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#1 11-09-2011 14:13:32
- jpp
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Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
_utile_aux_sages....
Bonjours à tous.
Je repensais à cette fameuse réponse de Paul Dirac il y aura bientot un siècle; réponse à ce problème:
formuler le maximum de nombres entiers en utilisant 4 fois le chiffre 2.
Ce dernier avait sorti de son chapeau cette réponse:
[tex]n = -\log_2{\left(\log_2\left[\sqrt[2]{\sqrt{...\sqrt{2}}}\right]\right)}[/tex]
avec n égal au nombres d'itérations [tex]\sqrt{..}[/tex]
ce problème avait été reposé par Totomm il y a quelque temps sur ce forum.
hier soir je pensais à un petit problème dans le meme style , mais beaucoup plus facile. Peut-etre qu'un problème dans le genre a déjà été posé.
Voilà: il faudrait pouvoir formuler le transcendant :[tex]\pi[/tex] en utilisant les opérateurs et les fonctions
disponibles sur une calculette scientifique en utilisant uniquement le chiffre 2 puis démontrer de façon
simple qu'il existe une infinité de solutions par exemple en utilisant n fois2 avec
[tex]n = 11 + 3m[/tex] ,avec [tex]m\in{N}[/tex]
il y a bien entendu encore beaucoup d'autres solutions je présume.
Bon courage.
n.b. 222 + 22 + 2 ... cette méthode d'écriture peut etre utiliser.
par contre aucune itération n'est utilisée ; comme une fraction continue par exemple ...
Dernière modification par jpp (11-09-2011 15:02:50)
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#2 12-09-2011 17:21:09
- Golgup
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Re : Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
re,
bon, je vois mal comment exprimer un nombre irrationnel et transcendent sans utiliser d'itérations..
bref, je propose quand même une 'solution' entre guillemets car je pressent qu'elle ne va pas être acceptée:
En trifouillant la formule de viète (sur wiki) de façon à n'utiliser que 2 comme chiffre:
[tex]\pi =[/tex][tex]\lim_{n \to +\infty}[/tex] [tex]\frac{2}{{2}^{n+2}}\prod^{n}_{k=-2}{\left({u}^{2}_{k+2}-2\right)}^{2}-2[/tex]
avec [tex]{u}_{n+1}={\left(2+{u}_{n}\right)}^{1/2}[/tex] et [tex]{u}_{0}=\sqrt{2}[/tex] ahaha!!
@+
Dernière modification par Golgup (13-09-2011 10:07:39)
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#3 12-09-2011 17:32:54
- jpp
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Re : Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
Bonsoir
@ Golgup : ce n'est pas une suite et il n'y a pas d'itération ; par contre , il y a une infinité de solutions
et c'est assez simple d'écriture. tu l'obtiens en 30s sur une calculette de lycée.
le temps de l'écrire .
à plus.
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#5 19-09-2011 18:05:36
- jpp
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Re : Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
Bonsoir.
Soit un repère xOy orthonormé.
si je trace un rectangle ABCD A(0,0) , B(b+a,0) , C(b+a,a) , D(0,a) , a & b étant 2 réels positifs
avec a>b
je place 2 points E & F judicieusement placés sur les segments AB & BC ....
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#7 28-09-2011 19:34:25
- Nico-invité
- Invité
Re : Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
Bonsoir à tous.
J'aimerais apporter une (tentative de) solution (malhonnête) à ce problème :
En considérant qu'arctangente est présente sur les calculatrice scientifique (c'est le cas sur la mienne) :
[tex]\pi = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) \times 2 \times 2[/tex]
Avec cette formule, on obtient facilement pi. Après, en jouant avec des +2 -2, on génère un nombre pair quelconque de 2.
Encore plus fort, avec du (2-2)/(2+...+2), on génère autant de 2 que l'on souhaite, à partir de 3 minimum.
A priori, mais solution permet de générer pi avec 4 ou 6+ 2 dans la formule, ce qui englobe notamment le 11+3m.
Nico, pour l'aspect malhonnête des mathématiques.
ps: plus facile encore : trouver 2 avec un nombre quelconque de pi
Au passage, je suis pas convaincu que ma formule LaTeX va bien marcher (pré-visualisation un peu bizarre). Normalement, c'est bien formaté pourtant.
[EDIT]
Formule Latex rectifiée (hier soir. Ce matin, je me dis que j'aurais dû prévenir) :
* Arctangente c'est \arctan et non \atan
* La multiplication c'est \times et non x qui est la variable [tex]x[/tex]
Mais, ce n'est pas grave...
Yoshi
Dernière modification par yoshi (29-09-2011 11:40:06)
#8 29-09-2011 11:32:42
- jpp
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Re : Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
Bonjour.
En lisant bien les postes #5 & #6 , on peut construire une figure caractéristique qui permet d'écrire une
relation qui fut utilisée au 18ème par un mathématicien et astronome français
Ce scientifique est également connu pour son calcul de la longueur d'un arc. (Dunkerque - Barcelonne) si ça vous parle.
à plus.
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#9 30-09-2011 23:30:01
- jpp
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Re : Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
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#10 15-10-2011 12:06:21
- jpp
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Re : Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
Bonjour.
Pierre François Méchain , ingénieur des ponts & chaussées , astronome et mathématicien est le père du mètre étalon
qui a été défini comme étant la un dixmillionniéme partie du quart d'un méridien terrestre. avec son associé
Jean-Baptiste Delambre, en mesurant l'arc Dunkerque - Barcelonne.
Il est plus connu pour sa formule qu'il a sans doute trouvé (ça n'engage que moi) , en partant d'une autre formule
en utilisant 2 fois [tex] \tan{2x} = \frac{2\times\tan{x}}{1 - \tan^2{x}}[/tex]
Ainsi sa formule est celle ci [tex]\frac{\pi}{4} = 4\times{\arctan\left[\frac{1}{5}\right]} - \arctan\left[\frac{1}{239}\right][/tex]
Alors quelle peut etre cette formule générale en arctan et meme dans certains cas en arccos ou arcsin associé
à l'arctan ?
C'est pratiquement écrit sur la figure ci-dessus
à plus.
Dernière modification par jpp (15-10-2011 12:07:34)
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#11 01-11-2011 10:55:35
- jpp
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Re : Que _ j _ aime_à_faire_connaitre_un_nombre
salut à tous.
la formule de Méchain qui est donc celle ci :
[tex]\frac{\pi}{4} = 4.\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}[/tex]
peut s'écrire autrement. je pose donc
[tex]\theta = \arctan\frac{1}{5} => t = \frac{1}{5} = \tan\theta[/tex]
il faut maintenant chercher la valeur de [tex]\tan{(4.\theta)}[/tex].
en utilisant la formule d'Euler: [tex]e^{4i.\theta} = \cos{4.\theta} + i.\sin{4.\theta}[/tex]
on obtient directement:
[tex]\tan{4.\theta} = \frac{4.\cos^3\theta.\sin\theta - 4.\cos\theta.\sin^3\theta}{\cos^4\theta - 6.\cos^2\theta.\sin^2\theta + \sin^4\theta}[/tex]
en divisant le numérateur et le dénominateur par [tex]\cos^4\theta[/tex]:
[tex]\tan{4.\theta} = \frac{4.\tan\theta - 4.\tan^3\theta}{1 - 6.\tan^2\theta + \tan^4\theta}[/tex]
et [tex]\tan{4.\theta} = \frac{4t - 4t^3}{1 - 6t^2 + t^4} = \frac{\frac{4}{5} - \frac{4}{125}}{1 - \frac{6}{25} + \frac{1}{625}} = \frac{120}{119}[/tex]
pour conclure:
[tex]\frac{\pi}{4} = 4.\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} = \arctan\frac{120}{119} - \arctan\frac{1}{239}[/tex].
sur la figure on voit bien que[tex]\epsilon = \frac{\pi}{4} = \beta - \alpha = \arctan\frac{a}{b} - \arctan\frac{a - b}{a + b}[/tex]
dans l'exemple précédent a = 120 & b = 119
pour répondre à la question posée :
[tex]\pi = 2^2\times{\left[\arctan\frac{22}{2} - \arctan\frac{22 - 2}{22 + 2}\right]} = 2^2\times{\left[\arctan\frac{22.2}{2} - \arctan\frac{22.2 - 2}{22.2 + 2}\right]} [/tex].
et encore:
[tex]\pi = 2^2\times{\left[\arctan\frac{22.2}{22} - \arctan\frac{22.2 - 22}{22.2 + 22}\right]} = 2^2\times{\left[\arctan\frac{22.22}{22} - \arctan\frac{22.22 - 22}{22.22 + 22}\right]} ....... [/tex].
comme la définition de [tex]\pi[/tex] contient 3 fois le terme a et 3 fois le terme b , on utilise bien
[tex] 11 + 3n[/tex] fois le chiffre 2.
il faut remarquer que ( 119 , 120 , 169 ) est un triplet de pythagore. ( 696 , 697 , 985) , (4059 , 4060 , 5741)
en sont d'autres
[tex]\pi = 4\times{\left[\arctan\frac{697}{696} - \arctan\frac{1}{1393}\right]} = 4\times{\left[\arctan\frac{4060}{4059} - \arctan\frac{1}{8119}\right]} [/tex].
de meme avec un arc cosinus ou un arc sinus
[tex]\pi = 4\times{\left[\arccos\frac{696}{985} - \arctan\frac{1}{1393}\right]} = 4\times{\left[\arcsin\frac{697}{985} - \arctan\frac{1}{1393}\right]} [/tex].
[tex]\pi = 4\times{\left[\arcsin\frac{4060}{5741} - \arctan\frac{1}{8119}\right]} = 4\times{\left[\arccos\frac{4059}{5741} - \arctan\frac{1}{8119}\right]} [/tex].
et bien évidemment:
[tex]\pi = 4\times{\left[\arctan\frac{4}{3} - \arctan\frac{1}{7}\right]} = 4\times{\left[\arcsin\frac{4}{5} - \arctan\frac{1}{7}\right]} [/tex].
à plus .
Dernière modification par jpp (01-11-2011 12:09:32)
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