Comment se faire proprement blackbouler ?

freddy · 19-07-2011 22:18:22

Hello tutti,

un petit nouveau sujet, un petit peu velu encore ...

Merci par avance à son concepteur, le résultat est rien moins qu'évident.

Supposons que nous ayons une urne opaque, de dimension quelconque capable de contenir N > 0 balles de golf de couleur noire et B > 0 balles de golf de couleur blanche.

La procédure est composée de deux étapes :

on tire au hasard une balle de golf de l'urne et on la jette.
on tire à nouveau une balle de golf et :
- si elle est de la même couleur que la précédente, elle est jetée et on reprend à la phase 2 ;
- si elle est de couleur différente, on la remet dans l'urne et on reprend à la phase 1.

Quelle est la probabilité qu'à la fin de la procédure, je me fasse blackbouler (i. e la dernière balle tirée soit de couleur noire) ?

Application : supposons deux cas, l'un où il y a 2 B et 1 N et l'autre où il y a 1 B et 2 N.

Dans quel cas suis je le plus exposé ?

Golgup · 20-07-2011 22:13:17

Chô!

Je trouve ça très dur, mais pour ne pas rendre mes efforts vains, je post quand même.. je crois que la proba est de la forme

[tex]\frac{\sum^{}_{}\prod^{}_{}}{\left(n+b\right)!}[/tex] (somme d'un produit sur factorielle)

Mais je n'arrive pas à écrire mathématiquement les somme et produit.

Sinon pour le reste , après application de la formule, je dirai que dans le cas de 2B et 1N la proba vaut 1/3 et dans celui de 1B et 2N, 2/3

Mais je ne suis pas sur du tout..

@+

12totomm · 21-07-2011 11:00:50

Bonjour,

Ce processus semble étrangement égalisateur, puisque, si N est plus grand que B, alors N a plus de chances de sortir et si, au tirage suivant, N sort encore, on la jette, alors que si c'est B qui sort on repart à N-1 et B (sans mémorisation des coups antérieurs = étape 1).

Cela fait penser au problèmes de la mouche entre 2 trains, aussi sans me fatiguer plus, je dirais que, quels que soient N et B, la probabilité est toujours 0,5 !?

Je l'ai quand même vérifié sur 1 N, 2 B et 2 N, 1 B…..sans oublier de repartir sans mémorisation si B puis N, ou N puis B sont sortis successivement

Cordialement

freddy · 21-07-2011 14:12:30

Salut,

quel lien avec la mouche et les deux trains ?

totomm · 21-07-2011 17:44:26

ReBonjour,

La probabilité 0,5 est-elle bien valide quelles que soient les quantités de balles noires et blanches ?

Si l'on s'en remet au principe égalisateur ci-avant, c'est pour éviter de calculer toutes les probabilités intermédiaires,
comme l'histoire de la mouche qui va à 100 km/heure d'un train à un autre, les trains étant séparés au départ de 600 km et allant à 60 km/heure chacun à la rencontre l'un de l'autre : Quelle distance aura parcouru la mouche quand les trains se croiseront ?
Qui sommerait tous les parcours intermédiaires ?

Cordialement

Golgup · 21-07-2011 19:11:57

ahah moi! ici: http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2805

lol

freddy · 21-07-2011 21:44:56

12totomm a écrit :

Bonjour,
Cela fait penser au problèmes de la mouche entre 2 trains, aussi sans me fatiguer plus, je dirais que, quels que soient N et B, la probabilité est toujours 0,5 !?

Salut,

sans calcul, tu es prêt à parier combien sur ton résultat ?

Tu vois, en tant que décideur, j'ai modérément confiance en un résultat qui n'aurait pas été démontré d'une manière ou d'une autre.

Donc, pour voir si tu te fies à ton intuition, serais tu prêt à parier disons, un an de revenu par exemple ?

totomm · 22-07-2011 08:38:16

Bonjour,

En tant que manager et responsable d'études j'ai toujours favorisé l'intuition

Reprenons ce problème : s'il y a au départ autant de N que de B, il n'y a aucune raison pour que la probabilité ne soit pas 0,5. Puis le principe égalisateur....

Je n'ai pas écrit que j'avais "démontré" une solution (il m'est arrivé de l'écrire par ailleurs et c'était vrai...) mais que j'avais testé sur 1N et 2B et sur 2N et 1B.
0,5 est-il exact pour ces 2 configurations ?

Mais l'intuition demande quand même un contrôle : j'ai donc "programmé" ce problème (programmation facile sous Python) et vérifié in extenso les configurations jusqu'à 8. Je reste donc sur une (forte) conjecture.
Un pari n'ajouterait rien : Il est tout à fait possible que je n'aie pas interprété convenablement l'énoncé et alors on n'arriverait pas à se mettre d'accord en toute bonne foi : C'est celle-ci qui doit prévaloir !

Cordialement

freddy · 22-07-2011 16:56:31

Salut,

l'intuition créatrice, celle qui permet de sortir des sentiers battus pour trouver une nouvelle voie, un nouveau terrain en friche, un nouveau domaine, oui, entièrement d'accord. Mais ensuite, faut développer pour vérifier que c'est OK ou non. D'où mon idée du pari.

L'intuition sans vérification pour décider tout de suite et engager des fonds, c'est ce qu'on appelle de la spéculation.

Sur ce site, on est là pour démontrer un résultat. On ne peut affirmer sans preuve. Sans quoi, c'est comme la critique littéraire du café du commerce : j'aime, je n'aime pas, ...

Comme dans le sujet des vases communicants, un résultat sans preuve ne peut convaincre personne, la preuve !

totomm · 23-07-2011 08:39:34

Bonjour,

Répondez donc sur le 1/3 2/3 (post #2 21/07/2011) de Golgup qui, au moins, s'exprime sans complexe

freddy · 23-07-2011 11:29:24

Salut,

il est clair que Golgup est passé à côté du sujet, il est exact que le résultat est surprenant, il est moins évident que je comprenne le sens de ce fameux principe égalisateur qui se raccroche à je ne sais quelle théorie physique, chimique, génétique, biologique, ... ?

On you !

jpp · 23-07-2011 13:34:34

Bonjour.

Je marche à l'instinct, parce que je ne connais pas grand chose aux probas. un minimum

syndical quoi.. je me lance, je n'ai pas peur du ridicule.

pour moi , déjà , je ne pense pas que la quantité de boules ait son importance.

ce serait plutot la proportion [tex]\frac{b}{n+b}[/tex] . car si au départ je n'ai

qu'une boule noir , j'ai [tex]\frac{b}{b+1}[/tex] chance de me faire blackbouler.

Donc à mon avis , je pense que la probabilité de me faire blackbouler est

[tex]\frac{b}{b+n}[/tex] car inversement si un maximum de boule noir je vais donc en

jeter un maximum et là je me fais "whitebouler".

Dernière modification par jpp (23-07-2011 13:42:00)

totomm · 23-07-2011 15:05:07

re-Bonjour,

J'attendrai donc la réaction à l'intervention de jpp...
Pour faire avancer un peu je dirai que la démonstration est très simplifiée si on raisonne par récurrence.
Mais peut-être que l'intuition et l'aide par programme sur ordinateur ne seront encore ni admises ni comprises ?

Cordialement

Golgup · 23-07-2011 20:57:33

hi

freddy a écrit :

"il est clair que Golgup est passé à côté du sujet"

Je ne suis pas "passé à côté du sujet" crois moi que je l'ai bien analysé avant de poster une réponse,en plus sous la mention 'je ne suis pas sur'. Donc au lieux d'ignorer mes réponses et de me de débiner tu aurais pu directement me dire si mes propositions étaient fausses ou non.

C'est en tous cas l'impression que j'ai eu!

@+

jpp · 23-07-2011 21:27:19

Bonsoir.

Donc si je prend comme exemple 2 boules blanches et une boule noire.

j'ai 2 chances sur 3 de tirer une blanche . pour la suivante j'ai 1 chance sur 2 .

si elle est noire je la remets et ensuite j'ai ma seconde chance de tirer la blanche .

il reste donc la noire. j'ai bien 2 chances sur 3 de blackbouler.

Maintenant, si j'ai 1 boule blanche et 2 boules noires. j'ai alors 1 chance sur 3 de tirer

la noire.

1) Si je la sors au premier coup , je la jette ,et c'est un des 2 premiers cas ou

je ne suis pas blackboulé.

2) si je sors une blanche , je la jette et il me reste 1b et 1n

si je tire la noire je la remets

si je tire la blanche je la jette et je suis blacboulé.

car dans ce jeu on effectue plus de prélèvements qu'il n'y a de boules. Mais comme on jette

souvent les couleurs les plus nombreuses , ce type de jeu donne plus de chance aux couleurs

les moins représentées. donc pour 2b 1n --> p = 2/3 et pour 1b 2n --> p = 1/3.

Dernière modification par jpp (23-07-2011 21:34:21)

freddy · 24-07-2011 09:01:09

Golgup a écrit :

hi
freddy a écrit :
"il est clair que Golgup est passé à côté du sujet"
Je ne suis pas "passé à côté du sujet" crois moi que je l'ai bien analysé avant de poster une réponse,en plus sous la mention 'je ne suis pas sur'. Donc au lieux d'ignorer mes réponses et de me de débiner tu aurais pu directement me dire si mes propositions étaient fausses ou non.
C'est en tous cas l'impression que j'ai eu!
@+

Donc réponses fausse, sans chercher à te débiner.

freddy · 24-07-2011 09:04:26

Golgup a écrit :

Chô!
Je trouve ça très dur, mais pour ne pas rendre mes efforts vains, je post quand même.. je crois que la proba est de la forme
[tex]\frac{\sum^{}_{}\prod^{}_{}}{\left(n+b\right)!}[/tex] (somme d'un produit sur factorielle)
Mais je n'arrive pas à écrire mathématiquement les somme et produit.
Sinon pour le reste , après application de la formule, je dirai que dans le cas de 2B et 1N la proba vaut 1/3 et dans celui de 1B et 2N, 2/3
Mais je ne suis pas sur du tout..
@+

Désolé, mais écrire que tu penses que c'est un quotient de somme de produit de factorielle sans rien mettre dedans revient à dire : je ne sais pas.

Quand je prends connaissance des deux exemples numériques, je vois bien que tu n'as pas bien "senti" la subtilité du sujet, mais je peux me tromper.

Pour finir, il n'y a aucun jugement de ma part, les propos sont libres, les faits sont sacrés.

freddy · 24-07-2011 09:11:45

jpp a écrit :

Bonsoir.
Donc si je prend comme exemple 2 boules blanches et une boule noire.
j'ai 2 chances sur 3 de tirer une blanche . pour la suivante j'ai 1 chance sur 2 .
si elle est noire je la remets et ensuite j'ai ma seconde chance de tirer la blanche .
il reste donc la noire. j'ai bien 2 chances sur 3 de blackbouler.

Donc on a la séquence : BBN avec une probabilité égale à

[tex]\frac23\times \frac 12\times 1[/tex]
ou bien l'autre séquence : BNBN avec une probabilité égale à

[tex]\frac23\times \frac 12\times \frac12\times 1[/tex]

On a donc une probabilité de 1 chance sur deux de se faire "sortir" !

jpp a écrit :

Maintenant, si j'ai 1 boule blanche et 2 boules noires. j'ai alors 1 chance sur 3 de tirer
la noire.
1) Si je la sors au premier coup , je la jette ,et c'est un des 2 premiers cas ou
je ne suis pas blackboulé.
2) si je sors une blanche , je la jette et il me reste 1b et 1n

si je tire la noire je la remets
si je tire la blanche je la jette et je suis blacboulé.
car dans ce jeu on effectue plus de prélèvements qu'il n'y a de boules. Mais comme on jette
souvent les couleurs les plus nombreuses , ce type de jeu donne plus de chance aux couleurs
les moins représentées. donc pour 2b 1n --> p = 2/3 et pour 1b 2n --> p = 1/3.

Là encore, on a la séquence suivante BNN ou bien celle-là NBBN et on retrouve ici encore 1/2 ...

freddy · 24-07-2011 09:13:04

totomm a écrit :

re-Bonjour,
J'attendrai donc la réaction à l'intervention de jpp...
Pour faire avancer un peu je dirai que la démonstration est très simplifiée si on raisonne par récurrence.
Mais peut-être que l'intuition et l'aide par programme sur ordinateur ne seront encore ni admises ni comprises ?
Cordialement

OK, je prendrai connaissance du raisonnement par récurrence avec plaisir.

On you !

Dernière modification par freddy (24-07-2011 09:14:09)

totomm · 28-07-2011 17:18:12

bonjour,

Plus personne ne bouge sur cette énigme, pourtant il revient à l'émetteur (freddy) de valider ou d'invalider les résultats proposés !

je maintiens mon :"toujours 1/2=0.5" et pour prouver mon intuition (non créatrice ?) je vous livre le résultat d'un raisonnement par récurrence :
Soit n>0 le nombre de balles noires, b>0 le nombre de balles blanches et t=n+b.
Si pour tout n et pour tout b tel que n+b = t-1 on admet que la probabilité d'être "blackboulé" vaut 1/2 :
Raisonner par récurrence revient, pour tout n et pour tout b tel que n+b = t, à comparer Les probabilités des tirages ne comportant que n noires avec les tirages ne comportant que b blanches
Ces probabilités sount les inverses des combinaisons de t objets pris n à n ou (t-n) à (t-n) et l'on sait que ces combinaisons sont égales.

Plus de blabla est-il nécessaire pour cette "démonstration" ?

Cordialement

freddy · 28-07-2011 23:01:22

totomm a écrit :

bonjour,
Plus personne ne bouge sur cette énigme, pourtant il revient à l'émetteur (freddy) de valider ou d'invalider les résultats proposés !
je maintiens mon :"toujours 1/2=0.5" et pour prouver mon intuition (non créatrice ?) je vous livre le résultat d'un raisonnement par récurrence :
Soit n>0 le nombre de balles noires, b>0 le nombre de balles blanches et t=n+b.
Si pour tout n et pour tout b tel que n+b = t-1 on admet que la probabilité d'être "blackboulé" vaut 1/2 :
Raisonner par récurrence revient, pour tout n et pour tout b tel que n+b = t, à comparer Les probabilités des tirages ne comportant que n noires avec les tirages ne comportant que b blanches
Ces probabilités sount les inverses des combinaisons de t objets pris n à n ou (t-n) à (t-n) et l'on sait que ces combinaisons sont égales.

C'est à peu près aussi incompréhensible qu'une autre démo dans un autre topic.

totomn a écrit :

Plus de blabla est-il nécessaire pour cette "démonstration" ?
Cordialement

Tu te sens obligé d'agresser, ou bien tu préfères masquer une grande timidité ?

Sinon, j'attends une vraie preuve de ton intuition. A défaut, je la donnerai à l'occasion.

yoshi · 29-07-2011 08:53:39

Bonjour,

J'ai vu ce post hier soir et je me suis abstenu de répondre me disant que je me faisais des idées...
Je vois que freddy a eu la même sensation...

Mais ce qui me gêne le plus, et je me sens pourtant tenu de répondre (je vais essayer de le faire avec délicatesse), c'est le raisonnement....
Il avait été annoncé un "raisonnement par récurrence".
Personnellement, et je suis bien conscient de ne pas tout savoir, je dois dire que je ne le trouve pas.
Pour moi (bis), un raisonnement par récurrence se décompose en 2 étapes, n étant la "variable" :
1. Vérification de la propriété pour des valeurs numériques simples de n.
J'ai vu passer les cas 2B1N et 1B2N. Ça me parait insuffisant comme essai.
J'aurais aimé voir en plus les cas 3B2N, 3B1N, 1B3N, 2B3N,

2. Test de l'héritage.
La propriété étant donc supposée vraie pour n, on montre qu'elle l'est encore pour n+1.

n+b = t-1 on admet que la probabilité d'être "blackboulé" vaut 1/2 : Raisonner par récurrence revient, pour tout n et pour tout b tel que n+b = t, à comparer les probabilités des tirages ne comportant que n noires avec les tirages ne comportant que b blanches

Ça, c'est la formulation de la problématique de l'héritage ?
Pourquoi seulement "comparer les probabilités des tirages ne comportant que n noires avec les tirages ne comportant que b blanches" ? Et tous les cas intermédiaires ?
Et ta démonstration, c'est ça :

Ces probabilités sont les inverses des combinaisons de t objets pris n à n ou (t-n) à (t-n) et l'on sait que ces combinaisons sont égales.

Un peu expéditif, non ?

Pour finir, je suis un peu interpellé par l'emploi du mot "blabla".
Il ne s'agit effectivement pas dans une démonstration, d'empiler les mots, comme on enfile des perles sur un collier, pour le plaisir d'écrire. D'accord, les maths ne sont pas de la Littérature.
Un prof de français de mes collègues m'avait une fois : << Ah les, matheux, ce que vous pouvez être secs ! >>...

Mais une démonstration se devant d'être aussi rigoureuse que possible, elle se doit de comporter autant de phrases, autant d'étapes intermédiaires que nécessaire, sans rien omettre, y compris sur un forum de maths, non ?

S'il agit d'exposer une intuition,, une conjecture, alors on peut, avec précaution tout de même, procéder de façon elliptique, mais en l'occurrence là, il avait été initialement proposé une "démonstration par récurrence, et maintenant voici le résultat d'un raisonnement par récurrence...
Donc, il ne s'agit pas d'un raisonnement ? Si oui, alors ce post est sans objet, mais dans ce cas je reste toujours preneur du raisonnement par récurrence promis.

Avec mes excuses anticipées pour la contrariété que cette réponse a peut-être engendré

@+

totomm · 29-07-2011 10:42:23

Bonjour à tous, tout d'abord,

Je vais ensuite m'expliquer le plus posément possible, car mon post #20 contient tout ce qui fait une vraie démonstration par récurrence. J'ai trouvé beaucoup de plaisir à réfléchir sur cette énigme et en tirer la bonne démarche.
J'espère que chacun pourra comprendre mon raisonnement mathématique (ou me dira ce qui ne convient pas dans ce raisonnement)

@ yoshi : Outre les cas 2B1N et 1B2N, il y a 1B1N, et avec les notations : "n>0 le nombre de balles noires, b>0 le nombre de balles blanches et t=n+b", la base de la récurrence comprend tous les cas de t=2 et t=3, ce qui est suffisant pour la phase 1.

Supposons donc que nous cherchions P(n,b) = probabilité d'être "blackboulé" avec t=n+b et :
Hypothèse : Pour tout n et pour tout b tel que n+b < t, la probabilité d'être "blackboulé" (ou "whiteboulé") vaut P(n,b)=1/2=0.5

Premier tirage : Noir sort avec la probabilité n/t et Blanc sort avec la probabilité b/t

Second tirage : on peut avoir NN avec la probabilité n/t*(n-1)/(t-1), NB avec la probabilité n/t*b/(t-1), BN avec la probabilité b/t* n/(t-1) et BB avec la probabilité b/t*(b-1)/(t-1)

On voit s'amorcer un arbre binaire, mais on va pouvoir simplifier bien des branches. En effet
SUR LA BRANCHE NB on remet B et on se retrouve avec (n-1) balles noires et b balles blanches, soit avec t-1 balles, SANS MEMORISATION, donc la probabilité de cette branche sera n/t*b/(t-1)*P(n-1,b), soit, d'après notre hypothèse une probabilité n/t*b/(t-1)*0.5 d'être blackboulé et autant d'être "whiteboulé"
Peut importe sa valeur exacte, car on voit maintenant que pour tout tirage qui ne sera pas tout NNNN.... ou tout BBBBBB...., la probabilité sera partagée moitié-moitié entre "blackboulé" et "whiteboulé"

Intéressons-nous maintenant au tirage NNNNN....: Dès qu'il n'y a plus de Noire, comme b >0,
le dernière balle sera blanche avec la probabilité :
n/t * (n-1)/(t-1) * (n-2)/(t-2) * ....... *2/(t-n+2) * 1/t-n+1) = 1 / "combinaison de n parmi t"
Intéressons-nous maintenant au tirage BBB....: Dès qu'il n'y a plus de Blanche, comme n >0,
le dernière sera noire avec la probabilité :
b/t * (b-1)/(t-1) * (b-2)/(t-2) * ....... *2/(t-b+2) * 1/t-b+1) = 1 / "combinaison de b parmi t"
Ces deux dernières probabilités sont les inverses des combinaisons de t objets pris n à n ou (t-n) à (t-n) et l'on sait que ces combinaisons sont égales puisque b=t-n.

Ainsi toutes les probabilités (partielles) d'être "blackboulé" ont une contrepartie égale à être "whiteboulé" donc
P(n,b) = 0.5 C.Q.F.D.

Cordialement.
P.S.1 : Une petite simulation sous Python, récurrence incluse, confirme très clairement tout cela.
P.S. 2 : Je regrette d'avoir dit blabla dans mon post précédent, mais je me souviens avoir fait une très longue vraie démonstration une fois, qui n'a pas été comprise pour autant....et je ne crois pas que l'on puisse me reprocher d'avoir dit des contre-vérités sur ce forum.

freddy · 29-07-2011 14:31:57

totomm a écrit :

Second tirage : on peut avoir NN avec la probabilité n/t*(n-1)/(t-1), NB avec la probabilité n/t*b/(t-1), BN avec la probabilité b/t* n/(t-1) et BB avec la probabilité b/t*(b-1)/(t-1)
On voit s'amorcer un arbre binaire, mais on va pouvoir simplifier bien des branches. En effet
SUR LA BRANCHE NB on remet B et on se retrouve avec (n-1) balles noires et b balles blanches, soit avec t-1 balles, SANS MEMORISATION, donc la probabilité de cette branche sera n/t*b/(t-1)*P(n-1,b), soit, d'après notre hypothèse une probabilité n/t*b/(t-1)*0.5 d'être blackboulé et autant d'être "whiteboulé"
Peu importe sa valeur exacte, car on voit maintenant que pour tout tirage qui ne sera pas tout NNNN.... ou tout BBBBBB...., la probabilité sera partagée moitié-moitié entre "blackboulé" et "whiteboulé"

OK, mais qui me donne la valeur de [tex]\frac{n\times b}{t\times (t-1)}[/tex] ?

totomm a écrit :

Intéressons-nous maintenant au tirage NNNNN....: Dès qu'il n'y a plus de Noire

l'ennui est que ce cas ne nous intéresse pas du tout : seul celui où la dernière tirée est noire est l'objet du problème.

totomm a écrit :

nIntéressons-nous maintenant au tirage BBB....: Dès qu'il n'y a plus de Blanche, comme n >0,
le dernière sera noire avec la probabilité :
b/t * (b-1)/(t-1) * (b-2)/(t-2) * ....... *2/(t-b+2) * 1/t-b+1) = 1 / "combinaison de b parmi t".
Ces deux dernières probabilités sont les inverses des combinaisons de t objets pris n à n ou (t-n) à (t-n) et l'on sait que ces combinaisons sont égales puisque b=t-n.

OK, mais on en fait quoi ?

A l'analyse, tu viens de décrire ton algorithme de calcul, mais pas de prouver rigoureusement ton intuition.

Désolé.

totomm · 29-07-2011 16:03:40

reBonjour,

Oh non, freddy, ne soyez donc pas désolé.
Abandonnez votre parti pris et publiez votre solution

Cordialement

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 19-07-2011 22:18:22

Comment se faire proprement blackbouler ?

#2 20-07-2011 22:13:17

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#3 21-07-2011 11:00:50

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#4 21-07-2011 14:12:30

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#5 21-07-2011 17:44:26

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#6 21-07-2011 19:11:57

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#7 21-07-2011 21:44:56

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#8 22-07-2011 08:38:16

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#9 22-07-2011 16:56:31

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#10 23-07-2011 08:39:34

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#11 23-07-2011 11:29:24

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#12 23-07-2011 13:34:34

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#13 23-07-2011 15:05:07

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#14 23-07-2011 20:57:33

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#15 23-07-2011 21:27:19

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#16 24-07-2011 09:01:09

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#17 24-07-2011 09:04:26

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#18 24-07-2011 09:11:45

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#19 24-07-2011 09:13:04

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#20 28-07-2011 17:18:12

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#21 28-07-2011 23:01:22

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#22 29-07-2011 08:53:39

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#23 29-07-2011 10:42:23

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#24 29-07-2011 14:31:57

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

#25 29-07-2011 16:03:40

Re : Comment se faire proprement blackbouler ?

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