Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

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De la notion d'encadrement à 10-n près

Bonjour,

Afin que le questionnement posé dans ma partie Entr'aide ne soit pas (plus) pollué inutilement, j'ai décidé de poser ici un problème soumis par ailleurs à Fred en privé

Bonjour,
soit g(x) = x + cox(x) = 2  et f(x) = x + cos(x) - 2
d'après le théorème des valeurs intermédiaires je prouve qu'il existe une unique valeur de x0 telle que x + cos(x) = 2.
On me demande de donner un encadrement d'amplitude 1O^(-2) près de la solution de g(x) = 2.
J'ai écrit écrit un algorithme de dichotomie qui nous indique que pour b-a < 0,01 on a : a < x0 < b où a=2,9863281... et b=2,9951171...
Mais le problème est que nous ne pouvons pas écrire 2,98 < x0 < 2,99 car on est sûr que f(2,98) <0 car f est strictement croissante et que f(2,9863281) <0 mais on ne sait rien sur f(2,99) si l'on sait seulemement que f(2,9951171)>0.
Donc si j'ai bien compris pour avoir un intervalle de x0 à 0,01 près, il faut trouver a et b tels que b-a < 0,001 et l'algorithme me donne alors a = 2,9879761... et b = 2,9885524... donc je peux dire que 2,98 < x0 < 2,99 dans ce cas.
merci beaucoup,
Cédric

J'avais répondu à Cedric, en résumé :
Comment ça :  mais on ne sait rien sur f(2,99) si l'on sait seulemement que f(2,9951171)>0. ?
Bien sûr que si que l'on sait quelque chose sur f(2.99) : f(2.99) \(\approx\) 0.0014681791726 > 0
Et d'autre part f(2.98) \(\approx\) -0.00697229269604 < 0...
On peut donc bien encadrer la solution x0 à 0,01 près : 2.98 < x0 < 2,99

Salut Fred,

   Une autre remarque. On te demande un intervalle d'amplitude 10^-2.
Ca ne veut pas forcément dire qu'on veut un encadrement par deux nombres avec deux chiffres après la virgule.
Par exemple, avec tes valeurs numériques, 2,986<x0<2,996 est une réponse possible à la question posée
(la différence entre les deux nombres de l'intervalle est 10^-2).

Je lis ce matin ce qui précède et je m'interroge du coup...
2,986<x0<2,996 est une réponse possible à la question posée : oui, c'est vrai...
Mais ça me perturbe !
On m'a appris et j'ai toujours enseigné que donner un encadrement d'amplitude 10^-2 près, c'était encadrer à 2 chiffres après la virgule...
Alors, j'ai fouillé mes bouquins puis Internet : tous se gardent bien de donner une définition, mais préfèrent prendre le problème à l'envers en précisant que [a ; b] est un intervalle d'amplitude b - a : Une tautologie (pour moi)...

Un bouquin de 2nde consulté dit même :
On a \(1,414 \leq \sqrt 2 \leq 1,415\) : c'est un encadrement de \(\sqrt 2\) à 0,001 près

Et je n'avais jamais prêté garde qu'il était écrit un encadrement...
Donc, si on lit entre les lignes, il y en a d'autres...
Ici, je peux donc aussi écrire \(1,4142 \leq \sqrt 2 \leq 1,4152\).
Dont acte !

Cela dit, me voilà aux prises avec un problème métaphysique (existentiel ?) majeur ^_^...
En effet :
1,414 est la troncature de \(\sqrt 2\) à 0.001 près, donc  la valeur approchée par défaut
1,415 est la valeur approchée de \(\sqrt 2\)  à 0,001 près par excès.
Donc, plus précisément : \(1,414 \leq \sqrt 2 < 1,415\)

Et 1,4152 > 1,415... Sachant que 1,415 est déjà la valeur approchée à 0,001 près par excès, est-ce que donner 1,4152 comme borne a un sens ?  Ou alors, c'est la Physique qui remonte des tréfonds de mon subconscient ?
Je veux bien parier que erichof aussi va être surpris.

Quoi qu'il en soit, petite précision pour erichof : il y a des cas où on ne peut pas faire autrement que de procéder comme il le dit.
Exemple : donner un encadrement de \(\frac{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2}{2}\) d'amplitude 10^-4.

Sachant que :
\(1.73205 < \sqrt 3 < 1.73206\)  alors \(3,46410 < 2\sqrt 3 < 3,46412\)
et
\(1.41421 < \sqrt 2 < 1.41422\) alors \(4.24263 < 3\sqrt 2 < 4,24266\)
D'où :
\(3.85336 < \frac{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2}{2} < 3.85339 \)
et :  \(3.8533 < \frac{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2}{2} < 3.8534 \) on peut toujours élargir un intervalle, pas le rétrécir.

Si j'avais pris des valeurs directement à 10^-4 près, mon encadrement aurait été ]3.8533 ; 3.8536[ et je ne pouvais conclure...

J'ai pris un exemple avec une somme parce qu'avec une différence, cela aurait induit une autre difficulté hors de propos.

@+

Je maintiens que le cas de la différence était hors de propos, mais j'ajoute que c'était faire injure à erichof de supposer qu'il ne saurait se tirer d'affaire dans ce cas : c'était encore du programme de 4e, il y a quelques années.
En outre, c'était introduire un bruit de fond inutile dans les réponses à son souci.
Si besoin s'en était fait sentir, il eut été tout à fait possible d'en remettre une couche après.

Tiens, c'est sur le site du CNDP que j'ai trouvé :
[a ; b] est un intervalle d'amplitude b - a...
Mais qu'en est-il de ]a ; b[ ? il y manque les deux valeurs a et b.
N-B : on ne se pose pas ce genre de questions en Collège/Lycée...

J'aimerais donc ouvrir un débat sur le sujet et avoir la réponse de Fred prioritairement à toute autre (avant d'avoir celle, rituelle, frisant le ridicule dans le pontifiant).
Le modo veillera, lui, tout particulièrement à la bonne tenue de cette discussion.

@+

Fred

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Salut Yoshi,

  Je crois que tu as déjà tout dit dans ton message.
Effectivement, [tex]1,4142\leq \sqrt 2\leq 1,4152[/tex] est un encadrement à 10^-3 près.
Est-il meilleur ou moins
bon que [tex]1,414\leq \sqrt 2\leq 1,415[/tex]?
Les deux mon camarade. Tu dis que 1,4152>1,415, donc que 1,4152 n'est pas intéressant.
Certes, mais 1,4142>1,414, et donc 1,414 n'est pas intéressant lui non-plus.

Ici, tu as un avantage, car tu sais a priori que  [tex]1,414\leq \sqrt 2\leq 1,415[/tex]. Mais si tu ne connais pas les valeurs décimales par excès et par défaut, un encadrement à 10^-3 près avec plus de décimales a tout à fait un sens. Et parfois, on ne peut pas faire mieux (si par exemple tu ne pouvais pas calculer f(2,99) pour une raison ou une autre...).

Fred.

totomm

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Bonsoir,

J'ai pris un exemple avec une somme parce qu'avec une différence, cela aurait induit une autre difficulté hors de propos.

Yoshi s'est fâché parce que j'ai signalé qu'il n'y avait pas de différence dans l'addition des encadrements, aussi bien pour une différence (addition d'une valeur négative) que pour une somme : Je maintiens.

cordialement

tibo

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Salut,

J'aimerais donc ouvrir un débat sur le sujet et avoir la réponse de Fred prioritairement à toute autre (avant d'avoir celle, rituelle, frisant le ridicule dans le pontifiant).

Es-tu devin?

Sinon pour ton débat, je n'ai rien a ajouter sur les encadrement. Tout a été dit, et bien dit.
Une réponse néanmoins à ta dernière question:

[a ; b] est un intervalle d'amplitude b - a...
Mais qu'en est-il de ]a ; b[ ? il y manque les deux valeurs a et b.

Par amplitude de [a, b], on entend longueur de l'intervalle [a, b],
si L( [a, b] ) est la longueur de [a, b] (avec L la mesure de Lebesgue (mais là ce n'est plus du tout Collège/Lycée))
on a [a, b] = {a} U ]a,b[ U {b} est une partition de [a, b]
donc par définition d'une mesure
L( [a, b] ) = L( {a} ) + L( ]a, b[ ) + L( {b} ) = L( ]a, b[ )
car L( {a} ) = L( [a, a] ) =0

en résumé, tu peux enlever les bornes d'un intervalle pour calculer sa longueur, car un singleton est de mesure nulle ie de longueur nulle.

Dernière modification par tibo (17-10-2011 22:26:33)

yoshi

Modo Ferox

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Re,

Yoshi s'est fâché parce que j'ai signalé qu'il n'y avait pas de différence dans l'addition des encadrements, aussi bien pour une différence (addition d'une valeur négative) que pour une somme.

Ah ! ah ! ah !...
Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier d'alu...
Mais bien sûr !
Affabulation qui, si elle n'était aussi ridicule, éloignée de la réalité et grotesque, serait limite insultante...
Apprends à lire et à te relire !

Je ne veux plus rien avoir de commun avec ta personne et ne te ferai plus l'honneur de te répondre, garde ta cordialité de façade pour les autres, s'ils en veulent.
Par contre, à l'avenir, le modo agira, lui,  en supprimant tout post où tu me prendras, et les autres lecteurs avec moi, pour un imbécile.
Tiens-toi le pour dit...

L'un des albums BD de la série "Le génie des Alpages" du dessinateur suisse F'murr avait pour titre : "Barre-toi de mon herbe ! "...
Je t'évite, tu m'évites...
Domo Arigato Gozaï Mashita !

@tibo.
Non, je ne suis pas devin, pas nécessaire... !
Oscar Wilde ne disait-il pas,  malicieusement :
Je peux résister à tout... sauf à la tentation !

Par amplitude de [a, b], on entend longueur de l'intervalle [a, b],

Ça, je savais quand même, hein... ^_^
Mon interrogation, qui ne m'est venue qu'en inaugurant cette discussion tout à l'heure, était une sorte d'aparté : ta démonstration est claire et m'apporte la confirmation de ce que je pressentais (jamais étudié la mesure de Lebesgue) en questionnant...
Pour le reste, je reviendrai sur la réponse de Fred, toute en finesse : je ne suis qu'à moitié satisfait.
J'y réfléchirai demain...

@+

[EDIT]
Tiens, une question subsidiaire.

A quoi correspond la longueur ou l'amplitude d'un intervalle ? Dans \(\mathbb{N}\) ? Dans \(\mathbb{R}\) ?
A quoi correspond et non "comment calcule-t-on".

Dernière modification par yoshi (18-10-2011 07:58:18)

tibo

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Re,

Pour répondre à ta question subsidiaire, cela repose sur la théorie des mesures :
Sans rentrer dans les détails, prenons A , un ensemble et X(A) , un ensemble de parties de A (respectant certaines propriétés, appelé tribu)
Une mesure est une application [tex]L : X(A) \rightarrow \mathbb{R}^+[/tex] telle que :   
[tex]L( \varnothing ) = 0[/tex] 
et si [tex]E, F \in X(A)[/tex] disjoints alors L( E U F ) = L( E ) + L( F )

Pour [tex]A=\mathbb{R}[/tex]   
[tex]X(\mathbb{R} ) [/tex] contient tout les intervalles, et leurs unions et intersections (appelé tribu borélienne de [tex]\mathbb{R}[/tex])
On définit la mesure de Lebesgue comme l'unique mesure invariante par translation telle que L( [0, 1] ) = 1
La longueur d'un intervalle [a, b] = L( [a, b] )

Pour [tex]A=\mathbb{N}[/tex]   
Je ne pense pas qu'on puisse parler d'intervalles sur [tex]\mathbb{N}[/tex]
Cependant, il existe la mesure de comptage, qui compte le nombre d'éléments d'un ensemble.

Voila, j'espère avoir été clair

Dernière modification par tibo (17-10-2011 23:27:33)

yoshi

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Salut,

Merci.
Je dois m'absenter pour la journée, je reverrai ça ce soir.
Mais je veux ajouter que -une intuition ?- je suis allé voir dans la discussion ouverte par erichof pour copier le post de totomm qui a déclenché mon ire...
Et bien, pas de chance ! Paf ! Disparu...  Vraiment pas de chance, hein ? Que prouver maintenant ?
De plus on pourrait croire que c'est Fred qui m'a fâché, ce qui serait inexact  !
C'est une bonne leçon pour moi : je stockerai dorénavant !

@+

freddy

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Bonsoir,

J'ai pris un exemple avec une somme parce qu'avec une différence, cela aurait induit une autre difficulté hors de propos.

Yoshi s'est fâché parce que j'ai signalé qu'il n'y avait pas de différence dans l'addition des encadrements, aussi bien pour une différence (addition d'une valeur négative) que pour une somme : Je maintiens.

cordialement

Salut tontom,

manifestement, tu ne connais pas le pouvoir de pollution dans l'esprit d'une jeune tête blonde ou brune du mot "soustraction", comme "noyau", ou bien "libre".

Le môme t'entend parler de soustraction, et tout de suite ressortent de son esprit les difficultés de soustraire avec ou sans retenue ( toi, manifestement, c'est sans retenue que tu ne peux te soustraire) ... et hop, voilà la confusion s'emparer de son jeune esprit et tout ce que tu peux dire n'est pas entendu, car le gamin est déjà loin ailleurs.

Donc l'idée est la suivante : au lieu d'évoquer une publication de LEVY (tu pourrais nous dire qui est cet homme, stp ? tu penses à Paul, bien sûr !) dans un opuscule du laboratoire du CNRS de l'UMPC dans la rubrique "entraide collège et lycée", ouvre un topique dans la rubrique "café mathématique" et disserte à l'envi pour ton bien et celui de tous ceux en capacité de te suivre. C'est précisément l'objet de la rubrique.

Tu vois l'idée ?

Par exemple, là, tu peux rééditer ta prouesse de l'autre jour, le sujet a été ouvert dans cette perspective.

Allez, bise au chat, remonte le chien et n'oublie pas de sortir la pendule.

Dernière modification par freddy (18-10-2011 08:55:43)

totomm

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Bonjour,

...copier le post de totomm...

J'avais toute raison de supprimer un post quand a auparavant disparu ce qui motivait mon intervention...

@ freddy : oui, je faisais allusion à une publication du renommé Paul Lévy qui peut-être vous a marqué vous aussi ...

Quant aux leçon de pédagogie et aux petites remarques condescendantes, elles sont plutôt aberrantes. Si la soustraction pose autant de confusion dans un jeune esprit, raison de plus pour ne pas laisser entendre un traitement spécial dans l'addition des encadrements (niveau collège/lycée) : C'est tout ce que je voulais signaler

Et je ne me suis même pas risqué à souligner la confusion entre "encadrement d'amplitude 10-2 près, et encadrer à 2 chiffres après la virgule... ", ce que Fred venait de relever.
J'aurais bien préféré dire que lorsque l'on cherchait un encadrement c'était pour délimiter une incertitude sur le résultat d'un calcul ou d'une mesure, ce qui est bien différent d'arrondir pour présenter un résultat sans trop de décimales

L'accès à ce site internet est apparemment ouvert et libre, tant que les règles de courtoisie et le règlement du Forum sont respectées. J'ai plaisir à venir y exercer mes neurones mathématiques (Citation de Fred)
Chacun peut faire des erreurs ou des omissions : Qu'elles soient simplement corrigées ou complétées ne devrait choquer personne

Cordialement

freddy

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Re

J'aurais bien préféré dire que lorsque l'on cherchait un encadrement c'était pour délimiter une incertitude sur le résultat d'un calcul ou d'une mesure, ce qui est bien différent d'arrondir pour présenter un résultat sans trop de décimales

OK, mais crois tu sincèrement que tu devais le faire dans le topique du jeune homme qui a déjà un peu de mal à comprendre certaines notions qui nous paraissent simples ?

De quoi souffres tu, au juste ? D'un défaut de reconnaissance ? D'un besoin d'exister, de te montrer ?

Je te propose de poster ton CV avec tes titres et diplômes, tes principales réalisations, tes projets actuels, tes travaux en cours, tes idées de recherches ... et on verra, en concertation avec les autres petits camarades, si on peut t'accepter dans notre modeste communauté ;-)))

Ce serait par exemple intéressant que tu nous parles dans cette rubirque un peu de la publication de P. Lévy à laquelle tu faisais allusion, à la manière de nerosson dans sa dernière intervention en crypto. au sujet d'un code utilisé par les Italiens durant l'affaire Dreyfus.

Je ne peux pas te dire mieux.

L'accès à ce site internet est apparemment ouvert et libre, tant que les règles de courtoisie et le règlement du Forum sont respectées

Sous l'Ancien Régime, ces règles là étaient aussi très bien respectées, et pour les contourner, on inventa un langage réservé à ceux qui pouvaient l'entendre : le contrepet ou "l'art de décaler les sons". :-)

Ce respect de pure façade est pour moi de l'hypocrisie, au sens de (...)  l'attitude par laquelle on exprime des sentiments, des opinions que l'on n'a pas ou que l'on n'approuve pas, soit par intérêt, soit par lâcheté.

Without regards !

totomm

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

re-bonjour,

@ freddy post #10 18/10/2011 11:44 Que de procès d'intentions ! Et de rancoeurs sur des résultas antérieurs affichés ?
Mieux vaut en rester aux faits mathématiques et respecter la discrétion des personnes.
Ce forum n'est quand même pas une association de cooptés !

En toute liberté, et cordialement : totomm

nerosson

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Salut à tous,

Et si tout le monde reprenait son calme et qu'on dise : "On efface tout et on repart sur de nouvelles bases !".

A moi aussi, il m'est arrivé d'exaspérer Yoshi parce que j'étais dur de la comprenette et qu'en plus j'avais le culot de lui tenir tête. Qui n'ai-je jamais agacé, d'ailleurs ! Ca commence à dater et je crois que ça n'est plus que du passé.

@Totomm,

Je n'ai pas tout suivi, mais je crois que sous un style châtié et une courtoisie de façade peuvent parfois se cacher des mots blessants. Pourquoi ne pas le reconnaître ? Il faudrait sans doute peu de chose pour chasser les nuages....

Tout cela me peine.

P.S. @Freedy,

Merci pour ton approbation implicite de mon intervention sur les codes commerciaux et le télégramme Panizzardi.

yoshi

Modo Ferox

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Un bon jour à (presque) tous,

Je rentre et je lance BiBm@th : outre qu'icelui dysfonctionne fort (chez vous aussi ?), j'ai donc après réflexion aussi supprimé le post dans la discussion d'erichof où je disais avoir supprimé  ^_^ mes posts, le post fautif ayant été lui aussi supprimé...
C'est bon, vous avez suivi ?... :-)))

Ce qui va suivre n'est pas destiné à une relance des attaques, mais un éclairage sur ma colère froide, aboutissement d'une série d'interventions, bien condescendantes, elles, mais bien enrobées, je l'ai déjà reconnu.
Comme c'est moi qui suis systématiquement visé (et encore, il se retient...) par le Puits de Science, autoproclamé exégète officiel de Fred, qui est parmi nous, force m'a été de conclure que :
- j'étais  donc  l'objet d'une attention particulière,
- mes réponses étaient systématiquement entachées d'erreur,
- que je ne pouvais, ni ne devais plus poster.
D'où mes interrogations... qui n'ont pas encore trouvé de réponse satisfaisante.

J'avais édité le post signalant mes suppressions après le constat de la disparition bien opportune...
Le voici :

Re,

J'ai supprimé mes post #2 et #4 qui encadraient celui de Fred (ces contributions étaient visiblement de trop bas niveau -aller jusqu'à ignorer le sens du verbe "encadrer", c'est grave quand même-, je préfère donc les retirer).

J'avais dit que ce serait systématique en pareille circonstance.
C'est fait.

Je n'interviendrai donc plus dans cette discussion.

Bye...

[EDIT]
Je constate que l'intervention "terroriste" de totomm est passée à la trappe...
Maintenant on pourrait croire que je me suis fâché avec Fred...
Que nenni !
Voilà comment on réécrit l'Histoire !
Donc -de mémoire, hélas- je précise qu'elle disait en gros :

Fred intervient avec une certaine retenue, alors j'apporte une précision :
Encadrer un nombre x entre 2 nombres a et b, c'est trouver un nombre a qui lui soit inférieur et un nombre b qui lui soit supérieur.
C'est pas du foutage de gueule ça ?
Et il enchaînait :
Il est très important de ne pas négliger le cas de la différence0
Et de se dépêcher de débiter la méthode de traitement, comme si on allait l'en empêcher, et montrer au passage que, lui, savait...
Puis de terminer sur un conseil de lecture d'un bouquin dont l'auteur serait un certain Lévy.

Je n'ai pas souvenir d'avoir lu ce qu'il a été dit (à la formulation peu claire) m'avoir fâché
Vous pouvez constater de quelle ignorance crasse je me suis montré, heureusement qu'un "Pic de la Mirandole" moderne  est là pour  la stigmatiser.

Et dire que des générations d'élèves sont passées entre mes mains : mon sentiment de culpabilité est immense, soyez-en sûrs !

Et je maintiens, d'accord avec F'murr : << Barre-toi de mon herbe ! >>
Comme, ce ne sera pas possible, c'est évident, je crains vraiment de devoir céder la place ; mon successeur serait d'ailleurs tout désigné : vertueux s'il en est, sans faille, sans erreur, grand pédagogue (qualité innée chez lui) devant l'éternel, fin psychologue... Que du bonheur !
Sonnez hautbois, résonnez musettes... BibM@th ne perdrait pas au change.

@+

totomm

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Re : De la notion d'encadrement à 10-n près

Bonsoir,

...peuvent parfois se cacher des mots blessants. Pourquoi ne pas le reconnaître ?

Je veux bien le reconnaître, même si telles n'étaient pas mes intentions.
Je n'ai jamais pensé susciter une si vive réaction et je ne tiens vraiment pas à empêcher le bon fonctionnement de ces forums dont j'ai apprécié les teneurs.
Que chacun reprenne donc effectivement son calme...

Cordialement : totomm