a un paquet de temps) ?
http://www.youtube.com/watch?v=cflVtgKZU90
Impressionnant de vitesse...

@+

jpp · 23-10-2011 14:44:27

Salut yoshi.

je viens de voir la video , c'est assez original. ils ont quand meme de sacrés notions géomètriques.

ils comptent aussi vite que les chinois avec leur boulier.

Golgup · 01-11-2011 22:25:22

Bonjour!

Désolé de répondre si tard, je n'ai pas trouvé le temps avant...

Aussi, vous avez raison, ca ne marche que pour les couples de rep-units plus petits que 1111111111!
J'avais posté trop hâtivement , en m’étant dis que je regarderais pour la demo le lendemain matin... Bonne leçon!

Aussi,

* (certains ne pourront plus dire qu'il n'ont rien compris !) alors là, va falloir qu'on m'explique où est le rapport...

C’était un clin d'oeil à nerosson qui souvent nous fais cette remarque!

@+!

nerosson · 02-11-2011 14:19:38

Salut à tous,

@Golgup,

Ca n'est pas de l'esprit de contradiction, mais il se trouve que là, j'ai compris la plus grande partie des posts. Il n'y a guère que jpp que je n'ai pas réussi à suivre vers des sommets qui me flanquaient le vertige. J'ai quand même été très intéressé.

Cependant, j'ai à me reprocher ma confusion entre rep-units et rep-digits. C'était nouveau pour moi, mais, semble-t-il, je n'étais pas le seul.

Merci aussi pour les multiplications arabe et maya. J'ignorais ça complètement.

Il y a aussi une question que je me pose depuis longtemps sans pouvoir y répondre, mais les nombreux enseignants qui fréquentent ce site doivent pouvoir "m' ôter d'un doute" : avec la prolifération des calculettes (généralement autorisées) est-ce que, de nos jours, le potache moyen sait encore faire une multiplication ou une division un peu compliquée ?

Cordialement.

Dernière modification par nerosson (02-11-2011 14:44:23)

nerosson · 09-11-2011 17:24:09

Salut à tous,

Dans mon post précédent, j'avais posé une question qui m'intéresse beaucoup et à laquelle bon nombre des habitués de ce forum pourraient répondre d'un mot (encore que je préférerais une réponse un peu plus détaillée). Peut-être que ma question parait idiote à un enseignant, mais moi, je ne suis pas enseignant.

Un bon mouvement s'il vous plait !

yoshi · 09-11-2011 20:21:43

Bonsoir,

Désolé, je n'avais pas vu ton ajout...
A la sortie du primaire, à l'entrée en 6e n'est exigible que la division euclidienne (sans qu'ils en sachent le nom)
Au prog de la classe de 6e est dévolu la division avec un diviseur entier et un dividende décimal, prendre un pourcentage d'une quantité...
Pour la division avec un diviseur décimal, il faut attendre la 5e, ainsi que le calcul d'un pourcentage...
Pas de restrictions, par contre, sur les multiplications.
Pour les divisions, 50 % au moins posent les soustractions dans le divisions, ce qui a tendance à allonger terriblement la sauce...
Là, on comprend mieux le credo du prof de maths de Collège << On veillera à n'utiliser que des nombres fréquentables ! >>...
En ce qui concerne les fractions, en 6e, en principe, on ne doit (devait ?) n'utiliser, pour les additions et soustractions que des fractions décimales, puisque la multiplication des fractions se voit en 5e et la division en 4e...
Cela dit, on demande quand même à un élève de 6e d'être capable de calculer les 2/3 de 12 carreaux de chocolat...
Pour beaucoup, le trait de fraction et la virgule sont allègrement confondus...

Est-ce que ça s'améliore plus tard ?
Pas vraiment, parce que faire une interro sans calculette, ce serait la "cata" assurée...
Avec, ce n'est pas une assurance tous risques, hein...
Parce que beaucoup trop sans servent mal...
A preuve : les calculettes de collège font maintenant toutes tous les calculs de fractions et tous les calculs sur les nombres dits "complexes" ( h min s).
A la fin de 3e, lors du Brevet des Collèges, on trouve régulièrement des calculs de fractions du type 2/3 - 1/5 * 5/3...
On pourrait donc croire que tout le monde a juste : pourtant, il y a bien 30 % d'erreurs...
Ne parlons même pas des calculs mêlant décimaux et puissances de dix...

Maintenant, qui n'a pas de calculette chez lui et/ou ne s'en sert jamais ? Le calcul numérique à la main a-t-il encore un avenir ? On peut se poser la question quand on voit que dans le nouveau prog de 1ere S, il est dit -traduction libre de ma part (ce n'est pas dit aussi crûement) - qu'il ne faut pas trop bassiner les élèves avec les calculs des dérivées, mais les aiguiller sur des logiciels de "calcul formel"...

Et pour finir, je vais endosser les habits de l'avocat du diable.
Quand j'étais Lycéen dans mon programme de 4e, figurait l'apprentissage de la méthode de calcul d'une racine carrée "à la main"...
Je ne l'ai vue aujourd'hui dans aucun programme (ou alors ça a changé) et parmi les jeunes profs de Maths passés dans mon Collège, ceux à qui j'ai posé la question ne savaient pas faire...
Et alors ? La calculette fait ça très bien !
Doit-on le regretter ?

@+

Fred · 09-11-2011 20:30:46

Re-

Il y a actuellement un peu deux mouvements opposés.
D'une part, dans les petites classes (primaire, collège), il y a une vraie importance donnée au calcul mental.
L'idée est sinon d'obtenir le résultat de tête, d'en avoir au moins un ordre de grandeur.
D'autre part, au lycée, on va exactement dans la direction inverse.
Les nouveaux programmes demandent explicitement que, par exemple, les calculs
de dérivée un peu compliqués se fassent à l'aide d'un logiciel de calcul formel plutôt qu'à la main.
J'ai une opinion très réservée là-dessus. On ne peut pas faire vraiment confiance aux logiciels de calcul formel
pour calculer une dérivée (forme en général peu simplifiée), une limite ou une intégrale.
Un ami à moi a toute une batterie d'exemples très simples où tous les logiciels de calcul formel
échouent lamentablement.
Cela dit, ce que dit Yoshi à propos des racines carrées est juste : on ne peut pas faire comme
si ces logiciels ou calculettes n'existaient pas...

Fred.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 20-10-2011 22:20:09

Un problème pour tous, tous pour un problème!

#2 21-10-2011 07:19:46

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#3 21-10-2011 08:57:39

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#4 21-10-2011 09:15:41

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#5 21-10-2011 11:08:25

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#6 21-10-2011 12:07:58

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#7 21-10-2011 13:58:16

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#8 21-10-2011 14:14:06

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#9 21-10-2011 14:16:53

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#10 21-10-2011 14:28:20

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#11 21-10-2011 14:45:06

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#12 21-10-2011 14:59:57

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#13 21-10-2011 15:29:43

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#14 21-10-2011 16:04:13

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#15 21-10-2011 16:34:35

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#16 21-10-2011 16:45:36

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#17 22-10-2011 09:39:29

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#18 23-10-2011 13:26:06

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#19 23-10-2011 14:31:35

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#20 23-10-2011 14:44:27

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#21 01-11-2011 22:25:22

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#22 02-11-2011 14:19:38

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#23 09-11-2011 17:24:09

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#24 09-11-2011 20:21:43

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

#25 09-11-2011 20:30:46

Re : Un problème pour tous, tous pour un problème!

Pied de page des forums