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Birdy_

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Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Bonsoir,

Je rencontre des difficultés à résoudre le système un peu particulier d'équations à 5 inconnues suivant:

\(\begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}f_A(x)&=+y_{sat}\\ \lim\limits_{x \to -\infty}f_A(x)&=-y_{sat}\\ \lim\limits_{x \to +\infty}f_P(x)&=+y_{sat}\\ \lim\limits_{x \to -\infty}f_P(x)&=-y_{sat}\\f_P(0)&=0\end{cases}\)
y_sat est connu.
\(f_A(x)=\alpha \arctan(\beta x)\)
\(f_P(x)=a_1x+a_3x^3+a_5x^5\)
Comme vous le remarquer,des limites sont imposés,et l'une des fonction f(x) est un polynôme,l'autre c'est une fonction triangulaire.J'ai essayer de résoudre ce système en transformant le tous en polynômes en utilisant un dévelopement limité sur Arctg(alpha* x) en un polynome impair de degrés 5 puis j'ai essayé d'avoir la valeur de Alpha et Beta  pour déduire la valeur des inconnus a1,a3,a5 sans y parvenir,j'ai recommencé cela en essayant d'utiliser la méthode de Newton pour la résolution,sauf que les limites compliques les calculs.Je cherche de l'entraide,si vous pouvez m'orienté vers des simplifications ou des méthodes de calculs particuliers à ce genre de systémes d'équation afin que je puisse déduire les 5 inconnus qui sont: Alpha , Beta ,a1,a3 & a5.

Merci d'avance pour votre entraide.

thadrien

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Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Salut,

1) La limite d'un polynôme en [tex]+\infty[/tex] ou en [tex]-\infty[/tex] est celle de son terme de plus haut degré. Une fonction polynome a donc en [tex]+\infty[/tex] ou en [tex]-\infty[/tex] seulement [tex]-\infty[/tex], 0 ou [tex]+\infty[/tex] comme limites possible. La condition [tex]\lim_{x \to -\infty} f_P(x) = -y_{sat}[/tex] est donc impossible, sauf si [tex]y_{sat} = -\infty[/tex], [tex]y_{sat} = 0[/tex] ou [tex]y_{sat} = +\infty[/tex]. Même chose pour [tex]\lim_{x \to +\infty} f_P(x) = +y_{sat}[/tex].

2) Comme arctan est une fonction impaire, tu peux supposer sans perte de généralité que [tex]\beta[/tex] est strictement positif.

3) [tex]\lim_{x \to -\infty} arctan(x) = - \frac{\pi}{2}[/tex] et  [tex]\lim_{x \to +\infty} arctan(x) = \frac{\pi}{2}[/tex]. De là, tu peux déduire aisément la valeur de [tex]\alpha[/tex].

4) [tex]f_P(0) = 0[/tex] quel que soit la valeur de [tex]a_1[/tex], [tex]a_3[/tex] et [tex]a_5[/tex].

5) Les développements limités ne fonctionnent qu'en 0. Si tu veux travailler en [tex]-\infty[/tex] ou en [tex]+\infty[/tex], il te faut faire un développement asymptotique, en faisant le changement de variable [tex]h = \frac{1}{x}[/tex] et en faisant ensuite un développement limité en h.

6) Que vient faire la méthode de Newton la-dedans ?

Ce sujet est-il le sujet donné par ton prof, tel quel, ou l'as-tu formulé toi-même ? Et puis, ces équations, c'est pour quoi faire ? On te demande explicitement de les résoudre ou est-ce une étape intermédiaire dans la résolution d'un problème d'autre chose ?

A bientôt,
Hadrien

yoshi

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Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Bonjour,

Suis-je le seul à ne pas voir l'image dans le 1er post ?
J'ai donc retapé les formules en LaTeX...

@+

Birdy_

Invité

Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Merci Yoshi pour les formules LaTex.

Salut Hadrien,

Merci pour tes réponses.

Ce sujet est relatif à la résolution en électronique des problèmes de saturation des amplificateurs hautes puissance HPA  dus aux non linéarités d'un HPA, un signal à l'entrée d'un HPA est caractérisé par des fortes fluctuations en amplitude un rapport PAPR rapport de puissance créte sur puissance RMS élevé.Il faut donc réduire le PAPR d'un signal afin que HPA travail dans sa zone linéaire seulement et ainsi réduire les distorsions,plusieurs techniques existes dont une technique qu'on appel l'écrétage inversible,on fixe un seuil d'amplitude   \(+-y_{sat}\) à ne pas dépasser pour un signal \(f(x)\) comme suit:

Si (f(x) >= \(y_{sat}\))

f(x) = \(y_{sat}\);

Si (f(x) <= \(-y_{sat}\))

f(x) = \(-y_{sat}\);

On remarque que la fonction du signal tend vers \(+-y_{sat}\). Pour cela, dans une thèse de doctorat,un chercheur à proposé les deux fonctions \(f_{p}(x)\) et \(f_{A}(x)\) qui peuvent réaliser cela. Leurs coefficients doivent étre d'abord calculé par le système d'équation proposé. La résolution du système n'a pas été démontré par l'auteur,il à proposé les coéficients suivants pour \(+-y_{sat} = 0.1\):

fP(x) = 0,746 . x - 5,501 . x^3 + 13,987 . x^5

fA(x) = 0,0675 . ArcTan(88 . x)

Si on trace la fonction polynomiale et Arctang,on remarque qu'il s'approche de la linéarité et limité par \(+-y_{sat}\) égale à |0.1|.Donc notre signal sera remplacer dans l'une de ces fonctions(pour info on prend seulement une fonction soit polynôme soit Arctang) afin d'écrêté le signal au niveau de saturation désiré.

Maintenant j’espère que le sujet est clair, revenons au problème posé,la résolution de ce système nous donne ces coefficients \(a_1\)  \(a_3\)  \(a_5\) pour qu'on puisse trouvé la fonction polynomiale d'écrétage à utilisé,et la résolution de ce système permet aussi de trouver également Alpha et Beta de la fonction d'écrétage \(arctan\).

Voici les autres coefficients calculés par l'auteur pour différents niveaux de saturation:

1) La limite d'un polynôme en \(+\infty\) ou en \(-\infty\) est celle de son terme de plus haut degré. Une fonction polynome a donc en \(+\infty\) ou en \(-\infty\) seulement \(-\infty\), 0 ou \(+\infty\) comme limites possible. La condition \(\lim_{x \to -\infty} f_P(x) = -y_{sat}\) est donc impossible, sauf si \(y_{sat} = -\infty\), \(y_{sat} = 0\) ou \(y_{sat} = +\infty\). Même chose pour \(\lim_{x \to +\infty} f_P(x) = +y_{sat}\).

C'est ce que j'ai remarqué aussi avec mon prof,sauf que cela à été justifié par l'auteur par le tracé de la fonction qui tend vers ysat que j'ai trouvé logique.

2) Comme arctan est une fonction impaire, tu peux supposer sans perte de généralité que \(\beta\) est strictement positif.

3) \(\lim_{x \to -\infty} arctan(x) = - \frac{\pi}{2}\) et  \(\lim_{x \to +\infty} arctan(x) = \frac{\pi}{2}\). De là, tu peux déduire aisément la valeur de \(\alpha\).

4) \(f_P(0) = 0\) quel que soit la valeur de \(a_1\), \(a_3\) et \(a_5\).

C'est à cause de cela que j'ai utilisé un développement limité,j'ai trouvé pour \(y_{sat} = 0.1\),\(\alpha\) égale à \(\frac{\pi}{2 * y_{sat}}\) au lieu de 0.0675 comme précisé en haut sur la fonction d'écrétage \(arctan()\). Je vais utilisé le développement asymptotique et voir ce que ça donne.

La méthode de Newton à été utilisée après avoir fait un développement en série de taylor de Arctang ensuite de convertir le système de 5 équations polynomiale en matrice A de dimension 5x5 contenant les coefficients  inconnus et une matrice Y 5x1 contenant les constantes,la résolution se fera par la méthode de newton du système obtenu \(A . X = Y\) ,mais j'ai pas pu validé cela à cause d ela présence des limites.

Au final,je n'arrive plus a validé ce système d'équation ! C'est vraiment un grand défi pour moi,toute aide est le bienvenue afin de pouvoir trouvé au mois les coefficients a.

Merci d'avance.

thadrien

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Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Salut,

Désolé, mais ce n'est toujours pas clair. Pourtant je fais aussi de l'électronique.

A mon avis, le problème est au niveau de la condition "tend vers [tex]+\infty[/tex]". Physiquement parlant, il est assez rare que quelque chose tende vers [tex]+\infty[/tex]. Es-tu sûr de cette condition ?

D'ailleurs :

C'est ce que j'ai remarqué aussi avec mon prof,sauf que cela à été justifié par l'auteur par le tracé de la fonction qui tend vers ysat que j'ai trouvé logique.

Ta feuille n'étant pas infinie, tu ne peux pas voir ce qu'il se passe en [tex]+\infty[/tex]. Donc, il y a vraisemblablement un problème.

Ah oui, vérifié sur Wolfram Alpha : le polynôme que tu donnes n'est pas le développement limité de la fonction que tu donnes : http://www.wolframalpha.com/input/?_=13 … cTime=true

Par contre, ça a l'air d'être le polynôme qui l'approche le mieux sur l'intervalle [-0,5 ; 0,5].

Qu'en penses-tu ?

yoshi

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Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Salut,

Qu'est-ce que tu as bricolé ? Ton post est devenu très étrange : il y manque des boutons en bas et il y a une immense plage vide !

Je ne peux même pas réparer la gaffe : pas de bouton Modifier....
Réponse de thadrien invisible : en sera-t-il de même pour la mienne ?

Seul Fred, Administrateur, pourra faire quelque chose quand il rentrera en fin de semaine.

@+

[EDIT]
Non...
Mon post est visible : serait-ce thadrien, le gaffeur ?

Après recherche, oui.

Salut,

Désolé, mais ce n'est toujours pas clair. Pourtant je fais aussi de l'électronique.

A mon avis, le problème est au niveau de la condition « tend vers \(+\infty\)». Physiquement parlant, il est assez rare que quelque chose tende vers \(+\infty\). Es-tu sûr de cette condition ?

D'ailleurs :

C'est ce que j'ai remarqué aussi avec mon prof,sauf que cela a été justifié par l'auteur par le tracé de la fonction qui tend vers ysat que j'ai trouvé logique.

Ta feuille n'étant pas infinie, tu ne peux pas voir ce qu'il se passe en \(+\infty\). Donc, il y a vraisemblablement un problème.

Ah oui, vérifié sur Wolfram Alpha : le polynôme que tu donnes n'est pas le développement limité de la fonction que tu donnes :
Wolfram Alpha

Par contre, ça a l'air d'être le polynôme qui l'approche le mieux sur l'intervalle [-0,5 ; 0,5].

Qu'en penses-tu ?

Y a aussi le bazar chez moi maintenant mais seulement dans cette discussion...

Dernière modification par yoshi (15-08-2011 21:59:40)

thadrien

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Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Salut,

@yoshi : oui, c'est moi le gaffeur. Désolé. Pourtant, j'ai soigneusement vérifié en faisant "prévisualiser" avant de poster.

Maintenant, quelle est la cause exacte du bug ? Aucune idée.

yoshi

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Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Re,

Nan, c'était pas toi... J'ai passé 3 heures mardi soir à chercher, mais j'ai trouvé.
Ms'ieu Dames, c'est la 3e fois aujourd'hui que je jongle pour rectifier des posts.
MathJax (qui permet les formules maths), génère un bug avec les styles Air et BibMath :
Dès que vous quotez un texte comprenant des balises tex, il y a un décalage à droite qui se produit, une partie du post qui se "cache" et les mentions Supprimer, Modifier, Citer qui sont cachées aussi...
Plus en bas de post au moins 100 lignes qui se rajoutent et la réponse à ce post qui se cache aussi...
Je suis donc obligé de passer en style technétium qui n'a pas ces problèmes et je modifie en remplaçant respectivement :

[tex]   et   [/tex]

par \(  et  \)
qui revient au même avec Mathjax...
Il y a 39 remplacements de chaque à faire dans le post de Birdy...
Là, plus de problème !

En attendant que Fred revienne et se saisisse du problème, pensez à la substitution !

Merci d'avance

@+

Birdy_

Invité

Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

@Yoshi: je crois qu'il  y'a un problème avec les balises quote,j'arrive pas a sortir ma réponse ci-dessous de la citation de thadrien.

Salut,

Désolé, mais ce n'est toujours pas clair. Pourtant je fais aussi de l'électronique.

A mon avis, le problème est au niveau de la condition "tend vers \(+\infty\)". Physiquement parlant, il est assez rare que quelque chose tende vers \(+\infty\). Es-tu sûr de cette condition ?

D'ailleurs :

C'est ce que j'ai remarqué aussi avec mon prof,sauf que cela à été justifié par l'auteur par le tracé de la fonction qui tend vers ysat que j'ai trouvé logique.

Ta feuille n'étant pas infinie, tu ne peux pas voir ce qu'il se passe en \(+\infty\). Donc, il y a vraisemblablement un problème.

Ah oui, vérifié sur Wolfram Alpha : le polynôme que tu donnes n'est pas le développement limité de la fonction que tu donnes : http://www.wolframalpha.com/input/?_=13 … cTime=true

Par contre, ça a l'air d'être le polynôme qui l'approche le mieux sur l'intervalle [-0,5 ; 0,5].

Qu'en penses-tu ?

Le polynôme et la fonction Arctan sont indépendantes,je ne veut pas approché la fonction Arctan,en effet,on essaient d'approché une caractéristique linéaire à vrais dire sans l’être.

Désolé,je vais essayer de résumé,voila, seul l'une des deux fonctions \(f_{A}\) ou \(f_{p}\) sera utilisée,sauf que leurs coefficients \(\alpha\) et \(\beta\)  pour \(f_{A}\) et a1,a3,a5 pour \(f_{A}\) sont calculés a partir du système d'équation donné.

Mon but,retrouvé les coefficients d'au moins de l'une des deux fonctions,c'est à dire,soit retrouvé  \(\alpha\) et \(\beta\) ou soit retrouvé a1,a3,a5,en tous cas le but étant de comprendre comment ce doctorant à pu calculés ces coefficients (tableau en haut) pour pouvoir les utilisées dans notre travail.

Pour l'instant j'ai trouvé la valeur de \(\alpha\) correcte ,j'arrive toujours pas à déduire \(\beta\),et le développement asymptotique m'a compliqué d'avantage la tâche. La thèse de doctorat est disponible en ligne

http://hal.inria.fr/docs/00/09/38/80/PD … Ragusa.pdf

Page 146 sur PDF (section V.2.3)

Le problème reste posé.

yoshi

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Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Salut,

Oui, il y avait problème...
u n'as donc pas lu mon post #8 ? Tout ce que je viens de faire et la cause du problème y est expliqué.

C'est réglé !

@+

Birdy_

Invité

Re : Résolution particulière d'un System d'équations à cinq inconnus

Salut,

Oui, il y avait problème...
u n'as donc pas lu mon post #8 ? Tout ce que je viens de faire et la cause du problème y est expliqué.

C'est réglé !

@+

Ahj'ai mal compris,c'était donc le même problème.  Merci