Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tibo

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tangente à une courbe sans les dérivée

Bonjour,

Dans un de ses exercices, l'une de mes élèves de 1ière S (en cours particulier), avait l'équation d'une droite et l'équation d'un polynôme du second degré et devait chercher si cette droite était tangente au polynôme.

Début d'année oblige, les dérivées ne sont pas encore connues.

Un polynôme du second degré étant convexe, il suffit de montrer qu'il existe un unique point d'intersection. Cependant, il me semble ue la notion de convexité n'est pas connue à ce niveau.
Mon explication a donc été à base de "on voit bien sur un graphique que...".

Peut-on faire plus rigoureux tout en restant dans le programme?

yoshi

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Re : tangente à une courbe sans les dérivée

Salut tibo,
Bonne question...
Je dirais comme ça : chercher les points d'intersection de la droite et de la courbe et vérifier qu'il n'y en a qu'un (solution double).
Je prends un exemple et je teste ça tout de suite...
..................................................................................................
Me rev'la : j'ai testé entre temps et je te propose autre chose
1. La courbe du 2nd degré a pour équation générique y = ax²+bx+c
2. La droite a pour équation générique y = mx+p
3. L'abscisse du (ou des) point(s) d'intersection est solution de ax²+bx+c = mx+p
4. Il en ressort qu'une parabole et une droite ont au plus deux points d'intersection.
5. Je prends par ex y = 2x²-3x+1. Je vais chercher quel est le coefficient directeur de la tangente au point T d'abscisse 2 par exemple  à la courbe. T a pour ordonnée 3.
    Soit a l'abscisse d'un point A quelconque de la courbe, son ordonnée est f(a) = 2a²-3a+1.
    Le coefficient directeur m de la droite (AT) est donc : \(m=\frac{f(a)-f(2)}{a-2}=\frac{2a^2-3a+1-3}{a-2}=\frac{2a^2-3a-2}{a-2}\)
    Via le passage, par ex à la forme canonique, je factorise le numérateur : \(m=\frac{(2a+1)(a-2)}{a-2}\)
    a étant différent de 3, je simplifie et j'obtiens : m=2a+1.
    Maintenant, je ferais observer ce que devient la droite (AT) quand A se rapproche de T sur la courbe : à terme il n'y aura plus qu'un point d'intersection, qui sera le point de tangence.
    Cela se veut observation (pas justification) qui permettra de comprendre la suite.
   Et quand A tend vers T, a tend vers 2 et m tend vers 5, qui sera le coeff dir de la tangente en T à la courbe et on finit le boulot en cherchant l'équation de la droite (la tangente) qui passe par T(2 ; 3) et de coeff dir 5...
6.  Ensuite, on compare l'équation de la tangente à celle donnée de la droite...

Maintenant tout ça s'écroulerait si par hasard, on pouvait trouver une droite qui ne soit pas tangente et rencontre la parabole en un seul point, mais j'en doute...

Je réfléchis encore à plus simple (je me connais...)

@+

freddy

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Re : tangente à une courbe sans les dérivée

Salut,

je penche dans le sens de yoshi.

Je rappellerai une notion connue : le vecteur directeur d'une droite et j'aborderai celui d'une droite qui "tangente" une courbe quelconque".

Ensuite, je ferai à main levée un graphique avec une parabole et une droite "glissante" quelconque.

Tu la déplaces sur le graphe : tant que tu n'as aucun point d'intersection, il ne se passe rien.

Si tu as deux points d'intersection, on"voit" bien qu'on ne peut parler de tangence en ces points : les vecteurs directeurs sont distincts.

Avec un seul point, ce ne peut être qu'un point de tangence, le vecteur directeur de la droite en ce point est bien celui de la droite donnée dans l'énoncé.

Je pense que l'exo sert précisemment à approcher cette intuition de la tangente à une courbe du second degré.

De tête, tu vérifies que la dérivée est bien de la forme [tex]2ax+b = mx+p[/tex] avant de te lancer dans le calcul de la racine double suggéré par yoshi.

tibo

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Re : tangente à une courbe sans les dérivée

ok, c'est ce que j'ai fait avec la droite "glissante",
mais ça reste à base de "on voit que ... "

Je voulais juste savoir s'il y avait plus rigoureux, mais aparement, vous auriez fait à peu près comme moi.
Me voila rassuré...

freddy

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Re : tangente à une courbe sans les dérivée

Salut tibo,

je te suggère une vieille recette que j'utilisais quand je donnais des petits cours : demande à ton élève de venir avec ses notes de cours + son manuel de maths.

Comme les bouquins sont très bien concus au plan pédagogique, tu verras vite où on veut amener ton élève et comment on approche certaines notions à ce niveau de connaissance. L'idéal est d'avoir avec soi deux ou trois éditeurs du programme, pour bien voir comment les notions sont appprochées. C'est un petit investissement qu'on ne regrette jamais.

En même temps, tu lui apprends à se servir de son manuel, ce dont il te sera toujours reconnaissant pour l'enseignement supérieur.

Bon courage !

yoshi

Modo Ferox

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Re : tangente à une courbe sans les dérivée

Re,

ok, c'est ce que j'ai fait avec la droite "glissante",
mais ça reste à base de "on voit que ... "

Objection votre honneur, je savais que tu sortirais ça.
J'aurais parié ma chemise là-dessus (et tout dépend de l'heure et où on est : ce n'est pas prudent) ^_^
C'est bien pourquoi je t'avais précisé :

Maintenant, je ferais observer ce que devient la droite (AT) quand A se rapproche de T sur la courbe : à terme il n'y aura plus qu'un point d'intersection, qui sera le point de tangence.
    Cela se veut observation (pas justification) qui permettra de comprendre la suite.

Donc, non, ce n'est pas à base de "on voit que"...

Si tu veux que la miss comprenne physiquement ce que signifie "tendre vers", il vaut mieux lui offrir avant un support visuel, non ?

Mes points 1. à 4. ne souffrent pas du problème que tu soulèves et ne sont pas "à base de...".
Il fallait bien se passer de la convexité (dont d'ailleurs, Lycéen, je ne crois pas me souvenir m'en être jamais servi) pour justifier de l'existence de deux points d'intersection, dans le cas général...

Dire que l'on prend deux points A et T sur la courbe, ce n'est pas " à base de : on voit que". Bien sûr, cela fait image dans la tête, il n'empêche que c'est correct. Ou alors tous les exercices qui commencent par "Soient deux points A et B de...", sont tous entachés du manque de rigueur que tu soulignes et sont tous donc à jeter au panier sous prétexte que ça fait image.

Donc, lorsque je suggère : Maintenant, je ferais observer ce que devient la droite (AT) quand A se rapproche de T sur la courbe : à terme il n'y aura plus qu'un point d'intersection, qui sera le point de tangence., c'est juste pour lui permettre d'avoir une image dans sa tête, lorsqu'on enchaîne avec :
  Et quand A tend vers T, a tend vers 2 et m tend vers 5, qui sera le coeff dir de la tangente en T à la courbe et on finit le boulot en cherchant l'équation de la droite (la tangente) qui passe par T(2 ; 3) et de coeff dir 5... grâce aux calculs du point 5. qui n'ont rien à voir avec du "on voit que".
Tu m'aurais dit : Tu triches ! Tu calcules la dérivée sans le dire....
Là, je t'aurais dit oui... le moyen de faire autrement.

En résumé je fais calculer quoi ? \(\lim\limits_{b\mapsto a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Avoir vu ce qui se passe avec la droite (AT) sur la courbe lorsque je déplace A vers T, permet d'accepter plus facilement que lorsqu'on fait tendre A vers T, donc xA vers xT :
* le nombre de points d'intersection de (AT) avec la courbe tend de 2 vers 1,
* (AT) tend vers une droite qui passe par T et qui n'a plus qu'un point d'intersection avec la courbe, donc vers la tangente en T à la courbe,
* le coefficient directeur de (AT) qui n'est autre que \(\frac{f(x_A)-f(x_T)}{x_A-x_T}\) tend donc vers le coefficient directeur de la tangente...

Si tu as déjà fat tout ça comme ça (ce n'est pas l'impression que tu en donnée), il n'y a rien  à dire de plus : le peu de visuel utilisé n'est pas la base de la justification du procédé... Il n'est là que pour lui permettre d'avoir une représentation mentale de ce qui se passe et ça c'est très important aussi.
Cela dit, on peut se passer des 2 lignes :
Maintenant, je ferais observer ce que devient la droite (AT) quand A se rapproche de T sur la courbe : à terme il n'y aura plus qu'un point d'intersection, qui sera le point de tangence.,
il n'y aura plus que du calcul justifié, absolument pas perturbé par cette suppression..

Je ne sais pas si j'ai réussi à être clair dans mes objections à ton objection :-))

@+

tibo

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Re : tangente à une courbe sans les dérivée

Très clair, mais le temps me manquait pour détailler autant les calculs.
Et de toute façon, la notion de limite n'était pas connu non plus.

Mais j'ai effectivement pris 2 points de  la parabole et fais tendre l'un vers l'autre, sans expliciter les calculs, il est vrai et ce fut peut-être une erreur.
La plus grande difficulté étant de parler de "tendre vers" sa parler de limite. (Je n'aime pas avoir de l'avance sur le prof de peur de casser son cheminement pédagogique)
Je pense qu'elle a tout de même compris mon explication, et je reprendrais ça en détail au prochain cour.

En fait ce qui me dérange, c'est la caractérisation de la tangente : "Il n'y a qu'un point d'intersection, donc c'est bien la tangente".
La parabole étant convexe, on a : (tangente => un unique point d'intersection)
mais la réciproque est fausse :
contre-exemple, toute les droites d'équation x=a n'ont qu'un seul point d'intersection sans jamais être tangente.

Le seul moyen, à ma connaissance et sauf cas particulier,  de trouver une tangente en un point est de calculer le taux de variation, comme tu l'as caché dans tes explications, mais sans utiliser les limites... voyez mon problème...

yoshi

Modo Ferox

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Re : tangente à une courbe sans les dérivée

Re,

La plus grande difficulté étant de parler de "tendre vers" sa parler de limite. (Je n'aime pas avoir de l'avance sur le prof de peur de casser son cheminement pédagogique)

Ça, c'est effectivement un très gros écueil parce que tu te retrouves en porte-à-faux et doublement...
Quand tu auras le corrigé du prof, tu pourras nous dire comment il a résolu le problème, lui ?
Parce que là :
- sans parler de limite, même sans formelliser la notion, juste en faisant ça de façon intuitive,
- sans utiliser de dérivée cachée ou pas
je ne vois pas...

En fait ce qui me dérange, c'est la caractérisation de la tangente : "Il n'y a qu'un point d'intersection, donc c'est bien la tangente"

Oui, d'accord, c'est pour ça qu'en fait, il faut dire : Il n'y a plus qu'un point d'intersection...
Le passage à la limite comme je l'ai fait, escamote le problème : je triche...

Mais le moyen de contourner la difficulté ...?
Hmmm...
La tangente reste à l'extérieur de la courbe, sinon on a deux intersections...
La droite d'équation x = a est pour partie à l'intérieur, pour partie à l'extérieur.
Arf...  mais c'est revenir à la convexité et plus tard on aura des tangentes qui traversent la courbe (points d'inflexion, 3e degré...).

Il faudrait trouver quelle définition exacte est planquée sous la notion de tangente en un point d'une courbe... Parce qu'à la réflexion, je constate que j'ai toujours agi de façon mécanique sans  jamais me préoccuper de cette définition.
La seule que je me souviens avoir apprise concerne... le cercle ! Pour le reste, après (sauf à parler de limite de la sécante) black out total.
Je vais regarder ça...

@+

[EDIT]
http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES … gentes.pdf
inexploitable en 1ere ou Term.
Plus simple ou intuitif (Wikipedia) :
On commence par définir la droite sécante entre deux points M et N de la courbe : c'est la droite qui les relie. La tangente en M peut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le point N tend vers M...
Et on en revient à ma "tricherie".

Dernière modification par yoshi (13-10-2011 17:32:27)

Oliver

Invité

Re : tangente à une courbe sans les dérivée

Bonjour à tous,

j'ai découvert ce site/ forum et je l'adore déjà !!

est-il possible de répondre de la façon suivante :

soit Yp = aX² + bX +c l'équation de la parabole
et Yd = mX+ p l’équation de la droite (qui devrait être tangente à la parabole)

on montre que l'équation Yp = Yd n'admet qu'une seule solution (double)  pour X= Xs
et puis de montrer que soit Yp >Yd pour tout X sauf Xs  (parabole au dessus de la tangente)
                                       ou Yp<Yd pour tout X sauf Xs   (tangente au dessus de la parabole)
de cette façon on élimine la possibilité que la droite soit une sécante de la parabole

Ne me sautez pas dessus si c'est pas bon, c'est mon premier post !

thadrien

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Re : tangente à une courbe sans les dérivée

Bonjour,

de cette façon on élimine la possibilité que la droite soit une sécante de la parabole

Trois choses me gênent dans ce que tu dis :

1/ Existe t-il forcément une tangente en 0 ? Exemple : f(x) = abs(x) n'a pas de tangente en 0.

2/ Pourquoi l'un exclurait-il l'autre ? Prends par exemple la tangente en 0 de la fonction f définie par f(x) = x^3.

3/ Imagine une fonction en forme de "bosses de chameau" et une droite qui est tangente aux deux bosses. Il y a dans ce cas deux points d'intersection.

Notons que je n'ai pas pris là de fonctions particulièrement tordues et que l'on trouve fréquemment des exemples de ces cas dans le monde réel.

Cependant, ton raisonnement est malgré tout presque juste, il manque juste quelques résultats mathématiques, hélas pas à ton programme (mais que je vais quand même détailler ici).

Un des problèmes, c'est que la dérivée et le contact (c'est le nom de la relation mathématique qui lie la tangente et la courbe à laquelle elle est tangente) sont des propriétés locales : ce qui se passe aux alentours d'un point est indépendant de ce qui se passe ailleurs. On voit bien ce problème dans le point 4 : un découpage habile de la courbe autour des bosses nous ramène à une fonction "sympa".

Le point important ici, c'est que la fonction traitée ici est convexe ou concave et dérivable partout.

D'un côté, je n'arrive pas à trouver de contre-exemple probant, de l'autre, je n'arrive pas à montrer rigoureusement que cela fonctionne. Je reviens plus tard : cette question est vraiment beaucoup plus difficile qu'il n'y parait... en tout cas, ce n'est absolument pas une question stupide, bien au contraire !

Dernière modification par thadrien (03-11-2011 15:47:21)