Forum de mathématiques - Bibm@th.net

totomm

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Vieux carrés

Bonjour,

J'ai retrouvé ce problème posé lors d'une composition (On dit "contrôle" maintenant) de Math en classe de première, et qui correspondait à un théorème démontré en cours :

" Soit un triangle quelconque ABC, quel est le lieu des points M tels que
AB² + MC² = BC² + MA² = CA² + MB² ? "

Qui saurait dire quel était ce théorème "de base" ?
Et il allait de pair avec un autre dont le signe était changé…

jpp

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Re : Vieux carrés

Bonjour.

▼Texte caché

si H est l'orthocentre du triangle scalène ABC , alors le point M est sur la droite perpendiculaire au plan ABC et qui
coupe  ce plan en H.

  ABCM est donc un tétraèdre ou H est la projection de M sur le plan ABC.

                                                                                                           à plus.

Dernière modification par jpp (11-10-2011 05:56:37)

totomm

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Re : Vieux carrés

Bonjour,

Excellent jpp. Encore mieux que dans mes souvenirs où l'exercice était limité au plan du triangle !

jpp

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Re : Vieux carrés

Bonsoir.

La démo est assez simple, la figure regorge de triangles rectangles.

▼ Démo

  soit le triangle scalène ABC ,  BE la hauteur issue de B ;  E étant sur AC .

Soit H l'orthocentre.  Les triangles BEC & AEH sont rectangles en E. alors , on peut écrire:

BC²= BE² + EC²

AH² = AE² + HE²

Donc BC² + AH² = (AE² + BE²) + (EC² + HE²) = AB² + HC²

Ceci pour le plan contenant le triangle ABC.

maintenant sur la droite (D) perpendiculaire au plan (ABC) contenant H & M  , les 2 arètes AM & CM sont formulées ainsi:

MC² = CH² + HM²

MA² = HA² + HM²

Donc MA² + BC² = MC² + AB²

Meme démo avec MB & AC.

         

                                                                                      à plus.

Dernière modification par jpp (12-10-2011 17:50:53)